初中数学湘教版九年级上册3.1 比例线段教学设计

这是一份初中数学湘教版九年级上册3.1 比例线段教学设计，共8页。教案主要包含了知识与技能，过程与方法，情感态度，教学重点，教学难点，教学说明，归纳结论等内容，欢迎下载使用。

3．1 比例线段


3．1.1 比例的基本性质教学目标


【知识与技能】


1．理解比例的基本性质．


2．能根据比例的基本性质求比值．


3．能根据条件写出比例式或进行比例式的简单变形．


【过程与方法】


通过例题的学习，培养学生的灵活运用能力．


【情感态度】


建立初步的空间观念，发展形象思维；并通过有趣的图形，培养学生学习数学的兴趣．


【教学重点】


比例的基本性质．


【教学难点】


比例的基本性质及运用．


教学过程


一、情景导入，初步认知


1．举例说明生活中存在大量形状相同，但大小不同的图形．


如：照片、放电影中的底片中的图与银幕的像、不同大小的国旗、两把不同大小但都含有30°角的三角尺等．


2．美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618.一些长方形的画框，宽与长之比也设计成0.618，许多美丽的形状都与0.618这个比值有关．你知道0.618这个比值的来历吗？


3．如何求两个数的比值？


【教学说明】说明学习本章节的重要意义．


二、思考探究，获取新知


1．阅读与思考题


(1)什么是两个数的比？2与－3的比；－4与6的比如何表示？其比值相等吗？用小学学过的方法可说成什么？可写成什么形式？


(2)比与比例有什么区别？


(3)用字母a，b，c，d表示数，上述四个数成比例可写成怎样的形式？你知道内项、外项和第四比例项的概念吗？


【归纳结论】如果两个数的比值与另两个数的比值相等，就说这四个数成比例．通常我们把a，b，c.d四个实数成比例表示成a∶b＝c∶d或eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)，其中a，d叫作比例外项，b，c叫作比例内项．


2．如果四个数a、b、c、d成比例，即eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)，那么ad＝bc吗？反过来呢？


【教学说明】引导学生利用等式的性质一起证明．


由此，你能得到比例的基本性质吗？


【归纳结论】比例的基本性质：如果eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)，，那么ad＝bc.


3．已知四个数a、b、c、d成比例，即：eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)，下列各式成立吗？若成立，请说明理由．


eq \f(b,a)＝eq \f(d,c)；eq \f(a,c)＝eq \f(b,d)；eq \f(a＋b,b)＝eq \f(c＋d,d).


分析：(1)比较条件和结论的形式得到解题思路；


(2)采用设比值较为简单．


【教学说明】这三个小题反映了在比例式的变形中的两种常用方法：一是利用等式的基本性质；二是设比值．


4．根据下列条件，求a∶b的值．


(1)4a＝5b，(2)eq \f(a,7)＝eq \f(b,8).


解：(1)∵4a＝5b，


∴eq \f(a,b)＝eq \f(5,4).


(2)∵eq \f(a,7)＝eq \f(b,8)，


∴8a＝7b，


∴eq \f(a,b)＝eq \f(7,8).


三、运用新知，深化理解


1．已知：x∶(x＋1)＝(1—x)∶3，求x.


解：根据比例的基本性质得，


(x＋1)(1－x)＝3x.


解得：x＝eq \f(－3＋\r(13),2)或x＝eq \f(－3－\r(13),2).


2．若eq \f(2x－3y,x＋y)＝eq \f(1,2)，求eq \f(y,x).


解：根据比例的基本性质得，


2(2x－3y)＝x＋y，


4x－6y＝x＋y，


3x＝7y，


eq \f(y,x)＝eq \f(3,7).


3．已知a∶b∶c＝1∶3∶5且a＋2b－c＝8，求a、b、c.


解：设a＝x，则b＝3x，c＝5x，


∴x＋2×3x－5x＝8，2x＝8，x＝4，


∴a＝4，b＝3×4＝12，c＝5×4＝20.


4．已知x∶y＝3∶4，x∶z＝2∶3，求x∶y∶z的值．


解：因为x∶y＝3∶4＝6∶8，


x∶z＝2∶3＝6∶9，


所以x∶y∶z＝6∶8∶9.


