初中数学湘教版九年级上册4.2 正切学案

这是一份初中数学湘教版九年级上册4.2 正切学案，共5页。

01 基础题


知识点1 正切的定义


1．在△ABC中，∠C＝90°，a＝1，b＝eq \r(2)，则tanA等于(D)


A.eq \r(3) B.eq \r(2)


C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(2),2)


2．(广州中考)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA＝(D)


A.eq \f(3,5) B.eq \f(4,5)


C.eq \f(3,4) D.eq \f(4,3)





3．(湖州中考)如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tanA＝eq \f(1,2)，则BC的长是(A)


A．2 B．8


C．2eq \r(5) D．4eq \r(5)





4．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，求tanA，tanB的值．


解：∵在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，


∴AC＝eq \r(AB2－BC2)＝4.


∴tanA＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(3,4)，tanB＝eq \f(AC,BC)＝eq \f(4,3).





知识点2 特殊角的正切值


5．tan45°的值等于(C)


A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2)


C．1 D.eq \r(2)


6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝eq \r(5)，AC＝eq \r(15)，则∠A＝(D)


A．90° B．60°


C．45° D．30°


7．计算：


(1)2tan30°－tan45°－eq \r(（1－tan60°）2)；


解：原式＝2×eq \f(\r(3),3)－1－eq \r(3)＋1＝－eq \f(\r(3),3).





(2)(eq \r(2 017)－1)0－(eq \r(3)－2)＋2tan45°＋(eq \f(1,3))－1.


解：原式＝1－eq \r(3)＋2＋2＋3＝8－eq \r(3).








知识点3 用计算器求锐角的正切值及已知正切值求锐角


8．填空(精确到0.000 1)：


(1)tan36°≈0.726__5；


(2)tan83°18′≈8.512__6；


(3)tan23°42′≈0.439__0；


(4)tan57°54′≈1.594__1．


9．填空(精确到0.1°)：


(1)已知tanα＝0.241 9，则α≈13.6°；


(2)已知tanα＝0.472 7，则α≈25.3°；


(3)已知tanα＝1.528 2，则α≈56.8°；


(4)已知tanα＝31.820 5，则α≈88.2°.


知识点4 锐角三角函数


10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，则下列三角函数表示正确的是(A)





A．sinA＝eq \f(12,13)


B．csA＝eq \f(12,13)


C．tanA＝eq \f(5,12)


D．tanB＝eq \f(12,5)


11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝24，BC＝7，求sinA，csA，tanA.





解：在Rt△ABC中，


∵∠C＝90°，AB2＝AC2＋BC2，AC＝24，BC＝7，


∴AB＝eq \r(242＋72)＝25.


∴sinA＝eq \f(BC,AB)＝eq \f(7,25)，csA＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(24,25)，


tanA＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(7,24).





02 中档题


12．(凉山中考)在△ABC中，若|csA－eq \f(1,2)|＋(1－tanB)2＝0，则∠C的度数是(C)


A．45° B．60°


C．75° D．105°


13．(巴中中考)在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝eq \f(5,13)，则tanB的值为(D)


A.eq \f(12,13) B.eq \f(5,12)


C.eq \f(13,12) D.eq \f(12,5)


14．将△AOB按如图所示放置，然后绕点O逆时针旋转90°至△A′OB′的位置，点A的坐标为(2，1)，则tan∠A′OB′的值为(A)





A.eq \f(1,2)


B．2


C.eq \f(\r(5),5)


D.eq \f(2\r(5),5)


15．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3BC，则sinA＝eq \f(\r(10),10)，csA＝eq \f(3\r(10),10)，tanA＝eq \f(1,3).


16．如图，P(12，a)在反比例函数y＝eq \f(60,x)的图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为eq \f(5,12)．





17．已知α为锐角，且tanα是方程x2＋2x－3＝0的一个根，求2sin2α＋cs2α－eq \r(3)tan(α＋15°)的值．


解：解方程x2＋2x－3＝0，得x1＝1，x2＝－3.


∵tanα＞0，∴tanα＝1.∴α＝45°.


∴2sin2α＋cs2α－eq \r(3)tan(45°＋15°)＝2sin245°＋cs245°－eq \r(3)tan(45°＋15°)＝2sin245°＋cs245°－tan60°＝2×(eq \f(\r(2),2))2＋(eq \f(\r(2),2))2－eq \r(3)×eq \r(3)＝－eq \f(3,2).





18．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C＝45°，sinB＝eq \f(1,3)，AD＝1.





(1)求BC的长；


(2)求tan∠DAE的值．


解：(1)∵AD是BC边上的高，


∴AD⊥BC.


在Rt△ABD中，∵sinB＝eq \f(AD,AB)＝eq \f(1,3).AD＝1，


∴AB＝3.∴BD＝eq \r(32－12)＝2eq \r(2).


在Rt△ADC中，∵∠C＝45°，∴CD＝AD＝1.


∴BC＝2eq \r(2)＋1.


(2)∵AE是BC边上的中线，


∴DE＝eq \f(2\r(2)＋1,2)－1＝eq \r(2)－eq \f(1,2).


∴tan∠DAE＝eq \f(DE,AD)＝eq \f(\r(2)－\f(1,2),1)＝eq \r(2)－eq \f(1,2).








03 综合题


19．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，∠C＝90°.若定义ctA＝eq \f(A的邻边,对边)＝eq \f(b,a)，则称它为锐角A的余切，根据这个定义解答下列问题：


(1)求ct30°的值；


(2)已知tanA＝eq \f(3,4)，其中∠A为锐角，试求ctA的值；


(3)求证：tanA＝ct(90°－∠A)．


解：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，设∠A＝30°，则AB＝2BC，AC＝eq \r(3)BC，


∴ct30°＝eq \f(AC,BC)＝eq \f(\r(3)BC,BC)＝eq \r(3).


(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵tanA＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(3,4)，


∴设BC＝3k，则AC＝4k.


∴ctA＝eq \f(AC,BC)＝eq \f(4k,3k)＝eq \f(4,3).


(3)证明：在Rt△ABC中，∠C＝90°，则∠A＋∠B＝90°，即∠B＝90°－∠A，


∵tanA＝eq \f(BC,AC)，ctB＝eq \f(BC,AC)，


∴tanA＝ctB，即tanA＝ct(90°－∠A)．