初中湘教版4.4 解直接三角形的应用第1课时导学案

这是一份初中湘教版4.4 解直接三角形的应用第1课时导学案，共6页。

第1课时 与仰角、俯角有关的应用问题


01 基础题


知识点1 与仰角、俯角有关的应用问题


1．(太原中考)如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道(B、C在同一水平面上)．为了测量B、C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100 m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B、C两地之间的距离为(A)





A．100eq \r(3) m


B．50eq \r(2) m


C．50eq \r(3) m


D.eq \f(100\r(3),3) m


2．如图，从热气球C处测得地面两点A、B的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为80米，点A、D、B在同一直线上，那么A、B两点的距离是(D)


A．160米 B．80eq \r(3)米


C．100eq \r(3)米 D．80(1＋eq \r(3))米





3．(南通中考)如图，为了测量某建筑物MN的高度，在平地上A处测得建筑物顶端M的仰角为30°，向N点方向前进16 m，到达B处，在B处测得建筑物顶端M的仰角为45°，则建筑物M的高度等于(A)


A．8(eq \r(3)＋1)m B．8(eq \r(3)－1)m


C．16(eq \r(3)＋1)m D．16(eq \r(3)－1)m





4．(郴州中考)小宇在学习解直角三角形的知识后，萌生了测量他家对面位于同一水平面的楼房高度的想法．如图，他站在自家C处测得对面楼房底端B的俯角为45°，测得对面楼房顶端A的仰角为30°，并量得两栋房间的距离为9米．请你用小宇测得的数据求出对面楼房AB的高度．(结果保留到整数，参考数据：eq \r(2)≈1.4，eq \r(3)≈1.7)





解：过点C作CD⊥AB于点D，


由题意可知CD＝9，


在Rt△ADC中，∵tan30°＝eq \f(AD,CD)，


∴AD＝CD·tan30°＝9×eq \f(\r(3),3)＝3eq \r(3).


在Rt△CDB中，∵tan45°＝eq \f(BD,CD)＝1，


∴BD＝CD＝9.


∴AB＝AD＋DB＝9＋3eq \r(3)≈14(米)．


答：楼房AB的高度约为14米．


知识点2 与夹角有关的应用问题


5．(钦州中考)如图，为固定电线杆AC，在离地面高度为6 m的A处引拉线AB，使拉线AB与地面上的BC的夹角为48°，则拉线AB的长度约为(C)


(结果精确到0.1 m，参考数据：sin48°≈0.74，cs48°≈0.67，tan48°≈1.11)


A．6.7 m B．7.2 m C．8.1 m D．9.0 m





6．(益阳中考)小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为(A)


A.eq \f(1,1－sinα)米 B.eq \f(1,1＋sinα)米


C.eq \f(1,1－csα)米 D.eq \f(1,1＋csα)米





02 中档题


7．(抚顺中考)如图，河流两岸a、b互相平行，点A、B是河岸a上的两座建筑物，点C、D是河岸b上的两点，A、B的距离约为200米．某人在河岸b上的点P处测得∠APC＝75°，∠BPD＝30°，则河流的宽度约为100米．





8．(深圳中考)某兴趣小组借助无人机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°.已知无人机的飞行速度为4米/秒，求这架无人机的飞行高度．(结果保留根号)





解：作AD⊥BC，BH⊥水平线，垂足分别为D、H.


则∠ADB＝∠ADC＝∠BHC＝90°，


由题意知∠ACH＝75°，∠BCH＝30°，AB∥CH，


∴∠ABC＝30°，∠ACB＝45°.


∵AB＝4×8＝32，∴在Rt△ABD中，


BD＝AB·cs∠ABC＝32cs30°＝16eq \r(3)，


AD＝AB·sin∠ABC＝32sin30°＝16.


在Rt△ACD中，∵∠ACB＝45°，


∴CD＝AD＝16.


∴BC＝CD＋BD＝16＋16eq \r(3).


在Rt△BCH中，∵∠BCH＝30°，


∴BH＝eq \f(1,2)BC＝8＋8eq \r(3).


∴这架无人机的飞行高度为(8＋8eq \r(3))米．





9．(娄底中考)芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型(如图)，图乙是从图甲中引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端的距离AD为20米，请求出立柱BH的长．(结果精确到0.1米，eq \r(3)≈1.732)





解：设DH＝x米，∵∠CDH＝60°，∠H＝90°，


∴CH＝DH·tan60°＝eq \r(3)x米．


∴BH＝BC＋CH＝(2＋eq \r(3)x)米．


∵∠A＝30°，


∴AH＝eq \r(3)BH＝(2eq \r(3)＋3x)米．


∵AH＝AD＋DH，


∴2eq \r(3)＋3x＝20＋x，解得x＝10－eq \r(3).


∴BH＝2＋eq \r(3)×(10－eq \r(3))＝10eq \r(3)－1≈16.3(米)．


答：立柱BH的长约为16.3米．





10．(北海中考)如图是某超市地下停车场入口的设计图，请根据图中数据计算CE的长度．(结果保留小数点后两位，参考数据：sin22°≈0.374 6，cs22°≈0.927 2，tan22°≈0.404 0)





解：∵∠BAE＝22°，∠ABC＝90°，∠CED＝∠AEC＝90°，


∴∠BCE＝158°.


∴∠DCE＝22°.


又∵tan∠BAE＝eq \f(BD,AB)，


∴BD＝AB·tan∠BAE.


又∵cs∠BAE＝cs∠DCE＝eq \f(CE,CD)，


∴CE＝CD·cs∠BAE


＝(BD－BC)·cs∠BAE


＝(AB·tan∠BAE－BC)·cs∠BAE


＝(10×0.404 0－0.5)×0.927 2


≈3.28(m)．


答：CE的长度为3.28 m.





03 综合题


11．(泰州中考)如图，为了测量山顶铁塔AE的高，小明在27 m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45°，在楼顶C测得塔顶A的仰角为36°52′.已知山高BE为56 m，楼的底部D与山脚在同一水平面上，求该铁塔的高AE.(参考数据：sin36°52′≈0.60，tan36°52′≈0.75)





解：过点C作CF⊥AB，垂足为F，则∠AFC＝90°.


在Rt△ABD中，tan45°＝eq \f(AB,BD)，


∴AB＝BD.


设AE＝x m，


则AF＝x＋56－27＝(x＋29)m，


CF＝BD＝AB＝(x＋56)m.


∵在Rt△ACF中，tan36°52′＝eq \f(AF,CF)，


∴tan36°52′＝eq \f(x＋29,x＋56).


∵tan36°52′≈0.75，


∴eq \f(x＋29,x＋56)＝0.75.解得x＝52.


经检验x＝52是原方程的根，且符合题意．


答：该铁塔的高AE为52 m．