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初中数学华师大版九年级上册23.4 中位线导学案
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这是一份初中数学华师大版九年级上册23.4 中位线导学案，共10页。学案主要包含了解题思路，方法归纳，基础过关，应用拓展，综合提高等内容，欢迎下载使用。
课前知识管理
1、连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.如图1.在△ABC中，点E，F分别是AB、AC的中点，则线段EF就是△ABC的一条中位线.
定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.用符号语言表述为：如图，在△ABC中，点E，F分别是AB、AC的中点，则EF∥BC，并且.
名师导学互动
典例精析：
知识点1：用三角形中位线判断四边形形状
例1、在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH是（ ）
（A）等腰梯形 （B）矩形 （C）菱形 （D）正方形
【解题思路】因为梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，所以梯形为等腰梯形，等腰梯形的对角线长相等，即AC=BD，而根据三角形中位线定理，可知EF与HG都平行且等于AC的一半，同理，EH和FG都平行且等于BG的一半，所以EF=FG=GH=HE，所以四边形为菱形.
【解】选C.
【方法归纳】顺次连结四边形各边中点，原四边形的两条对角线和中点四边形之间的关系为：
对应练习：顺次连结等腰梯形四边中点得到一个四边形，再顺次连结所得四边形各边中点得到的图形是 .
答案：矩形.
知识点2：利用三角形中位线计算
例2、如图，在等腰梯形中，，，，相交于点，且，顺次连结等腰梯形各边中点所得四边形的周长是（ ）
A．24 B．20 C．16 D．12
【解题思路】过D作FD∥AC交BC的延长线交于E,由已知条件易知是等边三角形,而四边形ACED为平行四边形,易得AC=BD=BE=DE=AD+BC=8,由三角形中位线定理可得,中位线等于第三边的一半,所以顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形的周长为16.
【解】选C.
【方法归纳】梯形中常见的辅助线常有平移一腰，作底边上的高线，平移一条对角线，延长两腰等方法.通过辅助线将梯形转化为特殊三角形，或平行四边形，矩形等以便找出等量关系.
对应练习：如图所示，EF是△ABC的中位线，BD平分交EF于D，若ED=2，则EB=________________.
答案：2
知识点3：应用三角形中位线定理说明角相等
例3、已知，如图，四边形ABCD中，AB＝CD，E、F分别是AD、BC的中点，BA、FE的延长线相交于点M，CD、FE的延长线相交于点N.试说明：∠AME＝∠DNE.
【解题思路】因E、F分别是AD、BC的中点，可考虑连结BD，构造出中位线.
【解】连结BD，取BD的中点O，连结OE、OF.易得EO＝AB，且EO∥AB，FO＝CD，且FO∥CD. ∴∠OEF＝∠AME，∠OFE＝∠DNE.
又因为AB＝CD，∴EO＝FO，∴∠OEF＝∠OFE，∴∠AME＝∠DNE.
【方法归纳】要善于利用点构造“中位线”研究相关问题，一般是由“中点”联想到“中位线”，多数情况下这个想法是行得通的.
对应练习：如图所示，在△ABC中，AC=5，中线AD=4，则AB边的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
知识点4：应用三角形中位线定理证明线段相等
例4、如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且BD=CE，M，N分别是BE、CD的中点，过M、N的直线交AB于P，交AC于点Q.求证：AP=AQ.
【解题思路】欲证AP=AQ，可考虑证明.根据题设条件，可取BC的中点F，连结FM，FN，（如图3）则MF、NF分别是△BCE和△BCD的中位线.利用BD=CE易证FM=FN，从而，由平行线的性质可知，于是成立，进而结论成立.
【解】证明：取BC的中点F，连结FM，FN，由条件知：MF、NF分别是△BCE和△BCD的中位线，∴FM∥AC，FN∥BD，，∴.又因为BD=CE，所以 FM=FN。
∴，所以，所以 AP=AQ.
【方法归纳】若已知条件中有中点，常取某一边中点，构造三角形的中位线，运用三角形中位线性质定理得到某些线段相等或角相等.
对应练习：已知，如图，四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，且AC＝BD，E、F分别是AD、BC的中点，EF分别交AC、BD于点M、N.试说明：OM＝ON.
