初中数学湘教版九年级上册4.4 解直接三角形的应用教案设计

这是一份初中数学湘教版九年级上册4.4 解直接三角形的应用教案设计，共13页。教案主要包含了知识与技能，过程与方法，情感态度，教学重点，教学难点，教学说明，归纳结论等内容，欢迎下载使用。

第1课时 俯角和仰角问题


教学目标


【知识与技能】


比较熟练地应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题．


【过程与方法】


通过学习进一步掌握解直角三角形的方法．


【情感态度】


培养学生把实际问题转化为数学问题的能力．


【教学重点】


应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题．


【教学难点】


选用恰当的直角三角形，分析解题思路．


教学过程


一、情景导入，初步认知


海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁．今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？你是如何想的？与同伴进行交流．


【教学说明】经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决实际问题中的应用．


二、思考探究，获取新知


1．某探险者某天到达如图所示的点A处，他准备估算出离他的目的地——海拔为3500m的山峰顶点B处的水平距离．你能帮他想出一个可行的办法吗？





分析：如图，BD表示点B的海拔，AE表示点A的海拔，AC⊥BD，垂足为点C.先测量出海拔AE，再测出仰角∠BAC，然后用锐角三角函数的知识就可以求出A、B之间的水平距离AC.


【归纳结论】当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫作仰角，在水平线下方的角叫作俯角．





2．如图，在离上海东方明珠塔底部1000m的A处，用仪器测得塔顶的仰角为25°，仪器距地面高为1.7m.求上海东方明珠塔的高度．(结果精确到1m)





解：在Rt△ABC中，∠BAC＝25°，AC＝1000m，因此tan25°＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(BC,1000)


∴BC＝1000×tan25°≈466.3(m)，


∴上海东方明珠塔的高度(约)为466.3＋1.7＝468米．


【教学说明】利用实际问题承载数学问题，提高了学生的学习兴趣．教师要帮助学生学会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而解决问题．


三、运用新知，深化理解


1．如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC＝1200米，从飞机上看地平面控制点B的俯角α＝16°31′，求飞机A到控制点B的距离．(精确到1米)





分析：利用正弦可求．


解：在Rt△ABC中sinB＝eq \f(AC,AB)


∴AB＝eq \f(AC,sinB)＝eq \f(1200,0.2843)≈4221(米)


答：飞机A到控制点B的距离约为4221米．


2．热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?





分析：在Rt△ABD中，α＝30°，AD＝120.所以可以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC.


解：如图，α＝30°，β＝60°，AD＝120.


∵tanα＝eq \f(BD,AD)，tanβ＝eq \f(CD,AD)，


∴BD＝ADtanα＝120×tan30°＝120×eq \f(\r(3),3)＝40eq \r(3)，CD＝ADtanβ＝120×tan60°＝120×eq \r(3)＝120eq \r(3).


∴BD＝BD＋CD＝40eq \r(3)＋120eq \r(3)＝160eq \r(3)≈227.1


答：这栋高楼约高277.1m.


3．如图，在离树BC 12米的A处，用测角仪测得树顶的仰角是30°，测角仪AD高为1.5米，求树高BC.(计算结果可保留根号)





分析：本题是一个直角梯形的问题，可以通过过点D作DE⊥BC于E，把求CB的问题转化求BE的长，从而可以在△BDE中利用三角函数．


解：过点D作DE⊥BC于E，则四边形DECA是矩形，∴DE＝AC＝12米．CE＝AD＝1.5米．在直角△BED中，∠BDE＝30°，


tan30°＝eq \f(BE,DE)，


∴BE＝DE·tan30°＝4eq \r(3)米．


∴BC＝BE＋CE＝(4eq \r(3)＋eq \f(3,2))米．


4．广场上有一个充满氢气的气球P，被广告条拽着悬在空中，甲乙二人分别站在E、F处，他们看气球的仰角分别是30°、45°，E点与F点的高度差AB为1米，水平距离CD为5米，FD的高度为0.5米，请问此气球有多高？(结果保留到0.1米)