5.eq \f(y＋z,x)＝eq \f(z＋x,y)＝eq \f(x＋y,z)＝k，求k的值(两种情况)．


解：①当x＋y＋z＝0时，


y＋z＝－x，z＋x＝－y，x＋y＝－z，


∴k为其中任意一个比值，


即k＝eq \f(－x,x)＝－1；


②x＋y＋z≠0时，


k＝eq \f(y＋z＋z＋x＋x＋y,x＋y＋z)＝2.


6．已知1，eq \r(2)，2三个数，请你再添上一个数，写出一个比例式．


分析：可以设再添上的数是x，根据比例的定义就可解得．


解：设添上的数是x，


得到：1∶eq \r(2)＝2∶x，


解得x＝2eq \r(2).


则比例式是：1∶eq \r(2)＝2∶2eq \r(2).


答案不唯一．


7．操场上有一群学生在玩游戏，其中男生与女生的人数比例是3∶2，后来又有6名女同学参加进来，此时男生与女生人数的比为5∶4，求原来有多少名男生和女生？


解：设男生与女生原来的人数分别为3k、2k，


由题意得，eq \f(3k,2k＋6)＝eq \f(5,4)，


整理得，12k＝10k＋30，


解得k＝15，


3k＝3×15＝45，


2k＝2×15＝30.


答：原来有45名男生和30名女生．


【教学说明】引导学生用比例的性质解决问题．


四、师生互动、课堂小结


先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．


课后作业


布置作业：教材“习题3.1”中第1题．


教学反思


在处理比例的基本性质前先对比例的项的有关概念进行了讲解，对于比例的内项与外项，我是这样处理的，观察a∶b＝c∶d，a，d在比例式的外部，所以称为比例外项，b，c在比例式的内部，所以称为比例内项，这样解释形象直观，学生容易理解．概念教学应该注意讲练结合，通过练习达到对概念的理解．


3．1.2 成比例线段教学目标


【知识与技能】


1．掌握比例线段的概念及其性质．


2．会求两条线段的比及判断四条线段是否成比例．


3．知道黄金分割的定义，会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点．


【过程与方法】


能够灵活运用比例线段的性质解决问题．


【情感态度】


感知知识的实际应用，增强对知识就是力量的客观认识，进一步加强理论联系实际的学习方法．


【教学重点】


能够灵活运用比例线段的性质解决问题．


【教学难点】


掌握黄金分割的概念，并能解决相关的实际问题．


教学过程


一、情景导入，初步认知


1．1、2、4、8这四个数成比例吗？如何确定四个数成比例？


2．比例的基本性质是什么？


【教学说明】复习回顾，引入新课．


二、思考探究，获取新知


1．如下图，在方格纸上(设小方格边长为单位1)有△ABC与△A′B′C′，它们的顶点都在格点上，试求出线段AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′的长度，并计算AB与A′B′，BC与B′C′，AC与A′C′的长度的比值．





【归纳结论】如果选用同一长度单位量得线段AB，A′B′的长度分别为m，n，那么把它们的长度的比eq \f(m,n)叫做这两条线段的比，记作：eq \f(AB,A′B′)＝eq \f(m,n)或AB∶A′B′＝m∶n；如果eq \f(m,n)的比值为k，那么上述式子也可以写成eq \f(AB,A′B′)＝k或AB∶A′B′＝k.


【教学说明】注意：(1)两线段是几何图形，可用它的长度比来确定；


(2)度量线段的长，单位有多种，但求比值必须在同一长度单位下，比值一定是正数，比值与采用的长度单位无关．


(3)表示方式与数字的比表示类同，但它也可以表示为AB∶CD.


2．什么是比例线段？


【归纳结论】在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段，简称比例线段．


3．能否将一条线段AB分成不相等的两部分，使较短线段CB与较长线段AC的比等于线段AC与线段AB的比呢？即，使得：eq \f(CB,AC)＝eq \f(AC,AB).


【教学说明】引导学生用一元二次方程的知识解决问题．


4．根据上面的计算我们可以得知存在这样的一个点C.即：eq \f(CB,AC)＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(\r(5)－1,2).


【归纳结论】如果线段AB上有一点C，且eq \f(CB,AC)＝eq \f(AC,AB)，那么线段AB被点C黄金分割．点C叫作线段AB的黄金分割点，较长线段AC与原线段AB的比叫作黄金分割比．


黄金分割比eq \f(\r(5)－1,2)的数值近似为0.618.


【教学说明】学生通过“计算、证明”等活动，得到并加深对黄金分割的理解．


三、运用新知，深化理解


1．已知四条线段a、b、c、d的长度，试判断它们是否成比例．


(1)a＝16cm，b＝8cm，c＝5cm，d＝10cm；


(2)a＝8cm，b＝5cm，c＝6cm，d＝10cm.