解：取AB的中点P，连结EP、FP.易得EP＝BD且EP∥BD，FP＝AC且FP∥AC.∴∠DNE＝∠PEN，∠CMF＝∠PFM，
又∵AC＝BD，∴PE＝PF，∴∠PEN＝∠PFM，∴∠DNE＝∠CMF，∴OM＝ON.
知识点5：应用中位线定理求面积
例5、如图，在△ABC中，BC>AC,点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连结EF，若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积.
【解题思路】由题意，易得EF∥BD ，，并推出 △AEF∽△ABD ，，即 ，从而可求出△ABD的面积.
【解】，∴ .又∵ ，∴ CF是△ACD的中线，∴ 点F是AD的中点.∵ 点E是AB的中点，∴ EF∥BD， ∴ △AEF∽△ABD，， ，∵，∴ ，∴ ，即 的面积为8.
【方法归纳】在运用“相似三角形的面积比等于相似比的平方”这一性质时，同样要注意是对应三角形的面积比.不要犯由EF︰BD=1︰2， 得S△AEF︰S△ABD =1︰2，或S△AEF︰S四边形BDFE =1︰2，之类的错误.
对应练习：已知，如图，△ABC的中线AD、BE交于点G.试说明：S△ABG＝S四边形CEGD.
解：连结DE，易得DE∥AB，∴S△ABE＝S△ABD.
又因为AD是△ABC的BC边上的中线，∴S△ABD＝S△ACD，∴S△ABE＝S△ACD.∴S△ABE－S△AEG＝S△ACD－S△AEG，即S△ABG＝S四边形CEGD.
易错警示
例6、已知等腰△ABC中，∠C=90°，AB=10，D、E分别是AB、AC的中点，求DE的长.
错解：由已知可得，DE是△ABC的中位线，所以DE=AB=5.
错因分析：DE是△ABC的中位线没错，但中位线DE的第三边却不是AB，而是BC，造成错解的原因是对中位线定理中的“第三边”理解不透.
正解：由已知可得：BC=AB÷=5，因此DE=BC=.
课堂练习评测
考点1：三角形中位线
1、如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论：①BC=2DE；②△ADE∽△ABC；③．其中正确的有熊方亮考分类\2010中考精品wrd模板批量转换器\2010精品分类汇编（7月16）\123456\黄刚
中德鹏
（ ）
（A）3个 （B）2个 （C）1个 （D）0个
2、如图，AD是ΔABC的中线，∠ADC=45°，把ΔADC沿AD 对折，点C落在点C′的位置，则BC′与BC之间的数量关系是 .
3、如图，是的中位线，cm，cm，则 cm，梯形的周长为 cm．
课后作业练习
【基础过关】
1．连结三角形___________的线段叫做三角形的中位线．
2．三角形的中位线______于第三边，并且等于_______．
3．一个三角形的中位线有_________条．
4．如图(1)所示，EF是△ABC的中位线，若BC=8cm，则EF=_______cm．
(1) (2) (3) (4)
5．三角形的三边长分别是3cm，5cm，6cm，则连结三边中点所围成的三角形的周长是_________cm．
6．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则连结两条直角边中点的线段长为_______．
7．若三角形的三条中位线长分别为2cm，3cm，4cm，则原三角形的周长为（ ）
A．4.5cm B．18cm C．9cm D．36cm
8．如图(2)所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到AC，BC的中点D，E，并且测出DE的长为10m，则A，B间的距离为（ ）
A．15m B．25m C．30m D．20m
9．已知△ABC的周长为1，连结△ABC的三边中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2007个三角形的周长是（ ）
A．
10．如图(3)所示，已知四边形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时， 那么下列结论成立的是（ ）
A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减少
C．线段EF的长不变 D．线段EF的长不能确定
11．如图(4),在△ABC中，E，D，F分别是AB，BC，CA的中点，AB=6，AC=4，则四边形AEDF的周长是（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
【应用拓展】
12．如图所示，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE=EB，求证：OE∥BC．
13．如图所示，在△ABC中，点D在BC上且CD=CA，CF平分∠ACB，AE=EB，求证：EF=BD．
14．如图所示，已知在□ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，求证：MN∥BC．
【综合提高】
15．某厂有一块如图所示的△ABC铁板，根据需要，现要把它加工成一个平行四边形铁板．要把材料完全利用起来，可怎样加工？请你利用学过的知识帮助工人师傅把切割的线用虚线画出来，并指出加工后的平行四边形．能否将此三角形铁板加工成长方形？请予以探索．
16、如图所示，在△ABC中，AD是中线，E是AD的中点，F是BE的延长线与AC的交点.试说明AF、FC的关系.