分析：由于气球的高度为PA＋AB＋FD，而AB＝1米，FD＝0.5米，故可设PA＝h米，根据题意，列出关于h的方程可求解．


解：设AP＝h米，∵∠PFB＝45°，


∴BF＝PB＝(h＋1)米，


∴EA＝BF＋CD＝h＋1＋5＝(h＋6)米，


在Rt△PEA中，PA＝AE·tan30°，


∴h＝(h＋6)tan30°，


∴气球的高度约为PA＋AB＋FD＝8.2＋1＋0.5＝9.7米．


【教学说明】巩固所学知识．要求学生学会把实际问题转化成数学问题；根据题意思考题目中的每句话对应图中的哪个角或边，本题已知什么，求什么．


四、师生互动、课堂小结


先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．


课后作业


布置作业：教材“习题4.4”中第2、4、5题．


教学反思


本节课我们学习了有关仰角、俯角的解直角三角形的应用题，对于这些问题，一方面要把它们转化为解直角三角形的数学问题，另一方面，针对转化而来的数学问题应选用适当的数学知识加以解决．


第2课时 坡度和方位角问题


教学目标


【知识与技能】


1．了解测量中坡度、坡角的概念；


2．掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长的有关实际问题．


【过程与方法】


通过对例题的学习，使学生能够利用所学知识解决实际问题．


【情感态度】


进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力．


【教学重点】


能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长有关的实际问题．


【教学难点】


能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长的有关实际问题．


教学过程


一、情景导入，初步认知


如图所示，斜坡AB和斜坡A1B1，哪一个倾斜程度比较大？显然，斜坡A1B1的倾斜程度比较大，说明∠A1＞∠A.





从图形可以看出，eq \f(B1C1,A1C1)＞eq \f(BC,AC)，即tanA1＞tanA.


【教学说明】通过实际问题的引入，提高学生学习的兴趣．


二、思考探究，获取新知


1．坡度的概念，坡度与坡角的关系．





如上图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平前进的距离的比叫作坡度(或坡比)，记作i，即i＝eq \f(AC,BC)，坡度通常用l∶m的形式，例如上图中的1∶2的形式．坡面与水平面的夹角叫作坡角，记作α.从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i＝tanB，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡．





2．如图，一山坡的坡度为i＝1∶2，小刚从山脚A出发，沿山坡向上走了240米到达点C，这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米？(角度精确到0.01°，长度精确到0.1米)





3．如图，一艘船以40km/h的速度向正东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，继续航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东30°方向上，已知在灯塔C的四周30km内有暗礁．问这艘船继续向东航行是否安全？


【教学说明】教师引导学生分析题目中的已知条件分别代表的是什么，将图形中的信息转化为图形中的已知条件，再分析图形求出问题．学生独立完成．


三、运用新知，深化理解


1．如图，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到0.1m)．





分析：引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形．


解：已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5.5，∠A＝24°，求AB.


在Rt△ABC中，csA＝eq \f(AC,AB)，


∴AB＝eq \f(AC,csA)＝eq \f(5.5,0.9135)≈6.0(米)．


答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米．


2．同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i＝1∶3，斜坡CD的坡度i＝1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)．





解：作BE⊥AD，CF⊥AD，


在Rt△ABE和Rt△CDF中，


eq \f(BE,AE)＝eq \f(1,3)，eq \f(CF,FD)＝eq \f(1,2.5)


∴AE＝3BE＝3×23＝69(m)．


FD＝2.5CF＝2.5×23＝57.5(m)．


∴AD＝AE＋EF＋FD＝69＋6＋57.5＝132.5(m)．


因为斜坡AB的坡度i＝tanα＝eq \f(1,3)≈0.3333，


所以α≈18°26′.


