初中湘教版2.4 一元二次方程根与系数的关系学案设计

这是一份初中湘教版2.4 一元二次方程根与系数的关系学案设计，共10页。学案主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题


1．2017·怀化若x1，x2是一元二次方程x2－2x－3＝0的两个根，则x1·x2的值是( )


A．2 B．－2 C．4 D．－3


2．2017·济南关于x的方程x2＋5x＋m＝0的一个根为－2，则另一个根是( )


A．－6 B．－3 C．3 D．6


3．已知实数x1，x2满足x1＋x2＝7，x1x2＝12，则以x1，x2为根的一元二次方程可以是( )


A．x2－7x＋12＝0 B．x2＋7x＋12＝0


C．x2＋7x－12＝0 D．x2－7x－12＝0


4．设a，b是方程x2＋x－2020＝0的两个根，则a2＋2a＋b的值为( )


A．2017 B．2018


C．2019 D．2020


5．已知关于x的一元二次方程x2－4x－m2＝0有两个实数根x1，x2，则m2(eq \f(1,x1)＋eq \f(1,x2))的值是( )


A.eq \f(m4,4) B．－eq \f(m4,4) C．4 D．－4


6．若实数a，b(a≠b)分别满足a2－7a＋2＝0，b2－7b＋2＝0，则eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)的值为( )


A.eq \f(45,2) B.eq \f(49,2)


C.eq \f(45,2)或2 D.eq \f(49,2)或2


二、填空题


7．写出一个以－1和－2为两根的一元二次方程(二次项系数为1)：______________．


8．若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为________．


9．若关于x的方程x2＋(a－1)x＋a2＝0的两根互为倒数，则a＝________．


10．已知关于x的方程x2－6x＋k＝0的两根分别是x1，x2，且满足eq \f(1,x1)＋eq \f(1,x2)＝3，则k的值是________．


11．等腰三角形的三边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－8x＋n－2＝0的两根，则n的值为________．





三、解答题


12．已知关于x的方程3x2＋mx－8＝0有一个根是eq \f(2,3)，求另一个根及m的值．


























13．2017·南充已知关于x的一元二次方程x2－(m－3)x－m＝0.


(1)求证：方程有两个不相等的实数根；


(2)如果方程的两实根为x1，x2，且x12＋x22－x1x2＝7，求m的值．


























14．已知△ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2－(2k＋5)x＋k2＋5k＋6＝0的两个实数根，BC边的长为5.


(1)当k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？


(2)当k为何值时，△ABC是等腰三角形？并求出此时△ABC的周长．
































15．已知x1，x2是一元二次方程4kx2－4kx＋k＋2＝0的两个实数根．是否存在实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－eq \f(3,2)成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．















































16．关于x的一元二次方程x2－(m－3)x－m2＝0.


(1)求证：该方程总有两个不相等的实数根；


(2)设这个方程的两个实数根为x1，x2，且|x1|＝|x2|－2，求m的值及方程的根．

















17阅读理解题阅读材料，解答问题：


为了解方程(x2－1)2－5(x2－1)＋4＝0，如果我们把x2－1看作一个整体，然后设x2－1＝y…①，则原方程可化为y2－5y＋4＝0，易得y1＝1，y2＝4.


当y＝1时，即x2－1＝1，解得x＝±eq \r(2)；


当y＝4时，即x2－1＝4，解得x＝±eq \r(5).


综上可知，原方程的根为x1＝eq \r(2)，x2＝－eq \r(2)，x3＝eq \r(5)，x4＝－eq \r(5).


我们把以上这种解决问题的方法叫作换元法，这种方法通常体现了数学中复杂问题简单化、把未知化成已知的转化思想．请根据这种思想完成下列问题：


(1)直接应用：解方程x4－x2－6＝0.


(2)间接应用：已知实数m，n满足m2－7m＋2＝0，n2－7n＋2＝0，则eq \f(n,m)＋eq \f(m,n)的值是( )


A.eq \f(15,2) B.eq \f(45,2)


C．2或eq \f(15,2) D．2或eq \f(45,2)


(3)拓展应用：已知实数x，y满足eq \f(4,x4)－eq \f(2,x2)＝3，y4＋y2＝3，求eq \f(4,x4)＋y4的值．








1．[答案] D


2．[解析] B 设方程的另一个根为n，则有－2＋n＝－5，解得n＝－3.故选B.


