初中数学湘教版九年级上册3.4 相似三角形的判定与性质教案

这是一份初中数学湘教版九年级上册3.4 相似三角形的判定与性质教案，共14页。教案主要包含了知识与技能，过程与方法，情感态度，教学重点，教学难点，教学说明，归纳结论，归纳总结等内容，欢迎下载使用。
3．4.1 相似三角形的判定


第1课时 相似三角形的判定(1)教学目标


【知识与技能】


经历三角形相似的判定定理“平行于三角形的一边的直线与其它两边相交，截得的三角形与原三角形相似”和“两角分别相等的两个三角形相似”的探索及证明过程．


【过程与方法】


让学生经历观察、实验、猜想、证明的过程，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力．


【情感态度】


通过学生积极参与，激发学生学习数学的兴趣，体验数学的探索与创造的快乐．


【教学重点】


三角形相似的判定定理及应用．


【教学难点】


三角形相似的判定定理及应用．


教学过程


一、情景导入，初步认知


现有一块三角形玻璃ABC，不小心打碎了，只剩下∠A和∠B比较完整．如果用这两个角去配制一块完全一样的玻璃，能成功吗？


【教学说明】选择以旧孕新为切入点，创设问题情境，引入新课．


二、思考探究，获取新知


1．在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E.


(1)△ADE与△ABC的三个角分别相等吗？


(2)分别度量△ADE与△ABC的边长，它们的边长是否对应成比例？


(3)△ADE与△ABC之间有什么关系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？





【归纳结论】平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似．


2．如图，D、E分别是△ABC的AB与AC边的中点，求证：△ADE与△ABC相似．





证明：∵D、E分别是△ABC的AB与AC边的中点，


∴DE∥BC，


∴△ADE∽△ABC.


3．任意画△ABC与△A′B′C′，使∠A′＝∠A，∠B′＝∠B.


(1)∠C′＝∠C吗？


(2)分别度量这两个三角形的边长，它们是否对应成比例？


(3)把你的结果与同学交流，你们的结论相同吗？由此你有什么发现？


【教学说明】此时，教师鼓励学生大胆猜想，得出命题．如果学生还能从不同角度研究，或许还有新的方法进行证明，要大胆鼓励．


【归纳结论】两角分别相等的两个三角形相似．


4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F.求证：△DEH∽△BCA.





证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，


∴∠D＋∠DHE＝∠B＋∠BHF＝90°，


而∠BHF＝∠DHE，


∴∠D＝∠B，


又∵∠HED＝∠C＝90°，


∴△DEH∽△BCA.


三、运用新知，深化理解


1．见教材P78例2、P80例4.


2．判断题：


(1)有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似．( )


(2)所有的直角三角形都相似．( )


(3)有一个角相等的两个等腰三角形相似．( )


(4)顶角相等的两个等腰三角形相似．( )


【答案】(1)√；(2)×；(3)×；(4)√


3．如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上，AG交BC、BD于点E、F，则△AGD∽______∽________．





解析：关键是找“角相等”，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角．本例除公共角∠G外，由BC∥AD可得∠1＝∠2，所以△AGD∽△EGC.再∠1＝∠4(对顶角)，由AB∥DG可得∠3＝∠G，所以△EGC∽△EAB.


【答案】△EGC △EAB


4．已知：在△ABC和△DEF中，∠A＝40°，∠B＝80°，∠E＝80°，∠F＝60°.


求证：△ABC∽△DEF.





证明：∵在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝80°，


∴∠C＝180°－∠A－∠B


＝180°－40°－80°


＝60°，


∵在△DEF中，∠E＝80°，∠F＝60°，


∴∠B＝∠E，∠C＝∠F，


∴△ABC∽△DEF.(两角对应相等，两三角形相似)


5．已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是角平分线，求证：△ABC∽△BCD.





分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然∠C是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得．借助于计算也是一种常用的方法．


证明：∵∠A＝36°，


△ABC是等腰三角形，


∴∠ABC＝∠C＝72°，


又BD平分∠ABC，则∠DBC＝36°，


在△ABC和△BCD中，


∠C为公共角，∠A＝∠DBC＝36°，


∴△ABC∽△BCD.





