初中数学湘教版九年级上册4.4 解直接三角形的应用教学设计及反思

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4.4 解直角三角形的应用


第2课时 坡度与坡脚、方位角相关问题












































课题
第2课时 坡度与坡脚、方位角相关问题
授课人
教


学


目


标
知识技能
弄清铅垂高度、水平宽度、坡度(或坡比)、坡角等概念，并会解答相应的实际问题.


2.能应用解直角三角形的知识，解答综合的实际问题．



数学思考
把坡度、坡角等实际问题转化为解直角三角形的问题来解决．
问题解决
通过阅读教材、结合看图、讨论交流、例题学习来了解坡高、坡度、坡角及其关系，并获得解答应用题的一些经验．






情感态度
通过本节课的学习一方面增强学生对解直角三角形的应用意识，另一方面培养学生耐心、细致、认真的学习态度．



教学重点



理解坡度和坡角的概念．



教学难点
利用坡度和坡角等条件，解决有关的实际问题．



授课类型
新授课
课时
教具
多媒体
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
如图4－4－51，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝6米，若∠B的余弦值是eq \f(2 \r(2),3)，上底AD的长是2 eq \r(2)米，求它的高AE和四边形ABCD的面积.








图4－4－51


[答案： AE＝2米，四边形ABCD的面积是12 eq \r(2)平方米]
学生回忆并回答，为本课的学习提供迁移或类比方法.
活动


一：


创设


情境


导入


新课
【课堂引入】


为了防汛，要修一段长为a千米的河堤，需要多少土石方，多少劳动力，多少资金，都要先计算筹备，如何计算？首先要知道河堤的横断面是什么形状．修好后如何检验是否符合设计标准并进行经费的决算，这些都取决于河堤的横断面的面积如何测算．那么究竟如何测算呢？这就需要我们探究坡度、坡角等问题．






鼓励学生思考，让学生初步知道坡角、坡度等在实际生活中的应用.
活动


二：


实践


探究


交流新知
【探究1】 (多媒体出示)有关概念


1.铅垂高度h.


2.水平宽度l.





图4－4－52


3.坡度(坡比)i：坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比.


i＝eq \f(h,l)＝tanα.


4.坡角α：坡面与水平面的夹角.


显然，坡度i越大，坡角α就越大，坡面就越陡.


【探究2】 (多媒体出示)求坝高


某水坝的坡度i＝1∶eq \r(3)，坡长AB＝20米，求水坝的高度.如图4－4－53：





图4－4－53


∵坡度i＝1∶eq \r(3)，∴设AC＝x，BC＝eq \r(3)x，


根据勾股定理，得AC2＋BC2＝AB2，则x2＋(eq \r(3)x)2＝202，解得x＝10.即水坝的高度为10米.


【探究3】 (多媒体出示)求斜坡长


如图4－4－54所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1∶eq \r(3)，堤高BC＝5米，求坡面AB的长.


河堤横断面迎水坡AB的坡比是1∶eq \r(3)，即eq \f(BC,AC)＝eq \f(1,\r(3))＝eq \f(\r(3),3)，∴∠BAC＝30°，∴AB＝2BC＝2×5＝10(米).





图4－4－54


【探究4】 (多媒体出示)探究坡角


某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i＝1∶eq \r(3)，坝外斜坡的坡度i＝1∶1，求坝内斜坡的坡角α及坝外斜坡的坡角β.


坝内斜坡的坡度i＝1∶eq \r(3)，说明tanα＝eq \f(\r(3),3)，则α＝30°.


坝外斜坡的坡度i＝1∶1，说明tanβ＝1，β＝45°.



1.本活动的设计意在引导学生通过自主探究，合作交流，使其对具体问题的认识从形象到抽象，训练学生能从实际问题中抽象出数学知识．旨在培养学生的问题意识；提高学生的抽象思维能力.


