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华师大版第21章 二次根式综合与测试导学案
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这是一份华师大版第21章 二次根式综合与测试导学案，共11页。学案主要包含了知识结构图，考点例析，热点，本章达标测试等内容，欢迎下载使用。
一、知识结构图
二、重、难点梳理
1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．事实上（a≥0）表示非负数a的算术平方根.
2．满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式（即被开方数不含分母）；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．如等是最简二次根式.但等不是最简二次根式.
3．几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式.如是同类二次根式.
4、二次根式的主要性质
（1）（a≥0）是一个非负数，即≥0（a≥0）；
（2）()2=a (a≥0)；
（3）；
（4）二次根式的乘法法则：
（5）二次根式的除法法则：
5、二次根式的运算
（1）二次根式的加减：二次根式相加减，先把各个根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并（类似整式中的合并同类项）.
（2）二次根式的乘除：二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变.
三、考点例析
考点1: 最简二次根式
例1 、(2010年哈尔滨市) 在下列根式中,最简二次根式的个数为( )
A．4个 B. 3 个 C. 2个 D.1个
分析: 是最简二次根式, 中有因式可以开出,中有因数可以开出，所以不是最简二次根式.故选C.
考点2: 同类二次根式
例2 、(2010年北京市) 下列根式中,能与合并的是( )
A． B.
C. D.
分析: 能与合并的应是的同类二次根式,这几个二次根式都不是最简二次根式, 应先化为最简二次根式,=; ;;.所以与是同类二次根式的是,故选B.
例3 、(2010年青海省)若最简二次根式与的被开方数相同,则的值为( )
A． B.
C. D..
分析: 最简二次根式与的被开方数相同;即,解得， 故选C.
考点3: 二次根式的运算
例4、 (2010年山东省东营市) 下列计算正确的是 ( )
A． B.
C. D..
分析: 由二次根式的性质和运算法则的. 而B选项中明显用被开方数除以非被开方数,错用二次根式除法法则;C选项用平方差公式即可得4－5 =－1; D选项丢了=-1这一项.故选A.
例5、（2010年江西省）化简得( )
A．－2 B.
C. 2 D.
分析:由二次根式的性质和运算法则得,.故选A.
考点4:化简
例6、 （2010年北京市）计算
分析：原式=.
考点5: 运用二次根式的性质化简
例7、（2010年江西省）已知 ．
分析：
例8、 （2010年绍兴）化简得（ ）
A．2 B. C. －2 D..
分析:由,所以==,故应选A.
考点6：二次根式成立的条件
例9、（2010年山西省课该实验区）代数式有意义时，字母的取值范围（ ）
A． B. C. D..
分析:由分母不为零和二次根式的被开方数为非负数，所以即故选A
考点7：估算二次根式
例10、（2010年沈阳课改）估算的值为( )
A．在5和6之间 B. 在6和7之间
C. 在7和8之间 D.在8和9之间.
分析：因为即，所以.故选C.
四、热点、易混点追踪
1、概念理解模糊、审题不清
例1、有下列命题：（1）二次根式的被开方数是相负数，则其值是非负数；（2）是最简二次根式；（3）若是二次根式，则.其中正确的个数有（ ）个.
A、0 B、1 C、2 D、3
错解：选D.
剖析：本例中，（1）错在对二次根式概念的狭隘理解，认为形如的式子就是二次根式，而二次根式的值是非负数的.事实上，－2等也是二次根式，但它是非正数.（2）错在忽视了的条件.（3）错在将二次根式的概念与其性质混为一谈了，事实上只要满足即可.故选A.
例2、已知与是同类二次根式，则的值为（ ）
A、4 B、5 C、无数个 D、非上述答案
错解：选A.
剖析：选项A错在是解而得，这考虑仅仅是最简二次根式的情况.当或52×5也是同类二次根式，故选C.
2、对性质成立的条件理解不透
例3、有下列各式：（1）；（2）；（3）一定成立的有（ ）个.
A、0 B、1 C、2 D、3
错解：选D.
剖析：（1）错在不一定是非负数，（2）错在忽视了的条件，（3）错在等式要成立，必须满足.故选A.
3、忽视几何图形中的条件限制
例4、已知为△ABC的三边长，求的值.
错解：原式=.
剖析：本例错在忽视了“三角形两边之和大于第三边”条件的限制，而导致错误.
原式=.
4、计算不依据法则，随意而为
例5、下列计算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.正确的个数有（ ）
A、3 B、4 C、5 D、非上述答案
错解：选C.
剖析：（1）错在臆造；（2）错在合并同类二次根式是只考虑了“系数”；（3）错在套用了整数与分数相加的法则；（4）、（5）错在想巧算、快算反而弄巧成拙.故5个都错，选D.
