九年级上册第22章 一元二次方程综合与测试导学案

这是一份九年级上册第22章 一元二次方程综合与测试导学案，共8页。学案主要包含了知识脉络图，重点，主要知识解读，典型例题解析等内容，欢迎下载使用。

本章内容主要分为三部分，第一部分是一元二次方程的有关概念第二部分是一元二次方程的解法第三部分是实际与探索（即一元二次方程的应用），该章是初中数学中十分重要的一个内容，是各地中考基本题、中档题和高分题命题的一个热点题源．主要题型有：（1）不解方程，判断方程根的情况（2）求方程中的参系数值、范围或相互关系（3）验根、求根或确定方程根的符号（5）求与方程根有关的代数式的值（6）列方程解应用题．应用题主要讨论行程问题、工程问题等及其他类型的常见应用问题．近年出现的一些与市场经济、社会重大问题等有关的新颖情境问题层出不断，且已成为中考命题的方向．


一、知识脉络图





二、重点、难点与关键


重点：一元二次方程的解法；


难点：一元二次方程的应用；


关键：通过分析题意，从中提炼有用信息，确定问题中各量之间的数量关系，建立一元二次方程模型．


三、主要知识解读


1、一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式是．


2、一元二次方程的解法


五、典型例题解析


例1．方程是一元二次方程，则 = ．


命题意图：考查一元二次方程的概念及其成立的条件（二次项系数不为零）．


思路分析：首先根据一元二次方程的定义得，；再由一元二次方程的定义


中这一条件得来求的值．


解：．


例2．请写出一个根为，另一个根满足的一元二次方程 ．


命题意图：本题考查一元二次方程根的定义．


思路分析：本题是道开放型试题，答案不唯一．首先要明确一元二次方程的概念及其解的含义，其次要选用恰当的


方法——待定系数法，即可以先假定中中一个数的值已给定，然后将方程的根代入原方程，求


得另两个数，从而求得的值．


解：因为另一个根满足，所以不妨设另一根为0，那么满足条件的方程可以为．


例3．用配方法解方程：．


命题意图：本题考查用配方法解一元二次方程．


思路分析：用配方法解一元二次方程的关键是：首先将二次项系数化为，并将常数项移到方程右边后，关键是方程


两边都加上一次项系数一半的平方，然后写出完全平方的形式，用直接开平方法求得．


解：，，所以，所以，．


例4．某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为kg，出油率为（即每千克花生可加工成花生油kg）．


现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油kg，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的，求新品种花生亩产量的增长率．


命题意图：考查学生运用增长率解决实际问题的能力．


思路分析：增长率问题在近年中考试题中频频出现，解决此类问题应掌握：（1）增长率是指增长数与基准数的比；


（2）如果设基准数为，增长率为，那么第一次增长后的亩产量为．


解：设新品种花生亩产量的增长率为，根据题意，得.


解得 (不合题意舍去)．


答：新品种花生亩产量的增长率为．


例5．某百货商场服装柜在销售中发现“宝乐”牌童装平均每天可售出件，每件盈利元．为了迎接“六·一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现；如果每件童装每降价元，那么平均每天就可多售出件．要想平均每天在销售这种童装上盈利元，那么每件童装应降价多少元？


命题意图：本题考查一元二次方程解应用题及分析问题和解决实际问题的能力．


思路分析：解决本题的关键是根据“每天所卖童装件数×每件童装赢利=每件赢利元”关系式建立方程．不妨设每


件降价元，可知在每天售件，每天盈利元的基础上，根据每降价元，就多售件得降价元，多售件，即售


件，相应每件盈利减少元，即盈利元，列出方程并求解，对所求结果，还要结合“减少库存”进行取舍，


从而得到最后结果．


解：设降价元，则，解得，由于要减少库存，故降价越多，售出越多，库


存越少，故取．


答：每件降价元．


章末测试题


一、选择题：


1、（2010湖北鄂州）庆“五一”,市工会组织篮球比赛,赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）,共进行了45场比赛,这次有____ 队参加比赛.


A.12 B.11 C. 9 D10


选D.


2、（2010江苏苏州）下列四个说法中，正确的是


A．一元二次方程有实数根；


B．一元二次方程有实数根；


C．一元二次方程有实数根；


D．一元二次方程x2+4x+5=a(a≥1)有实数根．


选D





3、（2010安徽芜湖）关于x的方程(a －5)x2－4x－1＝0有实数根，则a满足（ ）


A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5


选A





4、（2010 嵊州市）已知是方程的两根，且，则的值等于 （ ）


A．－5 B.5 C.-9 D.9


选C


5、已知反比例函数,当x＞0时,随x的增大而增大,则关于x的方程的根的情况是（ ）


A.有两个正根 B.有两个负根 C.有一个正根一个负根 D.没有实数根


答案：C


6、心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间(min)之间满足：，则当=59时所用的时间为（ ）


A、10或16分钟 B、10分钟 C、16分钟 D、8或16分钟


答案：A


7、三国时期的数学家赵爽,在其所著的《勾股圆方图注》中记载用图形的方法来解一元二次方程，四个相等的矩形（每一个矩形的面积都是35）拼成如图所示的一个大正方形，利用所给的数据，能得到的方程是（ ）


A. B.


C. D.





答案：A


8、用换元法解方程，设，则原方程可化为 （ ）


A. B. C. D.


答案：A


二、填空题：


9、（2010辽宁大连）如图是一张长9cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是12 的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为，则可列出关于的方程为





答案：


10、（2010 四川自贡）关于x的一元二次方程－x2＋（2m＋1）x＋1－m2=0无实数根，则m的取值范围是_______________。


答案：＜－


11、设A是方程的所有根的绝对值之和，则= .