2.四个探究主要是师生共同探究坡度、坡角、斜坡长的求法与简单的应用.
活动


三：


开放


训练


体现


应用
【应用举例】





例1 如图4－4－55，小明从点A出发，沿着坡角为α的斜坡向上走了0.65千米到达点B，sinα＝eq \f(5,13)，然后又沿着坡度为i＝1∶4的斜坡向上走了1千米到达点C.问小明从A点到C点上升的高度CD是多少千米(结果保留根号)？





图4－4－55





eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(答案：（\f(1,4)＋\f(\r(17),17)）千米))





变式 如图4－4－56，在山坡上植树，已知山坡的倾斜角α是20°，小明种植的两棵树之间的坡面距离AB是6米．要求相邻两棵树间的水平距离AC在5.3～5.7米范围内，问小明种植的这两棵树是否符合这个要求？(参考数据：sin20°≈0.34，cs20°≈0.94，tan20°≈0.36)


[答案： 小明种植的这两棵树符合要求]





图4－4－56





例2 [益阳中考] 益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥．如图4－4－57，新大桥的两端位于A，B两点，小张为了测量A，B之间的河宽，在垂直于新大桥AB的直线型道路l上测得如下数据：∠BDA＝76.1°，∠BCA＝68.2°，CD＝82米．求AB的长(精确到0.1米).


参考数据：sin76.1°≈0.97，cs76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0，sin68.2°≈0.93，cs68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5.


[答案： AB的长约为546.7米]








图4－4－57





例3 [十堰中考] 如图4－4－58，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时观测到灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离是__24__海里．(结果保留整数，参考数据：eq \r(2)≈1.4，eq \r(3)≈1.7，eq \r(6)≈2.4)





图4－4－58
例1考查了学生对解直角三角形的应用，解题的关键是通过作垂线构造直角三角形．同时引导学生作辅助线的思路和方法.


例2主要是利用解直角三角形，求河宽．使学生在不同知识背景下灵活运用解直角三角形的知识解决问题.



【拓展提升】


1.利用坡度求缆绳长


例4 [山西中考] 如图4－4－59，点A，B，C表示某旅游景区三个缆车站的位置，线段AB，BC表示连接缆车站的钢缆，已知A，B，C三点在同一竖直平面内，它们的海拔高度AA′，BB′，CC′分别为110米，310米，710米，钢缆AB的坡度i＝1∶2，钢缆BC的坡度i＝1∶1，景区因改造缆车线路，需要从A到C直线架设一条钢缆，那么钢缆AC的长度是多少米？(注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)





图4－4－59


[答案： 钢缆AC的长度为1000米]


2.构造直角三角形求坡高和坡宽


例5 [宿迁中考] 如图4－4－60是某通道的侧面示意图，已知AB∥CD∥EF，AM∥BC∥DE，AB＝CD＝EF，∠AMF＝90°，∠BAM＝30°，AB＝6 m．


(1)求FM的长；


(2)连接AF，若sin∠FAM＝eq \f(1,3)，求AM的长.





图4－4－60





[答案： (1)9 m (2)18 eq \r(2) m]
例3考查了解直角三角形的应用——方位角，解题的关键是添加辅助线，将三角形分割为含特殊角的直角三角形.


例4，例5主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是构造直角三角形．此类问题容易出错的地方是构造不出直角三角形.
活动


四：


课堂


总结


反思
【当堂训练】


1.教材P129练习中的T1，T2.


2.教材P129习题4.4中的T1，T2.
当堂检测，及时反馈学习效果.
【知识网络】



提纲挈领，重点突出.
【教学反思】


①[授课流程反思]


用来源于学生比较熟悉的实际问题吸引他们的注意力，激发他们的好奇心，体会数学来源于生活并服务于生活，诱发学生对新知识的渴求．教师在新课引入时借助多媒体展示河堤的相关图片，边讲解边观看，最后落入到探究坡度、坡角等问题上.


②[讲授效果反思]


新课进行中主要有两个环节：一是师生共同探究简单的、单一的坡度、坡角、坡长和坡高之间的关系；二是以近年的中考题为例展示坡度、坡角、方位角的应用．通过四道不同类型、不同角度的例题展示，学生对这类问题会有比较全面的认识.


③[师生互动反思]


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④[习题反思]


好题题号_____________________________________


错题题号____________________________________



反思，更进一步提升.