6．已知：如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高．


求证：△ACD∽△ABC∽△CBD.


证明：∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB＝90°，


∴△ACD∽△ABC，(两角对应相等，两三角形相似)


同理△CBD∽△ABC，


∴△ABC∽△CBD∽△ACD.


【教学说明】学生在独立思考的基础上，小组讨论交流，让学生随时展示自己的想法．从而得到提高．


四、师生互动、课堂小结


先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．


课后作业


布置作业：教材“习题3.4”中第2题．


教学反思


通过这节课的教学，绝大多数学生能运用本节课所学的知识进行相关的计算和证明；少数学生在探究两个三角形相似的定理时，不会用学过的知识进行证明．


第2课时 相似三角形的判定(2)


教学目标


【知识与技能】


经历三角形相似的判定定理“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”和“三边成比例的两个三角形相似”的探索及证明过程．


【过程与方法】


让学生经历观察、实验、猜想、证明的过程，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力．


【情感态度】


在合作、交流、探讨的学习氛围中，体验学习的快乐，树立学习的信心．


【教学重点】


掌握判定定理，会运用判定定理判定两个三角形相似．


【教学难点】


会准确的运用两个三角形相似的条件来判定两个三角形是否相似．


教学过程


一、情景导入，初步认知


问题：(1)相似三角形的定义是什么？


三边成比例，三角分别相等的两个三角形相似．


(2)判定两个三角形相似，你有哪些方法？


方法1：通过定义(不常用)；


方法2：通过平行线(条件特殊，使用起来有局限性)；


方法3：判定定理1，两角分别相等的两个三角形相似．


【教学说明】引导学生复习学过的知识，承前启后，激发学生学习新知的欲望．


二、思考探究，获取新知


下面我们来探究还可用哪些条件来判定两个三角形相似．


1．我们学习了三角形相似的判定定理1，类似于三角形全等的“SAS”判定方法，你能通过类比的方法猜想到三角形相似的其它判定方法吗？


2．任意画△ABC与△A′B′C′，使∠A′＝∠A，eq \f(AB,A′B′)＝eq \f(AC,A′C′)＝k.


(1)分别度量∠B′和∠B，∠C′和∠C的大小，它们分别相等吗？


(2)分别度量BC和B′C′的长，它们的比等于k吗？


(3)改变∠A或k的大小，你的结论相同吗？由此你有什么发现？


【教学说明】引导学生画图，并鼓励证明命题归纳结论．


【归纳结论】两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．


3．如图，在△ABC与△DEF中，已知∠C＝∠F，AC＝3.5cm，BC＝2.5cm，DF＝2.1cm，EF＝1.5cm.求证：△ABC∽△DEF.





证明：∵AC＝3.5cm，BC＝2.5cm，DF＝2.1cm，EF＝1.5cm，


∴eq \f(DF,AC)＝eq \f(2.1,3.5)＝eq \f(3,5)，eq \f(EF,BC)＝eq \f(1.5,2.5)＝eq \f(3,5)，


∴eq \f(DF,AC)＝eq \f(EF,BC)，


又∵∠C＝∠F，


∴△ABC∽△DEF.


4．我们已经学习了三角形相似的2个判定定理，类似于三角形全等的“SSS”判定方法，你能通过类比的方法猜想三角形相似的其他判定方法吗？


5．你能证明你的结论吗？


已知：如图，在△A′B′C′和△ABC中，


eq \f(AB,A′B′)＝eq \f(AC,A′C′)＝eq \f(BC,B′C′).


求证：△A′B′C′∽△ABC.





【教学说明】引导学生证明．


【归纳结论】三边成比例的两个三角形相似．


6．如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，.求证：△ABC∽△A′B′C′.





分析：已知两边成比例，只需证明三边成比例就可以证明两个三角形相似．可以利用勾股定理来证明．


【教学说明】用已学过的知识解题，并通过解题巩固对判定定理的理解．


三、运用新知，深化理解


1．见教材P82例6、P84例8.