3．[答案] A


4．[解析] C ∵把x＝a代入方程x2＋x－2020＝0得a2＋a－2020＝0，∴a2＋a＝2020.∵a，b是方程x2＋x－2020＝0的两个根，∴a＋b＝－1，∴a2＋2a＋b＝a2＋a＋a＋b＝2020＋(－1)＝2019.故选C.


5．[解析] D ∵x2－4x－m2＝0有两个实数根x1，x2，∴x1＋x2＝4，x1x2＝－m2，∴m2(eq \f(1,x1)＋eq \f(1,x2))＝m2·eq \f(x1＋x2,x1x2)＝m2·eq \f(4,－m2)＝－4.


6．[解析] A 由实数a，b分别满足a2－7a＋2＝0，b2－7b＋2＝0，且a≠b，得a，b是方程x2－7x＋2＝0的两个根，∴a＋b＝7，ab＝2，∴eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)＝eq \f(a2＋b2,ab)＝eq \f(（a＋b）2－2ab,ab)＝eq \f(49－4,2)＝eq \f(45,2).故选A.


7．[答案] (x＋1)(x＋2)＝0或x2＋3x＋2＝0


[解析] 法一：将一元二次方程的两根x1＝－1和x2＝－2代入a(x－x1)(x－x2)＝0(a≠0)，得a[x－(－1)][x－(－2)]＝0(a≠0)，a(x＋1)(x＋2)＝0.∵方程的二次项系数为1，∴方程为(x＋1)(x＋2)＝0.展开，得x2＋3x＋2＝0.


法二：两根之和为－1＋(－2)＝－3①，两根之积为－1×(－2)＝2②，根据根与系数的关系，方程为x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0③，将①②代入③，得x2＋3x＋2＝0.


8．[答案] 16


[解析] 设矩形的长和宽分别为x1，x2，根据题意得x1＋x2＝8，所以矩形的周长为2(x1＋x2)＝16.


9．[答案] －1


[解析] ∵方程的两根互为倒数，


∴两根的乘积为1，即a2＝1，


∴a＝1或a＝－1.


当a＝1时，原方程化为x2＋1＝0，方程无实数根，不符合题意，故舍去；


当a＝－1时，原方程化为x2－2x＋1＝0，Δ＝0，符合题意．故a＝－1.


10．[答案] 2


[解析] ∵x2－6x＋k＝0的两个根分别为x1，x2，∴x1＋x2＝6，x1x2＝k，eq \f(1,x1)＋eq \f(1,x2)＝eq \f(x1＋x2,x1x2)＝eq \f(6,k)＝3，解得k＝2.


11．[答案] 18


[解析] 当2为底边长时，则a＝b，a＋b＝8，∴a＝b＝4.∵4，4，2能围成三角形，∴n－2＝4×4，解得n＝18.当2为腰长时，a，b中有一个为2，则另一个为6.∵6，2，2不能围成三角形，∴此种情况不存在．


故答案为18.


12．解：设方程的另一个根为t.


由题意，得eq \f(2,3)＋t＝－eq \f(m,3)，eq \f(2,3)t＝－eq \f(8,3)，


解得t＝－4，m＝10.


故另一个根为－4，m的值为10.


13．解：(1)证明：∵x2－(m－3)x－m＝0，∴Δ＝b2－4ac＝[－(m－3)]2－4×1×(－m)＝m2－2m＋9＝(m－1)2＋8＞0，∴方程有两个不相等的实数根．


(2)∵x2－(m－3)x－m＝0，方程的两实根为x1，x2，∴x1＋x2＝m－3，x1x2＝－m.∵x12＋x22－x1x2＝7，∴(x1＋x2)2－3x1x2＝7，即(m－3)2－3×(－m)＝7，解得m1＝1，m2＝2，即m的值是1或2.


14．解：(1)∵AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2－(2k＋5)x＋k2＋5k＋6＝0的两个实数根，∴AB＋AC＝2k＋5，AB·AC＝k2＋5k＋6，


∴AB2＋AC2＝(AB＋AC)2－2AB·AC＝(2k＋5)2－2(k2＋5k＋6)＝4k2＋20k＋25－2k2－10k－12＝2k2＋10k＋13.