12、若一元二次方程有一个根为1,则= ;若有一个根为-1,则与之间的关系为 ;若有一个根为零,则= .


13、如果是一个完全平方式，则


14、已知是方程的一个根,则= ,另一根为 .


15、已知一个小灯泡的额定功率为1.8，额定电压小于8.当它与一个30的电阻并联后接入电路时，干流电路的电流是0.5，且灯泡正常发光，则小灯泡的额定电压是 .（提示：干流电路的电流计算公式为）


16、国家为了加强对香烟产销的宏观管理，对销售香烟实行征收附加税政策.现在知道某种品牌的香烟每条的市场价格为70元，不加收附加税时，每年产销100万条.若国家征收附加税，每销售100元征税元（叫做税率%），则每年的产销量将减少10万条.要使每年对此项经营收取附加税金为168万元，并使香烟的产销量得到宏观控制，年产销量不超过50万条，则税率应确定为 .





答案：11、4083


12、.


13、2


14、－6,


15、6.提示：设小灯泡的额定电压为，根据题意，得，解得（舍去），因额定电压小于8，所以=6.


16、6%.提示：由题意，易得，整理后得，解得，当时，100－10×4=60＞50，不符合题意，舍去.当时，100－10×6=40＜50，故税率应确定为6%.











三、解答题：


17、（1）





(2)





(3)








答案：（1）； （2）； （3）.





18、（2010四川达州）在一块长16m，宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案.





(1)同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由.


(2)你还有其他的设计方案吗？请在图中画出你所设计的草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明.


解：（1）不符合. 设小路宽度均为 m，根据题意得：,解这个方程得：但不符合题意，应舍去,∴.∴小芳的方案不符合条件，小路的宽度均为2m.


（2）答案不唯一.例如：








19、（2010湖南长沙）长沙市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．


（1）求平均每次下调的百分率；


（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元，请问哪种方案更优惠？


解：（1）设平均每次下调的百分率为x，根据题意，得，解得，（不合题意舍去）.所以平均每次下调的百分率为0.1.


（2）方案①购房少花4050×100×0.02＝8100（元），但需要交两年的物业管理费1.5×100×12×2＝3600（元），实际得到的优惠是8100－3600＝4500（元）；方案②省两年物业管理费1.5×100×12×2＝3600（元）．因此方案①更优惠．





20、在某次数字变换游戏中，我们把整数0，1，2，…，200称为“旧数”，游戏的变换规则是：将旧数先平方，再除以100，所得到的数称为“新数”.


（1）请把旧数60按照上述规则变成新数；


（2）是否存在这样的旧数，经过上述规则变换后，新数比旧数大75，如果存在，请求出这个旧数；如果不存在，请说明理由.





解：（1）；（2）存在.设这个旧数为，依题意得，整理得.解得（不合题意，舍去）.











21、（2010浙江绍兴）某公司投资新建了一商场,共有商铺30间.据预测,当每间的年租金定为10万元时,可全部租出.每间的年租金每增加5 000元,少租出商铺1间.该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元,未租出的商铺每间每年交各种费用5 000元.（1）当每间商铺的年租金定为13万元时,能租出多少间？（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时,该公司的年收益（收益＝租金－各种费用）为275万元？





解：（1）∵ 30 000÷5 000=6，∴ 能租出24间.


（2）设每间商铺的年租金增加x万元，则（30-）×（10+x）-（30-）×1-×0.5=275，2 x2-11x+5=0，∴ x=5或0.5，∴ 每间商铺的年租金定为10.5万元或15万元.直接开平方法
配方法
求根公式法
因式分解法
理论


依据
平方根的定义
完全平方公式


直接开平方法
配方法和直接


开平方法
，


则或
适


用


题


型
，



所有的一元二次方程
所有的一元


二次方程
左边能分解因式，


右边为的方程
方


法


或


步


骤
观察方程是否


符合或


；


直接开平方，得两


个一次方程；


3、解一元一次方程得


原方程的两个根



化二次项系数为1


移项，使方程左边之含有二


次项和一次项，右边为常数项


方程两边都加上一次项系数


一半的平方


原方程变为



1、把方程化为一般


形式


2、确定 的值


3、求出的值


4、的值代入



1、将方程右边化为


2、将方程左边进行


因式分解


3、令每个因式等于，


得两个一元一次方程


4、解这两个一元一次


方程，得方程的两个


根．