5、求解顾后不瞻前
例6、若有意义，则的取值范围是 .
错解：由题意，得，解得.
剖析：本例虽然考虑到被开方数的取值情况，但忽视了分母不能为零这个条件，正确结果为且.
例7、先化简，然后再选择合适的数求值.
错解：原式=.当=0时，原式=0.
剖析：由题意，知，当=0时，原式无意义，因此只可取的数求值.如取=4时，原式=6.
例8、解方程：
错解：原方程变为：，解得：.
剖析：只顾一直做下去，以为求得解了就大功告成，是犯这类错误的特点.如果解题后，回过头来验证一下，就可以避免这类错误了，本题中，=－2时，无意义，所以=2.
6、忽视隐含条件，使结论多解、漏解
例9、化简.
错解：原式=.
剖析：本例隐含着，故，则，化简得原式=1.
7、已知，那么的值是 .
错解：原式=.
剖析：虽然，但我们并不知道的取值符号，因此要进行讨论.（1）当时，原式=；（2）当时，原式=.故填.
五、本章达标测试
一、选择题（每小题3分，共30分）：
1、已知与是同类二次根式，则的值为（ ）
A、4 B、5 C、无数个 D、非上述答案
2、有下列各式：（1）；（2）；（3）.一定成立的有（ ）
A、0个 B、1个 C、2个 D、3个
3、如果实数满足，则的值为（ ）
A、0 B、5 C、2 D、－5
4、若，且，则的值为（ ）
A、14.02 B、 C、 D、1.402
5、如果，则的关系为（ ）
A、 B、 C、 D、
6、下列运算正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
7、如果代数式有意义，那么直角坐标系中点P的位置在（ ）
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
8、下列各组二次根式中，的取值范围相同的是（ ）
A、与 B、与
C、与 D、与
9、如图所示，有一边长为8米的正方形大厅，它是由大小完全相同的黑白方砖密铺而成，则每一块方砖的边长为（ ）
A、 EQ \F(8,5) B、 EQ \R(,2) ＋1 C、 EQ \R(,2) D、 EQ \F( EQ \R(,2) ＋1,2)
二、填空题（每小题2分，共20分）：
10、请写出一个无理数使它与的积是有理数： .
11、若，则a的取值范围是__________________．若 EQ \R(, EQ \F(1－a,a2) ) ＝ EQ \F( EQ \R(,1－a) ,a) ，则a的取值范围是 .
12、已知二次根式与是同类二次根式，试写出三个a的可能取值 .
13、一个密码系统的原理如下所示：输入→→输出，如果输出结果为13时，则输入的=
.
14、已知，那么的值是 .
15、已知，，则用含的代数式表示为 .
16、已知（为正整数），当时，有.请用计算器计算当时，A、B的若干值，并由此归纳出当时，A、B间的大小关系为 .
17、数a、b在数轴上的位置如图所示，化简= ．
18、已知长方形相邻两边之比为2︰3， 对角线长为，则长方形的面积为 .
19、规定两种新运算：，如，那么= .
三、解答题（70分）：
20、（8分）不使用计算器，计算
21、（10分）已知，求的值.
22、（10分）图1是一种两种口味的火锅，为了制造这种火锅，我们把这个实际问题转化为一个数学问题就是在一圆筒里放入两种不同的物体，并用一个长方形的金属薄片（金属厚度忽略不计）分隔开来（如图2），已知圆筒高为，容积为，问这个长方形玻璃薄片的面积为多少？（取3.14，玻璃薄片的上边与圆筒的上底面持平）
图1 图2
23、（10分）边长为a的正方形桌面，正中间有一个边长为的正方形方孔．若沿图中虚线锯开，可以拼成一个新的正方形桌面．你会拼吗？试求出新的正方形边长．
24、（7分）已知：=│a│，，一个同学在化简时是这样化简的：=2+．
请仿照这个同学的做法化简：.
25、（7分）阅读理解：
我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，如，现在请你计算.
26、（10分）同学们都知道对于的式子，可以将分子、分母同乘以来化去分母中的根号，如，那么如果分母中是形如的形式，该怎么办呢？办法有的是，我们可以利用平方差公式，将分子、分母同乘以，从而化去分母中的根号，如.根据以上介绍，请你解答下面的问题：
（1）已知的整数部分为，小数部分为，求的值.
（2）试着化简：
参考答案
一、1～9 、C A D C B D B C C
二、10、
11、，0＜a≤1
12、3，31，87
13、±
14、±
15、
16、
17、－2
18、18
19、
三、20、
21、
22、解：设圆柱形圆筒的底面半径为，则：=，故长方形玻璃薄片的面积应为：.