2．如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据．








解：(1)△ADE∽△ABC，两角相等；


(2)△ADE∽△ACB，两角相等；


(3)△CDE∽△CAB，两角相等；(4)△EAB∽△ECD，两边成比例且夹角相等；(5)△ABD∽△ACB，两边成比例且夹角相等；(6)△ABD∽△ACB，两边成比例且夹角相等．


3．在△ABC和△A′B′C′中，已知下列条件成立，判断这两个三角形是否相似，并说明理由．


(1)AB＝5，AC＝3，∠A＝45°，


A′B′＝10，A′C′＝6，∠A′＝45°；


(2)∠A＝38°，∠C＝97°，


∠A′＝38°，∠B′＝45°；


(3)AB＝2，BC＝eq \r(2)，AC＝eq \r(10)，


A′B′＝eq \r(2)，B′C′＝1，A′C′＝eq \r(5).


解：(1)SAS，相似；


(2)AA，相似；


(3)SSS，相似．


4．如图，BC与DE相交于点O.问


(1)当∠B满足什么条件时，△ABC∽△ADE?


(2)当AC∶AE满足什么条件时，△ABC∽△ADE?


(学生小组合作交流、讨论，教师巡视引导．)





解：(1)∵∠A＝∠A，


∴当∠B＝∠D时，△ABC∽△ADE.


(2)∵∠A＝∠A，


∴当AC∶AE＝AB∶AD时，


△ABC∽△ADE.


5．如图，在等腰直角三角形ABC中，顶点为C，∠MCN＝45°，试说明△BCM∽△ANC.





解：∵△ACB是等腰直角三角形，


∴∠A＝∠B＝45°.


又∵∠MCN＝45°，


∠CNA＝∠B＋∠BCN＝45°＋∠BCN，


∠MCB＝∠MCN＋∠NCB＝45°＋∠BCN.


∴∠CNA＝∠MCB，


在△BCM和△ANC中，


eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠A＝∠B,∠CNA＝∠MCB))，


∴△BCM∽△ANC.


6．如图，已知△ABC、△DEB均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠EDB＝90°，点E在边AC上，CB、ED交于点F.证明：△ABE∽△CBD.





证明：∵△ABC、△DEB均为等腰直角三角形，


∴∠DBE＝∠CBA＝45°，


∴∠DBE－∠CBE＝∠CBA－∠CBE.


即∠ABE＝∠CBD，又eq \f(EB,BD)＝eq \f(AB,BC)＝eq \r(2)，


∴△ABE∽△CBD.


7．在平行四边形ABCD中，M，N为对角线BD上两点，连接AM交BC于E，连接EN并延长交AD于F.试说明△AMD∽△EMB.





解：∵ABCD是平行四边形，


∴AD∥BC，∠ADB＝∠DBC，


∠MAD＝∠MEB，


∴△MAD∽△MEB.


8．如图，已知△ABD∽△ACE，求证：△ABC∽△ADE.





分析：由于△ABD∽△ACE，则∠BAD＝∠CAE，因此∠BAC＝∠DAE，如果再进一步证明eq \f(AB,AD)＝eq \f(AC,AE)，则问题得证．





证明：∵△ABD∽△ACE，


∴∠BAD＝∠CAE.


又∵∠BAC＝∠BAD＋∠DAC，


∠DAE＝∠DAC＋∠CAE，


∴∠BAC＝∠DAE.


∵△ABD∽△ACE，∴eq \f(AB,AD)＝eq \f(AC,AE).


在△ABC和△ADE中，


∵∠BAC＝∠DAE，eq \f(AB,AD)＝eq \f(AC,AE)，


∴△ABC∽△ADE.


【教学说明】通过练习，使学生能够综合运用相似三角形的判定定理解决问题．


四、师生互动、课堂小结


先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．


课后作业


布置作业：教材“习题3.4”中第1、3、4题．


教学反思


相似三角形的判定主要介绍了四种方法，从练习的结果来看，不是很理想，绝大部分学生对定理的应用不是很熟练，特别对于“两边对应成比例且夹角相等”不能灵活运用，夹角也不能准确找到．我想问题的主要原因在于学生对图形的认知不深，对定理的理解不透，一味死记结论．不能理解每个量所表示的含义．我想在下一阶段中应培养他们认识图形的能力，合情推理的能力，争取这方面有所提高．




