若△ABC是以BC＝5为斜边的直角三角形，


则AB2＋AC2＝BC2，即2k2＋10k＋13＝25，


∴k2＋5k－6＝0，∴k1＝1，k2＝－6(不合题意，舍去)，


即当k的值为1时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．


(2)因为x2－(2k＋5)x＋k2＋5k＋6＝0，


即(x－k－2)(x－k－3)＝0，


∴x1＝k＋2，x2＝k＋3.


若k＋2＝5，k＝3，则k＋3＝6，


此时△ABC的周长＝5＋5＋6＝16；


若k＋3＝5，k＝2，则k＋2＝4，


此时△ABC的周长＝5＋5＋4＝14.


综上，当k的值为3或2时，△ABC是等腰三角形．当k的值为3时，△ABC的周长为16；当k的值为2时，△ABC的周长为14.


15．解：不存在．理由如下：根据题意得4k≠0，且Δ＝b2－4ac＝(－4k)2－4·4k(k＋2)≥0，∴k＜0.∵x1，x2是一元二次方程4kx2－4kx＋k＋2＝0的两个实数根，∴x1＋x2＝1，x1x2＝eq \f(k＋2,4k).∵(2x1－x2)(x1－2x2)＝－eq \f(3,2)，∴2(x1＋x2)2－9x1x2＝－eq \f(3,2)，即2×12－9·eq \f(k＋2,4k)＝－eq \f(3,2)，解得k＝eq \f(18,5)，而k＜0，不合题意，舍去，∴不存在k的值，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－eq \f(3,2)成立．


16． 解：(1)证明：∵b2－4ac＝[－(m－3)]2＋4m2＝5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m－\f(3,5)))eq \s\up12(2)＋eq \f(36,5)＞0，


∴无论m取何实数，该方程总有两个不相等的实数根．


(2)∵x1，x2是原方程的两根，


∴x1＋x2＝m－3，x1x2＝－m2.


∵|x1|＝|x2|－2，


∴|x2|－|x1|＝2，


∴(|x2|－|x1|)2＝22＝4，


即x12－2|x1x2|＋x22＝4.


∵方程有两个不相等的实数根，且x1x2＝－m2，


∴x1·x2≤0，


∴x12＋x22＋2x1x2＝4，


即(x1＋x2)2＝4，


∴x1＋x2＝±2.


∵x1＋x2＝m－3，


∴m－3＝±2，解得m＝5或m＝1.


当m＝1时，原方程为x2＋2x－1＝0，


解得x1＝－1＋eq \r(2)，x2＝－1－eq \r(2).


当m＝5时，原方程为x2－2x－25＝0，


解得x3＝1＋eq \r(26)，x4＝1－eq \r(26).


17、解：(1)设x2＝y，


则原方程可化为y2－y－6＝0.


分解因式，得(y＋2)(y－3)＝0，


解得y1＝－2，y2＝3.


当y＝－2时，x2＝－2，此方程无实数根；


当y＝3时，x2＝3，解得x1＝－eq \r(3)，x2＝eq \r(3)，


∴原方程的根为x1＝－eq \r(3)，x2＝eq \r(3).


(2)当m＝n时，则原式＝1＋1＝2；


当m≠n时，则m，n是方程x2－7x＋2＝0的两个不相等的实数根，


∴m＋n＝7，mn＝2，


∴原式＝eq \f(（m＋n）2－2mn,mn)＝eq \f(49－4,2)＝eq \f(45,2).


综上所述，原式的值是2或eq \f(45,2).故选D.


(3)由题意知eq \f(4,x4)－eq \f(2,x2)＝(－eq \f(2,x2))2＋(－eq \f(2,x2))＝3，y4＋y2＝(y2)2＋y2＝3，


∴－eq \f(2,x2)，y2是方程t2＋t＝3的根，


解得t＝eq \f(－1±\r(13),2).


∵－eq \f(2,x2)＜0，y2＞0，


∴－eq \f(2,x2)＝eq \f(－1－\r(13),2)，y2＝eq \f(－1＋\r(13),2)，


∴eq \f(4,x4)＋y4＝(－eq \f(2,x2))2＋(y2)2＝(eq \f(－1－\r(13),2))2＋(eq \f(－1＋\r(13),2))2＝7.