17、如图所示，AE平分∠BAC，BE⊥AE，垂足为E，D为BC的中点，∠BAE=36°，则试求BED的度数.
18、已知：如图①所示，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F、G．连结FG，延长AF、AG，与直线BC相交，易证FG=
（AB+BC+AC）．若（1）BD、CE分别是△ABC的内角平分线（如图②）；（2）BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线（如图③），则在图②、图③两种情况下，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明．
23.4课堂作业参考答案：
1、A
2、BC′=BC [点拨：因为∠ADC=45°，由轴对称性质可知DC′=DC，∠C′DC=90°.又BD=CD，由勾股定理可知，BC′= BC]
3、4，12
课后作业参考答案：
1、两边中点
2、平行，第三边的一半
3、3
4、4
5、7
6、6.5
7、B
8、D
9、C
10、C
11、A
12、由BO=DO和EA=EB得OE是中位线，所以OE∥BC.
13、由等腰三角形三线合一得FA=FD．又由E是中点，所以EF是中位线，即得结论.
14、提示：证△AEM≌△FBM得ME=MB，同理得NE=NC，于是MN是△EBC的中位线，即得结论.
15、参照图形：
16、取BF的中点G，连结DG，则DG是△BCF的中位线，DG=FC，再证明AF=DG.
17、延长BE交AC于F，则，那么，DE是△BCF的中位线，所以有.
18.解：猜想结果：图②中，FG=（AB+AC-BC）；图③中，FG=（BC+AC-AB）．
证明图②的结果如下：如图所示，分别延长AG、AF交BC于H、K．
在△ABF和△KBF中，∵∠ABF=∠KBF，BF=BF，∠BFA=∠BFK=90°，∴△ABF≌△KBF（ASA）．
∴AF=FK，AB=BK（全等三角形的对应边相等）．
同理△ACG≌△HCG．∴AG=GH，AC=HC．∴FG=HK（三角形中位线定理）．
又∵HK=BK-BH=AB-（BC-CH）=AB-（BC-AC）=AB+AC-BC，∴FG=（AB+AC-BC）．
课前知识管理
1、连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.如图1.在△ABC中，点E，F分别是AB、AC的中点，则线段EF就是△ABC的一条中位线.
定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.用符号语言表述为：如图，在△ABC中，点E，F分别是AB、AC的中点，则EF∥BC，并且.
名师导学互动
典例精析：
知识点1：用三角形中位线判断四边形形状
例1、在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH是（ ）
（A）等腰梯形 （B）矩形 （C）菱形 （D）正方形
【解题思路】因为梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，所以梯形为等腰梯形，等腰梯形的对角线长相等，即AC=BD，而根据三角形中位线定理，可知EF与HG都平行且等于AC的一半，同理，EH和FG都平行且等于BG的一半，所以EF=FG=GH=HE，所以四边形为菱形.
【解】选C.
【方法归纳】顺次连结四边形各边中点，原四边形的两条对角线和中点四边形之间的关系为：
对应练习：顺次连结等腰梯形四边中点得到一个四边形，再顺次连结所得四边形各边中点得到的图形是 .
答案：矩形.
知识点2：利用三角形中位线计算
例2、如图，在等腰梯形中，，，，相交于点，且，顺次连结等腰梯形各边中点所得四边形的周长是（ ）
A．24 B．20 C．16 D．12
【解题思路】过D作FD∥AC交BC的延长线交于E,由已知条件易知是等边三角形,而四边形ACED为平行四边形,易得AC=BD=BE=DE=AD+BC=8,由三角形中位线定理可得,中位线等于第三边的一半,所以顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形的周长为16.
【解】选C.
【方法归纳】梯形中常见的辅助线常有平移一腰，作底边上的高线，平移一条对角线，延长两腰等方法.通过辅助线将梯形转化为特殊三角形，或平行四边形，矩形等以便找出等量关系.
对应练习：如图所示，EF是△ABC的中位线，BD平分交EF于D，若ED=2，则EB=________________.