3．4.2 相似三角形的性质教学目标


【知识与技能】


理解掌握相似三角形对应线段(高、中线、角平分线)及相似三角形的面积、周长比与相似比之间的关系．


【过程与方法】


对性质定理的探究，学生经历观察——猜想——论证——归纳的过程，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度．


【情感态度】


在学习和探讨的过程中，体验从特殊到一般的认知规律．


【教学重点】


相似三角形性质的应用．


【教学难点】


相似三角形性质的应用．


教学过程


一、情景导入，初步认知


1．什么叫相似三角形？相似比指的是什么？


2．全等三角形是相似三角形吗？全等三角形的相似比是多少？


3．相似三角形的判定方法有哪些？


【教学说明】复习相关知识，为本节课的学习做准备．


二、思考探究，获取新知


1．根据相似三角形的概念可知相似三角形有哪些性质？


【归纳结论】相似三角形的基本性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例．


2．如图，△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形，相似比为k，其中，AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高，那么，AD和A′D′之间有什么关系？





证明：∵△ABC∽△A′B′C′，


∴∠B＝∠B′，


又∵AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，


∴∠ADB＝∠A′D′B′＝90°，


∴△ABD∽△A′B′D′，


∴AB︰A′B′＝AD︰A′D′＝k.


你能得到什么结论？


【归纳结论】相似三角形对应边上的高的比等于相似比．


3．如图，△A′B′C′和△ABC是两个相似三角形，相似比为k，求这两个三角形的角平分线A′D′与AD的比．





解：∵△A′B′C′∽△ABC，


∴∠B′＝∠B，∠A′B′C′＝∠ABC，


∵A′D′，AD分别是△A′B′C′与△ABC的角平分线，∴∠B′A′D′＝∠BAD，


∴△A′B′D′∽△ABD.(有两个角对应相等的两个三角形相似)．


∴eq \f(A′D′,AD)＝eq \f(A′B′,AB)＝k.


根据上面的探究，你能得到什么结论？


【归纳结论】相似三角形对应角平分线的比等于相似比．


4．在上图中，如果AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的中线，那么，AD和A′D′之间有什么关系？你能证明你的结论吗？


【归纳结论】相似三角形对应边上的中线的比等于相似比．


5．如图，△ABC∽△A′B′C′，eq \f(AB,A′B)′＝k，AD、A′D′为高线．


(1)这两个相似三角形周长比为多少？


(2)这两个相似三角形面积比为多少？





分析：(1)由于△ABC∽△A′B′C′，


所以AB︰A′B′＝BC︰B′C′＝AC︰A′C′＝k.


由合比的性质可知，


(AB＋BC＋AC)︰(A′B′＋B′C′＋A′C′)＝k.


(2)由题意可知，


因为△ABD∽△A′B′D′，


所以AB︰A′B′＝AD︰A′D′＝k.


因此可得，


△ABC的面积︰△A′B′C′的面积


＝(AD·BC)︰(A′D′·B′C′)＝k2.


【归纳总结】相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．


【教学说明】通过这两个问题，引导学生通过合情推理，得出结论．学生可以通过合作交流，找出解决问题的方法．


三、运用新知，深化理解


1．见教材P86例9、P88例11、例12.


2．已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应中线，且eq \f(AC,A′C′)＝eq \f(3,2)，B′D′＝4，则BD的长为____．


分析：因为△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应中线，根据对应中线的比等于相似比，eq \f(BD,B′D ′)＝eq \f(AC,A′C′)，即eq \f(BD,4)＝eq \f(3,2)，∴BD＝6.


【答案】6


3．在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，如果△ABC的周长是16，面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为( )


A．8，3 B．8，6 C．4，3 D．4，6


分析：根据相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方可得周长为8，面积为3，所以选A.


【答案】A


4．已知△ABC∽△A′B′C′且S△ABC∶S△A′B′C′＝1∶2，则AB∶A′B′＝________．


分析：根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可求AB∶A′B′＝1∶eq \r(2).


【答案】1∶eq \r(2)


5．把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的eq \f(1,2)，那么边长应缩小到原来的____．


分析：根据面积比等于相似比的平方可得相似比为eq \f(\r(2),2)，所以边长应缩小到原来的eq \f(\r(2),2).


