初中数学沪科版八年级上册14.2 三角形全等的判定学案

这是一份初中数学沪科版八年级上册14.2 三角形全等的判定学案，共5页。学案主要包含了变式拓展等内容，欢迎下载使用。

知识要点基础练


知识点1 判定两直角三角形全等的方法——“HL”








1.如图所示,已知△ABC与△ABD中,∠C=∠D=90°,要利用“HL”判定△ABC≌△ABD,还需添加的条件是(B)


A.∠BAC=∠BADB.BC=BD或AC=AD


C.∠ABC=∠ABDD.AB为公共边





【变式拓展】如图,已知AB⊥CD,垂足为B,BC=BE,若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE,则需要添加的一个条件是 AC=DE .


2.如图,已知AD⊥BC于点O,且O是BC的中点,添加一个条件后可利用“HL”证明Rt△AOB≌Rt△DOC,则所添加的条件是 AB=CD .





知识点2 “HL”的简单实际应用








3.如图,有两个长度相等的滑梯(即BC=EF),左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向上的长度DF相等,若∠ABC=32°,则∠DFE的度数为(C)


A.32°B.28°C.58°D.45°





4.如图,C是路段AB的中点,甲、乙两人从C同时出发,以相同的速度分别沿CD和CE行走,并同时到达D,E两地,DA⊥AB,EB⊥AB.D,E两地与路段AB的距离相等吗?为什么?


解:相等.


理由:由已知得CD=CE.


∵DA⊥AB,EB⊥AB,∴∠A=∠B=90°.


在Rt△ADC和Rt△BEC中,





∴Rt△ADC≌Rt△BEC(HL),


∴AD=BE.


∴D,E两地与路段AB的距离相等.


知识点3 “HL”的简单推理证明的应用








5.如图,在△ABC中,AB=AC,AE是经过点A的一条直线,且B,C在AE的两侧,BD⊥AE于点D,CE⊥AE于点E,AD=CE,则∠BAC的度数是(C)


A.45°B.60°C.90°D.120°


6.如图,AC⊥CB,DB⊥CB,AB=DC.求证:∠ABD=∠ACD.





证明:∵AC⊥CB,DB⊥CB,


∴∠ACB=∠DBC=90°.


在Rt△ACB和Rt△DBC中,





∴Rt△ACB≌Rt△DBC(HL),∴∠1=∠2,


∴∠DBC-∠1=∠ACB-∠2,即∠ABD=∠ACD.


综合能力提升练


7.下列条件中,能判定两个直角三角形全等的是(D)


A.一锐角对应相等B.两锐角对应相等


C.一条边对应相等D.两条直角边对应相等


8.在平面直角坐标系内,点O为坐标原点,A(-4,0),B(0,3).若在该坐标平面内有以点P(不与点A,B,O重合)为一个顶点的直角三角形与Rt△ABO全等,且这个以点P为顶点的直角三角形与Rt△ABO有一条公共边,则所有符合条件的三角形个数为(A)


A.9B.7C.5D.3


提示:以AB,OA,OB为公共边的符合条件的三角形各有3个.





9.如图,两棵大树间相距13 m,小华从点B沿BC走向点C,行走一段时间后他到达点E,此时他仰望两棵大树的顶点A和D,两条视线的夹角正好为90°,且EA=ED.已知大树AB的高为5 m,小华行走的速度为1 m/s,则这时小华行走的时间是(B)


A.13 sB.8 sC.6 sD.5 s





10.(镇江中考)如图,AD,BC相交于点O,AD=BC,∠C=∠D=90°.


(1)求证:△ACB≌△BDA;


(2)若∠ABC=35°,则∠CAO= 20 °.


解:(1)在Rt△ACB和Rt△BDA中,


∴Rt△ACB≌Rt△BDA(HL).


11.如图,AD为△ABC的高线,E为AC上的一点,BE交AD于点F,且BF=AC,FD=CD,求证:BE⊥AC.





证明:∵AD为△ABC的高,


∴∠BDA=∠ADC=90°,


在Rt△BDF和Rt△ADC中,





∴Rt△BDF≌Rt△ADC(HL),∴∠BFD=∠C.


∵∠DBF+∠BFD=90°,∴∠DBF+∠C=90°,


∴∠BEC=90°,∴BE⊥AC.


12.如图,AB=AC,AD⊥BC于点D,AD=AE,AB平分∠DAE交DE于点F,请你写出图中三对全等三角形,并选取其中一对加以证明.





解:(1)△ADB≌△ADC,△ABD≌△ABE,△AFD≌△AFE,△BFD≌△BFE,△ABE≌△ACD.(写出其中的三对即可)


(2)以△ADB≌△ADC为例证明.


∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°.


在Rt△ADB和Rt△ADC中,


∵AB=AC,AD=AD,


∴Rt△ADB≌Rt△ADC(HL).


13.在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.


(1)求证:Rt△ABE≌Rt△CBF;


(2)若∠CAE=30°,求∠ACF的度数.





解:(1)∵∠ABC=90°,∴∠CBF=∠ABE=90°.


在Rt△ABE和Rt△CBF中,


∵AE=CF,AB=BC,


∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL).


(2)∵AB=BC,∠ABC=90°,


∴∠CAB=∠ACB=45°,


∴∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°.


由(1)知Rt△ABE≌Rt△CBF,


∴∠BCF=∠BAE=15°,


∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°.





14.如图,AB=AC,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,BE与CD相交于点O.


(1)求证:AD=AE;


(2)连接OA,BC,试判断直线OA与BC的位置关系并说明理由.





解:(1)在△ACD与△ABE中,


∵∠A=∠A,∠ADC=∠AEB=90°,AB=AC,


∴△ACD≌△ABE(AAS),∴AD=AE.


(2)互相垂直.


理由:连接AO并延长交BC于点F.


在Rt△ADO与Rt△AEO中,


∵OA=OA,AD=AE,


∴Rt△ADO≌Rt△AEO(HL),


∴∠DAO=∠EAO.


在△ABF和△ACF中,


∴△ABF≌△ACF(SAS),


∴∠AFB=∠AFC=90°,


∴直线OA与BC互相垂直.