∵eq \f(BE,AB)＝sinα，


∴AB＝eq \f(BE,sinα)＝eq \f(23,0.3162)≈72.7(m)．


答：斜坡AB的坡角α约为18°26′，坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米．


3．庞亮和李强相约周六去登山，庞亮从北坡山脚C处出发，以24米/分钟的速度攀登，同时，李强从南坡山脚B处出发．如图，已知小山北坡的坡度i＝1∶eq \r(3)，山坡长为240米，南坡的坡角是45°.问李强以什么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A？(将山路AB、AC看成线段，结果保留根号)








解：过点A作AD⊥BC于点D，





在Rt△ADC中，由i＝1∶eq \r(3)得tanC＝eq \f(1,\r(3))＝eq \f(\r(3),3)，


∴∠C＝30°.∴AD＝eq \f(1,2)AC＝eq \f(1,2)×240＝120(米)．


在Rt△ABD中，∠B＝45°，


∴AB＝eq \r(2)AD＝120eq \r(2)(米)．


120eq \r(2)÷(240÷24)＝120eq \r(2)÷10＝12eq \r(2)(米/分钟)


答：李强以12eq \r(2)米/分钟的速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A.


4．某公园有一滑梯，横截面如图所示，AB表示楼梯，BC表示平台，CD表示滑道．若点E，F均在线段AD上，四边形BCEF是矩形，且sin∠BAF＝eq \f(2,3)，BF＝3米，BC＝1米，CD＝6米．求：


(1)∠D的度数；(2)线段AE的长．





解：(1)∵四边形BCEF是矩形，


∴∠BFE＝∠CEF＝90°，CE＝BF，BC＝FE，


∴∠BFA＝∠CED＝90°，


∵CE＝BF，BF＝3米，


∴CE＝3米，∵CD＝6米，∠CED＝90°，


∴∠D＝30°.


(2)∵sin∠BAF＝eq \f(2,3)，


∴eq \f(BF,AB)＝eq \f(2,3)，∵BF＝3米，∴AB＝eq \f(9,2)米，


∴AF＝eq \r(（\f(9,2)）2－32)＝eq \f(3\r(5),2)米，


∴AE＝eq \f(3\r(5)＋2,2)米．


5．日本福岛发生核电站事故后，我国国家海洋局高度关注事态发展，紧急调集海上巡逻的海检船，在相关海域进行现场监测与海水采样，针对核泄漏在极端情况下对海洋环境的影响及时开展分析评估．如图，上午9时，海检船位于A处，观测到某港口城市P位于海检船的北偏西67.5°方向，海检船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时海检船到达B处，这时观察到城市P位于海检船的南偏西36.9°方向，求此时海检船所在B处与城市P的距离．


(参考数据：sin36.9°≈eq \f(3,5)，tan36.9°≈eq \f(3,4)，sin67.5°≈eq \f(12,13)，tan67.5°≈eq \f(12,5))








分析：过点P作PC⊥AB，构造直角三角形，设PC＝x海里，用含有x的式子表示AC，BC的值，从而求出x的值，再根据三角函数值求出BP的值即可解答．


解：过点P作PC⊥AB，垂足为C，设PC＝x海里．


在Rt△APC中，∵tanA＝eq \f(PC,AC)，


∴AC＝eq \f(PC,tan67.5°)＝eq \f(5x,12)





在Rt△PCB中，∵tanB＝eq \f(PC,BC)，


∴BC＝eq \f(x,tan36.9°)＝eq \f(4x,3)


∵从上午9时到下午2时要经过五个小时，


∴AC＋BC＝AB＝21×5，


∴eq \f(5x,12)＋eq \f(4x,3)＝21×5，


解得x＝60.