答案：2
知识点3：应用三角形中位线定理说明角相等
例3、已知，如图，四边形ABCD中，AB＝CD，E、F分别是AD、BC的中点，BA、FE的延长线相交于点M，CD、FE的延长线相交于点N.试说明：∠AME＝∠DNE.
【解题思路】因E、F分别是AD、BC的中点，可考虑连结BD，构造出中位线.
【解】连结BD，取BD的中点O，连结OE、OF.易得EO＝AB，且EO∥AB，FO＝CD，且FO∥CD. ∴∠OEF＝∠AME，∠OFE＝∠DNE.
又因为AB＝CD，∴EO＝FO，∴∠OEF＝∠OFE，∴∠AME＝∠DNE.
【方法归纳】要善于利用点构造“中位线”研究相关问题，一般是由“中点”联想到“中位线”，多数情况下这个想法是行得通的.
对应练习：如图所示，在△ABC中，AC=5，中线AD=4，则AB边的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
知识点4：应用三角形中位线定理证明线段相等
例4、如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且BD=CE，M，N分别是BE、CD的中点，过M、N的直线交AB于P，交AC于点Q.求证：AP=AQ.
【解题思路】欲证AP=AQ，可考虑证明.根据题设条件，可取BC的中点F，连结FM，FN，（如图3）则MF、NF分别是△BCE和△BCD的中位线.利用BD=CE易证FM=FN，从而，由平行线的性质可知，于是成立，进而结论成立.
【解】证明：取BC的中点F，连结FM，FN，由条件知：MF、NF分别是△BCE和△BCD的中位线，∴FM∥AC，FN∥BD，，∴.又因为BD=CE，所以 FM=FN。
∴，所以，所以 AP=AQ.
【方法归纳】若已知条件中有中点，常取某一边中点，构造三角形的中位线，运用三角形中位线性质定理得到某些线段相等或角相等.
对应练习：已知，如图，四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，且AC＝BD，E、F分别是AD、BC的中点，EF分别交AC、BD于点M、N.试说明：OM＝ON.
解：取AB的中点P，连结EP、FP.易得EP＝BD且EP∥BD，FP＝AC且FP∥AC.∴∠DNE＝∠PEN，∠CMF＝∠PFM，
又∵AC＝BD，∴PE＝PF，∴∠PEN＝∠PFM，∴∠DNE＝∠CMF，∴OM＝ON.
知识点5：应用中位线定理求面积
例5、如图，在△ABC中，BC>AC,点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连结EF，若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积.
【解题思路】由题意，易得EF∥BD ，，并推出 △AEF∽△ABD ，，即 ，从而可求出△ABD的面积.
【解】，∴ .又∵ ，∴ CF是△ACD的中线，∴ 点F是AD的中点.∵ 点E是AB的中点，∴ EF∥BD， ∴ △AEF∽△ABD，， ，∵，∴ ，∴ ，即 的面积为8.
【方法归纳】在运用“相似三角形的面积比等于相似比的平方”这一性质时，同样要注意是对应三角形的面积比.不要犯由EF︰BD=1︰2， 得S△AEF︰S△ABD =1︰2，或S△AEF︰S四边形BDFE =1︰2，之类的错误.
对应练习：已知，如图，△ABC的中线AD、BE交于点G.试说明：S△ABG＝S四边形CEGD.
解：连结DE，易得DE∥AB，∴S△ABE＝S△ABD.
又因为AD是△ABC的BC边上的中线，∴S△ABD＝S△ACD，∴S△ABE＝S△ACD.∴S△ABE－S△AEG＝S△ACD－S△AEG，即S△ABG＝S四边形CEGD.
易错警示
例6、已知等腰△ABC中，∠C=90°，AB=10，D、E分别是AB、AC的中点，求DE的长.
错解：由已知可得，DE是△ABC的中位线，所以DE=AB=5.
错因分析：DE是△ABC的中位线没错，但中位线DE的第三边却不是AB，而是BC，造成错解的原因是对中位线定理中的“第三边”理解不透.
正解：由已知可得：BC=AB÷=5，因此DE=BC=.
课堂练习评测
考点1：三角形中位线
1、如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论：①BC=2DE；②△ADE∽△ABC；③．其中正确的有熊方亮考分类\2010中考精品wrd模板批量转换器\2010精品分类汇编（7月16）\123456\黄刚
中德鹏
（ ）
（A）3个 （B）2个 （C）1个 （D）0个
2、如图，AD是ΔABC的中线，∠ADC=45°，把ΔADC沿AD 对折，点C落在点C′的位置，则BC′与BC之间的数量关系是 .