解：(1)eq \f(a,b)＝2，eq \f(d,c)＝2，则eq \f(a,b)＝eq \f(d,c)，所以a、b、d、c成比例．


(2)由已知得ab≠cd，ac≠bd，ad≠bc，所以a、b、c、d四条线段不成比例．


2．若ac＝bd，则下列各式一定成立的是( )


A.eq \f(a,b)＝eq \f(c,d) B.eq \f(a＋d,d)＝eq \f(b＋c,c)


C.eq \f(a2,b2)＝eq \f(d,c) D.eq \f(ab,cd)＝eq \f(a,d)


【答案】B


3．已知C是线段AB的一个黄金分割点，则AC∶AB为( )


A.eq \f(\r(5)－1,2) B.eq \f(3－\r(5),2)


C.eq \f(\r(5)＋1,2) D.eq \f(\r(5)－1,2)或eq \f(3－\r(5),2)


【答案】D


4．若2x－5y＝0，求y∶x与eq \f(x＋y,x)的值．


解：略．


5．已知eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)＝3，eq \f(a－b,b)＝eq \f(c－d,d)成立吗？


解：由eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)＝3.


得a＝3b，c＝3d.


所以eq \f(a－b,b)＝eq \f(3b－b,b)＝2，


eq \f(c－d,d)＝eq \f(3d－d,d)＝2，


eq \f(c－d,d)＝eq \f(3d－d,d)＝2，


因此eq \f(a－b,b)＝eq \f(c－d,d).


6．已知a∶b∶c＝4∶3∶2，且a＋3b－3c＝14.


(1)求a，b，c；(2)求4a－3b＋c的值．


解：(1)设a＝4k，b＝3k，c＝2k.


∵a＋3b－3c＝14，


∴4k＋9k－6k＝14，


∴7k＝14，


∴k＝2，


∴a＝8，b＝6，c＝4.


(2)4a－3b＋c＝32－18＋4＝18.


7．在△ABC中，D是BC上一点，若AB＝15cm，AC＝10cm，且BD∶DC＝AB∶AC，BD－DC＝2cm，求BC.


解：略．


8．在比例尺为1︰2000的地图上测得AB两地间的图上距离为5cm，则AB两地间的实际距离为多少米？


解：设两地之间的实际距离为x，


则：eq \f(1,2000)＝eq \f(5,x)，x＝5×2000＝10000cm＝100m.


9．在人体躯干(脚底到肚脐的长度)与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618越给人以美感．张女士的身高为1.65米，身体躯干(脚底到肚脐的高度)为1.00米，那么她应选择约多高的高跟鞋看起来更美．(精确到十分位)


解：设她应选择高跟鞋的高度是xcm，


则eq \f(100＋x,165＋x)＝0.618.


解得：x≈5.2cm.


故她应该选择约5.2cm的高跟鞋看起来更美．


10．已知线段AB，求作线段AB的黄金分割点C，使AC＞BC.


解：作法：


(1)延长线段AB至F，使AB＝BF，分别以A、F为圆心，以大于等于线段AB的长为半径作弧，两弧相交于点G，连接BG，则BG⊥AB，在BG上取点D，使BD＝eq \f(1,2)AB，


(2)连接AD，在AD上截取DE＝DB，


(3)在AB上截取AC＝AE.


如图，点C就是线段AB的黄金分割点．





【教学说明】通过例题分析使学生进一步理解比例线段的应用和黄金分割的意义．使学生能更好地掌握本节知识．


四、师生互动、课堂小结


先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．


课后作业


布置作业：教材“习题3.1”中第2、3、4题．


教学反思


在学习本节内容之前，学生已理解比例线段的性质，初步掌握了比例线段在几何中的应用．本节课学习的黄金分割是一个新的概念，学生缺少这方面知识的积累，因此教学中在内容选择上，充分利用网络资源，选用大量图文作为背景，通过建筑、艺术、生活中的实例了解黄金分割，体现数学丰富的文化价值．同时，在应用中进一步理解线段的比、成比例线段等相关内容，在实际操作、思考、交流等过程中增强学生的实践意识．这节课的不足之处是教学内容比较多，因为时间关系，有关黄金分割的相关计算和应用学生练习得比较少，部分学生对这种类型的题目掌握不好．另外学生对黄金分割点的证明理解还不到位．