∵sin∠B＝eq \f(PC,PB)，


∴PB＝eq \f(PC,sinB)＝eq \f(60,sin36.9°)＝60×eq \f(5,3)＝100(海里)


∴海检船所在B处与城市P的距离为100海里．


【教学说明】通过练习，巩固本节课所学内容．


四、师生互动、课堂小结


先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．


课后作业


布置作业：教材“习题4.1”中第1、6、7题．


教学反思


通过本节课的学习，使学生知道坡度、坡角的概念，能利用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角有关的实际问题，特别是与梯形有关的实际问题，懂得通过添加辅助线把梯形问题转化为直角三角形来解决．





复习与提升


教学目标


【知识与技能】


1．了解锐角三角函数的概念，熟记30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值．


2．能够正确地使用计算器，由已知锐角的度数求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角的度数．


3．会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题．


【过程与方法】


通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想．


【情感态度】


通过解直角三角形的学习，体会数学在解决实际问题中的作用．


【教学重点】


会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题．


【教学难点】


会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题．


教学过程


一、知识结构





【教学说明】引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系．


二、释疑解惑，加深理解


1．正弦的概念：


在直角三角形中，我们把锐角α的对边与斜边的比叫作角α的正弦．记作sinα，即：


sinα＝eq \f(角α的对边,斜边).


2．余弦的概念：


在直角三角形中，我们把锐角α的邻边与斜边的比叫作角α的余弦．记作csα.即


csα＝eq \f(角α的邻边,斜边).


3．正切的概念：


在直角三角形中，我们把锐角α的对边与邻边的比叫作角α的正切．记作tanα，即：


tanα＝eq \f(角α的对边,角α的邻边)


4．特殊角的三角函数值：





5.三角函数的概念：


我们把锐角α的正弦、余弦、正切统称为角α的锐角三角函数．


6．解直角三角形的概念：


在直角三角形中，利用已知元素求其余未知元素的过程，叫作解直角三角形．


7．仰角、俯角的概念：


当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫作仰角，在水平线下方的角叫作俯角．





8．坡度的概念：坡面的铅垂线高度与水平前进的距离的比叫作坡度(或坡比)；记作i，坡度通常用l∶m的形式；坡面与水平面的夹角叫作坡角，记作α.坡度越大，坡角越大，坡面就越陡．


【教学说明】引导学生回忆本章所学的有关概念，知识点．加深学生的印象．


三、运用新知，深化理解


1．已知，如图，D是△ABC中BC边的中点，∠BAD＝90°，tanB＝eq \f(2,3)，求sin∠DAC.





解：过D作DE∥AB交AC于E，


则∠ADE＝∠BAD＝90°，


由tanB＝eq \f(2,3)，得eq \f(AD,AB)＝eq \f(2,3)，


设AD＝2k，AB＝3k，


∵D是△ABC中BC边的中点，∴DE＝eq \f(3,2)k


∴在Rt△ADE中，AE＝eq \f(5,2)k，


∴sin∠DAC＝eq \f(DE,AE)＝eq \f(\f(3,2)k,\f(5,2)k)＝eq \f(3,5).


2．计算：tan230°＋cs230°－sin245°tan45°


解：原式＝(eq \f(\r(3),3))2＋(eq \f(\r(3),2))2－(eq \f(\r(2),2))2×1


＝eq \f(1,3)＋eq \f(3,4)－eq \f(1,2)


＝eq \f(7,12)





3．如图所示，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足为E，sinA＝eq \f(3,5)，则下列结论正确的个数为( )


①DE＝3cm；②BE＝1cm；③菱形的面积为15cm2；④BD＝2eq \r(10) cm.


A．1个 B．2个 C．3个 D．4个


分析：由菱形的周长为20cm知菱形边长是5cm.


在Rt△ADE中，∵AD＝5cm，sinA＝eq \f(3,5)，


∴DE＝AD·sinA＝5×eq \f(3,5)＝3(cm)．


∴AE＝eq \r(AD2－DE2)＝4(cm)．


∴BE＝AB－AE＝5－4＝1(cm)．


菱形的面积为AB·DE＝5×3＝15(cm2)．


在Rt△DEB中，BD＝eq \r(DE2＋BE2)＝eq \r(32＋12)＝eq \r(10)(cm)．


综上所述①②③正确．


【答案】C


4．如图所示，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离(结果保留根号)．





分析：由题意知，在△ABP中∠A＝60°，∠B＝45°，∠APB＝75°联想到两个三角板拼成的三角形．因此很自然作PC⊥AB交AB于C.