3、如图，是的中位线，cm，cm，则 cm，梯形的周长为 cm．
课后作业练习
【基础过关】
1．连结三角形___________的线段叫做三角形的中位线．
2．三角形的中位线______于第三边，并且等于_______．
3．一个三角形的中位线有_________条．
4．如图(1)所示，EF是△ABC的中位线，若BC=8cm，则EF=_______cm．
(1) (2) (3) (4)
5．三角形的三边长分别是3cm，5cm，6cm，则连结三边中点所围成的三角形的周长是_________cm．
6．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则连结两条直角边中点的线段长为_______．
7．若三角形的三条中位线长分别为2cm，3cm，4cm，则原三角形的周长为（ ）
A．4.5cm B．18cm C．9cm D．36cm
8．如图(2)所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到AC，BC的中点D，E，并且测出DE的长为10m，则A，B间的距离为（ ）
A．15m B．25m C．30m D．20m
9．已知△ABC的周长为1，连结△ABC的三边中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2007个三角形的周长是（ ）
A．
10．如图(3)所示，已知四边形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时， 那么下列结论成立的是（ ）
A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减少
C．线段EF的长不变 D．线段EF的长不能确定
11．如图(4),在△ABC中，E，D，F分别是AB，BC，CA的中点，AB=6，AC=4，则四边形AEDF的周长是（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
【应用拓展】
12．如图所示，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE=EB，求证：OE∥BC．
13．如图所示，在△ABC中，点D在BC上且CD=CA，CF平分∠ACB，AE=EB，求证：EF=BD．
14．如图所示，已知在□ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，求证：MN∥BC．
【综合提高】
15．某厂有一块如图所示的△ABC铁板，根据需要，现要把它加工成一个平行四边形铁板．要把材料完全利用起来，可怎样加工？请你利用学过的知识帮助工人师傅把切割的线用虚线画出来，并指出加工后的平行四边形．能否将此三角形铁板加工成长方形？请予以探索．
16、如图所示，在△ABC中，AD是中线，E是AD的中点，F是BE的延长线与AC的交点.试说明AF、FC的关系.
17、如图所示，AE平分∠BAC，BE⊥AE，垂足为E，D为BC的中点，∠BAE=36°，则试求BED的度数.
18、已知：如图①所示，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F、G．连结FG，延长AF、AG，与直线BC相交，易证FG=
（AB+BC+AC）．若（1）BD、CE分别是△ABC的内角平分线（如图②）；（2）BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线（如图③），则在图②、图③两种情况下，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明．
23.4课堂作业参考答案：
1、A
2、BC′=BC [点拨：因为∠ADC=45°，由轴对称性质可知DC′=DC，∠C′DC=90°.又BD=CD，由勾股定理可知，BC′= BC]
3、4，12
课后作业参考答案：
1、两边中点
2、平行，第三边的一半
3、3
4、4
5、7
6、6.5
7、B
8、D
9、C
10、C
11、A
12、由BO=DO和EA=EB得OE是中位线，所以OE∥BC.
13、由等腰三角形三线合一得FA=FD．又由E是中点，所以EF是中位线，即得结论.
14、提示：证△AEM≌△FBM得ME=MB，同理得NE=NC，于是MN是△EBC的中位线，即得结论.
15、参照图形：
16、取BF的中点G，连结DG，则DG是△BCF的中位线，DG=FC，再证明AF=DG.
17、延长BE交AC于F，则，那么，DE是△BCF的中位线，所以有.
18.解：猜想结果：图②中，FG=（AB+AC-BC）；图③中，FG=（BC+AC-AB）．
证明图②的结果如下：如图所示，分别延长AG、AF交BC于H、K．
在△ABF和△KBF中，∵∠ABF=∠KBF，BF=BF，∠BFA=∠BFK=90°，∴△ABF≌△KBF（ASA）．
∴AF=FK，AB=BK（全等三角形的对应边相等）．
同理△ACG≌△HCG．∴AG=GH，AC=HC．∴FG=HK（三角形中位线定理）．
又∵HK=BK-BH=AB-（BC-CH）=AB-（BC-AC）=AB+AC-BC，∴FG=（AB+AC-BC）．
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