23、解：设新正方形的边长为，根据题意有：，解得.
24、3－
25、
26、（1）
（2）原式==2
一、知识结构图
二、重、难点梳理
1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．事实上（a≥0）表示非负数a的算术平方根.
2．满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式（即被开方数不含分母）；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．如等是最简二次根式.但等不是最简二次根式.
3．几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式.如是同类二次根式.
4、二次根式的主要性质
（1）（a≥0）是一个非负数，即≥0（a≥0）；
（2）()2=a (a≥0)；
（3）；
（4）二次根式的乘法法则：
（5）二次根式的除法法则：
5、二次根式的运算
（1）二次根式的加减：二次根式相加减，先把各个根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并（类似整式中的合并同类项）.
（2）二次根式的乘除：二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变.
三、考点例析
考点1: 最简二次根式
例1 、(2010年哈尔滨市) 在下列根式中,最简二次根式的个数为( )
A．4个 B. 3 个 C. 2个 D.1个
分析: 是最简二次根式, 中有因式可以开出,中有因数可以开出，所以不是最简二次根式.故选C.
考点2: 同类二次根式
例2 、(2010年北京市) 下列根式中,能与合并的是( )
A． B.
C. D.
分析: 能与合并的应是的同类二次根式,这几个二次根式都不是最简二次根式, 应先化为最简二次根式,=; ;;.所以与是同类二次根式的是,故选B.
例3 、(2010年青海省)若最简二次根式与的被开方数相同,则的值为( )
A． B.
C. D..
分析: 最简二次根式与的被开方数相同;即,解得， 故选C.
考点3: 二次根式的运算
例4、 (2010年山东省东营市) 下列计算正确的是 ( )
A． B.
C. D..
分析: 由二次根式的性质和运算法则的. 而B选项中明显用被开方数除以非被开方数,错用二次根式除法法则;C选项用平方差公式即可得4－5 =－1; D选项丢了=-1这一项.故选A.
例5、（2010年江西省）化简得( )
A．－2 B.
C. 2 D.
分析:由二次根式的性质和运算法则得,.故选A.
考点4:化简
例6、 （2010年北京市）计算
分析：原式=.
考点5: 运用二次根式的性质化简
例7、（2010年江西省）已知 ．
分析：
例8、 （2010年绍兴）化简得（ ）
A．2 B. C. －2 D..
分析:由,所以==,故应选A.
考点6：二次根式成立的条件
例9、（2010年山西省课该实验区）代数式有意义时，字母的取值范围（ ）
A． B. C. D..
分析:由分母不为零和二次根式的被开方数为非负数，所以即故选A
考点7：估算二次根式
例10、（2010年沈阳课改）估算的值为( )
A．在5和6之间 B. 在6和7之间
C. 在7和8之间 D.在8和9之间.
分析：因为即，所以.故选C.
四、热点、易混点追踪
1、概念理解模糊、审题不清
例1、有下列命题：（1）二次根式的被开方数是相负数，则其值是非负数；（2）是最简二次根式；（3）若是二次根式，则.其中正确的个数有（ ）个.
A、0 B、1 C、2 D、3
错解：选D.
剖析：本例中，（1）错在对二次根式概念的狭隘理解，认为形如的式子就是二次根式，而二次根式的值是非负数的.事实上，－2等也是二次根式，但它是非正数.（2）错在忽视了的条件.（3）错在将二次根式的概念与其性质混为一谈了，事实上只要满足即可.故选A.
例2、已知与是同类二次根式，则的值为（ ）
A、4 B、5 C、无数个 D、非上述答案
错解：选A.
剖析：选项A错在是解而得，这考虑仅仅是最简二次根式的情况.当或52×5也是同类二次根式，故选C.
2、对性质成立的条件理解不透
例3、有下列各式：（1）；（2）；（3）一定成立的有（ ）个.
A、0 B、1 C、2 D、3
错解：选D.
剖析：（1）错在不一定是非负数，（2）错在忽视了的条件，（3）错在等式要成立，必须满足.故选A.
3、忽视几何图形中的条件限制
例4、已知为△ABC的三边长，求的值.
错解：原式=.
剖析：本例错在忽视了“三角形两边之和大于第三边”条件的限制，而导致错误.
原式=.
4、计算不依据法则，随意而为
例5、下列计算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.正确的个数有（ ）
A、3 B、4 C、5 D、非上述答案
错解：选C.
剖析：（1）错在臆造；（2）错在合并同类二次根式是只考虑了“系数”；（3）错在套用了整数与分数相加的法则；（4）、（5）错在想巧算、快算反而弄巧成拙.故5个都错，选D.
5、求解顾后不瞻前
例6、若有意义，则的取值范围是 .