解：过点P作PC⊥AB，垂足为C，则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，AP＝80，


在Rt△APC中，cs∠APC＝eq \f(PC,PA).


∴PC＝PA·cs∠APC＝40eq \r(3)，


在Rt△PCB中，cs∠BPC＝eq \f(PC,PB)，


∴PB＝eq \f(PC,cs∠BPC)＝eq \f(40\r(3),cs45°)＝40eq \r(6)


∴当轮船位于灯塔P南偏东45°方向时，轮船与灯塔P的距离是40eq \r(6)海里．


【教学说明】通过上面的解题分析，再对整个学习过程进行总结，能够促进理解，提高认知水平，从而促进数学观点的形成和发展．


四、复习训练，巩固提高


1．如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q.若BF＝2，则PE的长为( )





A．2 B．2eq \r(3) C．3eq \r(3) D．3


分析：∵△ABC是等边三角形，点P是∠ABC的平分线上一点，∴∠EBP＝∠QBF＝30°，∵BF＝2，FQ⊥BP，∴BQ＝BF·cs30°＝eq \f(2×\r(3),2)＝eq \r(3).


∵FQ是BP的垂直平分线，


∴BP＝2BQ＝2eq \r(3).


在Rt△BEP中，∵∠EBP＝30°，


∴PE＝eq \f(1,2)BP＝eq \r(3).


【答案】C


2．如图，为了测量某山AB的高度，小明先在山脚下C点测得山顶A的仰角为45°，然后沿坡角为30°的斜坡走100米到达D点，在D点测得山顶A的仰角为30°，求山AB的高度．(参考数据：eq \r(3)≈1.73)





解：过D作DE⊥BC于E，作DF⊥AB于F，


设AB＝x，在Rt△DEC中，∠DCE＝30°，


CD＝100，∴DE＝20，CE＝50eq \r(3).


在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，∴BC＝x.


则AF＝AB－BF＝AB－DE＝x－50，


DF＝BE＝BC＋CE＝x＋50eq \r(3).


在Rt△AFD中，∠ADF＝30°，


tan30°＝eq \f(AF,FD)，∴eq \f(x－50,x＋50\r(3))＝eq \f(\r(3),3).


∴x＝50(3＋eq \r(3))≈236.6.


答：山AB的高度约为236.6米．


3．如图，小红同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得∠ADG＝30°，在E处测得∠AFG＝60°，CE＝8米，仪器高度CD＝1.5米，求这棵树AB的高度(结果保留两位有效数字，eq \r(3)≈1.732)．





解：根据题意得：四边形DCEF、DCBG是矩形，


∴GB＝EF＝CD＝1.5米，DF＝CE＝8米．


设AG＝x米，GF＝y米，


在Rt△AFG中，


tan∠AFG＝tan60°＝eq \f(AG,FG)＝eq \f(x,y)＝eq \r(3)，


在Rt△ADG中，


tan∠ADG＝tan30°＝eq \f(AG,DG)＝eq \f(x,y＋8)＝eq \f(\r(3),3)，


二者联立，解得x＝4eq \r(3)，y＝4.


∴AG＝4eq \r(3)米，FG＝4米．


∴AB＝AG＋GB＝4eq \r(3)＋1.5≈8.4(米)．


∴这棵树AB的高度约为8.4米．


五、师生互动，课堂小结


师生共同总结，对于本章的知识．你掌握了多少？还存在哪些疑惑？同学之间可以相互交流．


课后作业


布置作业：教材“复习题4”中第1、3、6、8、12、14题．


教学反思


根据学生掌握的情况，对掌握不够好的知识点、题型多加练习、讲解．力争更多的学生学好本章内容． 三角函数


α
sinα
csα
tanα
30°
eq \f(1,2)
eq \f(\r(3),2)
eq \f(\r(3),3)
45°
eq \f(\r(2),2)
eq \f(\r(2),2)
1
60°
eq \f(\r(3),2)
eq \f(1,2)
eq \r(3)