【答案】eq \f(\r(2),2)


6．如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高．


(1)则图中有几对相似三角形；


(2)若AD＝9cm，CD＝6cm，求BD；


(3)若AB＝25cm，BC＝15cm，求BD.





解：(1)∵CD⊥AB，


∴∠ADC＝∠BDC＝∠ACB＝90°.


在△ADC和△ACB中，


∠ADC＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，


∴△ADC∽△ACB，


同理可知，△CDB∽△ACB.


∴△ADC∽△CDB.所以图中有三对相似三角形．


(2)∵△ACD∽△CBD，∴eq \f(AD,CD)＝eq \f(CD,BD)，


即eq \f(9,6)＝eq \f(6,BD)，∴BD＝4cm.


(3)∵△CBD∽△ABC，∴eq \f(BC,BA)＝eq \f(BD,BC)，∴eq \f(15,25)＝eq \f(BD,15)，


∴BD＝eq \f(15×15,25)＝9cm.


7．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G.


(1)求证：△CDF∽△BGF；


(2)当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB＝6cm，EF＝4cm，求CD的长．





(1)证明：∵在梯形ABCD中，AB∥CD，


∴∠CDF＝∠FGB，∠DCF＝∠GBF，


∴△CDF∽△BGF.


(2)由(1)知△CDF∽△BGF，


又F是BC的中点，∴BF＝FC，


∴△CDF≌△BGF，


∴DF＝FG，CD＝BG.


又∵EF∥CD，AB∥CD，


∴EF∥AG，得2EF＝AB＋BG.


.∴BG＝2EF－AB＝2×4－6＝2，


∴CD＝BG＝2cm.


8．已知△ABC的三边长分别为5、12、13，与其相似的△A′B′C′的最大边长为26，求△A′B′C′的面积S.


分析：由△ABC的三边长可以判断出△ABC为直角三角形，又因为△ABC∽△A′B′C′，所以△A′B′C′也是直角三角形，那么由△A′B′C′的最大边长为26，可以求出相似比，从而求出△A′B′C′的两条直角边长，再求得△A′B′C′的面积．


解：设△ABC的三边依次为：


BC＝5，AC＝12，AB＝13，


∵AB2＝BC2＋AC2，∴∠C＝90°.


又∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠C′＝∠C＝90°.


eq \f(BC,B′C′)＝eq \f(AC,A′C′)＝eq \f(AB,A′B′)＝eq \f(13,26)＝eq \f(1,2)，


又BC＝5，AC＝12，


∴B′C′＝10，A′C′＝24.


∴S＝eq \f(1,2)A′C′×B′C′＝eq \f(1,2)×24×10＝120.


9．(1)已知eq \f(x,2)＝eq \f(y,3)＝eq \f(z,5)，且3x＋4z－2y＝40.求x，y，z的值；


(2)已知：两相似三角形对应高的比为3∶10，且这两个三角形的周长差为560cm，求它们的周长．


分析：(1)用同一个字母k表示出x，y，z.再根据已知条件列方程求得k的值，从而进行求解；


(2)根据相似三角形周长的比等于对应高的比，求得周长比，再根据周长差进行求解．


解：(1)设eq \f(x,2)＝eq \f(y,3)＝eq \f(z,5)＝k，那么x＝2k，y＝3k，z＝5k，由于3x＋4z－2y＝40，


∴6k＋20k－6k＝40，


∴k＝2，∴x＝4，y＝6，z＝10.


(2)设一个三角形周长为Ccm，


则另一个三角形周长为(C＋560)cm，


则eq \f(C,C＋560)＝eq \f(3,10)，


∴C＝240，C＋560＝800，


即它们的周长为240cm，800cm.


【教学说明】通过例题的拓展延伸，体会类比的数学思想，培养学生大胆猜想、勇于探索、勤于思考的习惯，提高分析问题和解决问题的能力．


四、师生互动、课堂小结


先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．


课后作业


布置作业：教材“习题3.4”中第6、7、9题．


教学反思


本节的主要内容是导出相似三角形的性质定理，并进行初步运用，让学生经历相似三角形性质探索的过程，提高数学思考、分析和探究活动的能力，体会相似三角形中的变量与不变量，体会其中蕴涵的数学思想．