错解：由题意，得，解得.
剖析：本例虽然考虑到被开方数的取值情况，但忽视了分母不能为零这个条件，正确结果为且.
例7、先化简，然后再选择合适的数求值.
错解：原式=.当=0时，原式=0.
剖析：由题意，知，当=0时，原式无意义，因此只可取的数求值.如取=4时，原式=6.
例8、解方程：
错解：原方程变为：，解得：.
剖析：只顾一直做下去，以为求得解了就大功告成，是犯这类错误的特点.如果解题后，回过头来验证一下，就可以避免这类错误了，本题中，=－2时，无意义，所以=2.
6、忽视隐含条件，使结论多解、漏解
例9、化简.
错解：原式=.
剖析：本例隐含着，故，则，化简得原式=1.
7、已知，那么的值是 .
错解：原式=.
剖析：虽然，但我们并不知道的取值符号，因此要进行讨论.（1）当时，原式=；（2）当时，原式=.故填.
五、本章达标测试
一、选择题（每小题3分，共30分）：
1、已知与是同类二次根式，则的值为（ ）
A、4 B、5 C、无数个 D、非上述答案
2、有下列各式：（1）；（2）；（3）.一定成立的有（ ）
A、0个 B、1个 C、2个 D、3个
3、如果实数满足，则的值为（ ）
A、0 B、5 C、2 D、－5
4、若，且，则的值为（ ）
A、14.02 B、 C、 D、1.402
5、如果，则的关系为（ ）
A、 B、 C、 D、
6、下列运算正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
7、如果代数式有意义，那么直角坐标系中点P的位置在（ ）
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
8、下列各组二次根式中，的取值范围相同的是（ ）
A、与 B、与
C、与 D、与
9、如图所示，有一边长为8米的正方形大厅，它是由大小完全相同的黑白方砖密铺而成，则每一块方砖的边长为（ ）
A、 EQ \F(8,5) B、 EQ \R(,2) ＋1 C、 EQ \R(,2) D、 EQ \F( EQ \R(,2) ＋1,2)
二、填空题（每小题2分，共20分）：
10、请写出一个无理数使它与的积是有理数： .
11、若，则a的取值范围是__________________．若 EQ \R(, EQ \F(1－a,a2) ) ＝ EQ \F( EQ \R(,1－a) ,a) ，则a的取值范围是 .
12、已知二次根式与是同类二次根式，试写出三个a的可能取值 .
13、一个密码系统的原理如下所示：输入→→输出，如果输出结果为13时，则输入的=
.
14、已知，那么的值是 .
15、已知，，则用含的代数式表示为 .
16、已知（为正整数），当时，有.请用计算器计算当时，A、B的若干值，并由此归纳出当时，A、B间的大小关系为 .
17、数a、b在数轴上的位置如图所示，化简= ．
18、已知长方形相邻两边之比为2︰3， 对角线长为，则长方形的面积为 .
19、规定两种新运算：，如，那么= .
三、解答题（70分）：
20、（8分）不使用计算器，计算
21、（10分）已知，求的值.
22、（10分）图1是一种两种口味的火锅，为了制造这种火锅，我们把这个实际问题转化为一个数学问题就是在一圆筒里放入两种不同的物体，并用一个长方形的金属薄片（金属厚度忽略不计）分隔开来（如图2），已知圆筒高为，容积为，问这个长方形玻璃薄片的面积为多少？（取3.14，玻璃薄片的上边与圆筒的上底面持平）
图1 图2
23、（10分）边长为a的正方形桌面，正中间有一个边长为的正方形方孔．若沿图中虚线锯开，可以拼成一个新的正方形桌面．你会拼吗？试求出新的正方形边长．
24、（7分）已知：=│a│，，一个同学在化简时是这样化简的：=2+．
请仿照这个同学的做法化简：.
25、（7分）阅读理解：
我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，如，现在请你计算.
26、（10分）同学们都知道对于的式子，可以将分子、分母同乘以来化去分母中的根号，如，那么如果分母中是形如的形式，该怎么办呢？办法有的是，我们可以利用平方差公式，将分子、分母同乘以，从而化去分母中的根号，如.根据以上介绍，请你解答下面的问题：
（1）已知的整数部分为，小数部分为，求的值.
（2）试着化简：
参考答案
一、1～9 、C A D C B D B C C
二、10、
11、，0＜a≤1
12、3，31，87
13、±
14、±
15、
16、
17、－2
18、18
19、
三、20、
21、
22、解：设圆柱形圆筒的底面半径为，则：=，故长方形玻璃薄片的面积应为：.
23、解：设新正方形的边长为，根据题意有：，解得.
24、3－
25、
26、（1）
（2）原式==2
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