初中数学湘教版九年级上册3.1 比例线段导学案及答案

这是一份初中数学湘教版九年级上册3.1 比例线段导学案及答案，共6页。学案主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题


1．下列各组线段，是成比例线段的是( )


A．3 cm，6 cm，7 cm，9 cm


B．2 cm，5 cm，0.6 dm，8 cm


C．3 cm，10 cm，1.8 dm，6 dm


D．1 cm，2 cm，3 cm，4 cm


2．若线段c满足eq \f(a,c)＝eq \f(c,b)，且线段a＝4 cm，b＝9 cm，则线段c＝( )


A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm


3．已知A，B两地的实际距离AB＝5 km，画在图上的距离A′B′＝2 cm，则图上的距离与实际距离的比是( )


A．2∶5 B．1∶2500


C．250000∶1 D．1∶250000


二、填空题


4．阅读下列材料：


如图K－18－1①，在线段AB上找一点C(AC＞BC)，若BC∶AC＝AC∶AB，则称点C为线段AB的黄金分割点，这时比值为eq \f(\r(5)－1,2)≈0.618，人们把eq \f(\r(5)－1,2)称为黄金分割数．长期以来，很多人都认为黄金分割数是一个很特别的数，我国著名数学家华罗庚先生所推广的优选法中，就有一种0.618法应用了黄金分割数．


我们可以这样作图找到已知线段的黄金分割点：如图②，在数轴上，点O表示数0，点E表示数2，过点E作EF⊥OE，且EF＝eq \f(1,2)OE，连接OF；以点F为圆心，EF为半径作弧，交OF于点H；再以点O为圆心，OH为半径作弧，交OE于点P，则点P就是线段OE的黄金分割点．


根据材料回答下列问题：


(1)线段OP的长为________，点P在数轴上表示的数为________；


(2)在(1)中计算线段OP长的依据是________.eq \a\vs4\al(链接听课例4归纳总结)





图K－18－1


三、解答题


5．如图K－18－2，AB＝6 cm，AE＝3 cm，CE＝2 cm，且eq \f(AD,BD)＝eq \f(AE,CE).


(1)求AD的长；


(2)DB，AB，CE，AC是不是比例线段？eq \a\vs4\al(链接听课例2归纳总结)





图K－18－2











6探究性问题如图K－18－3，在△ABC中，点D在边AB上，且DB＝DC＝AC，已知∠ACE＝108°，BC＝2.


(1)求∠B的度数．


(2)我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，它的腰长与底边长的比(或者底边长与腰长的比)等于黄金比eq \f(\r(5)－1,2).


①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由．


②求AD的长．


③在直线AB或BC上是否存在点P(点A，B除外)，使△PDC是黄金三角形？若存在，在备用图中画出点P，并简要说明画出点P的方法(不要求证明)；若不存在，请说明理由．








图K－18－3








1．[答案] C


2．[解析] A 将a＝4 cm，b＝9 cm代入eq \f(a,c)＝eq \f(c,b)，得c2＝ab＝4×9＝36，解得c＝－6(不合题意，舍去)或c＝6.故选A.


3．[解析] D ∵5 km＝500000 cm，∴比例尺＝2∶500000＝1∶250000.故选D.


4．[答案] (1)eq \r(5)－1 eq \r(5)－1 (2)勾股定理


[解析] (1)∵OE＝2，∴EF＝eq \f(1,2)OE＝1.∵EF⊥OE，∴OF＝eq \r(OE2＋EF2)＝eq \r(22＋12)＝eq \r(5)，由作法知，FH＝EF＝1，OP＝OH＝OF－FH＝eq \r(5)－1，∴点P在数轴上表示的数为eq \r(5)－1(2)在(1)中计算线段OP长时，首先根据勾股定理求得OF，再由OP＝OH＝OF－FH求得OP，故计算线段OP长的依据是勾股定理．


5．解：(1)∵eq \f(AD,BD)＝eq \f(AE,CE)，∴eq \f(AD,AB－AD)＝eq \f(AE,CE)，


即eq \f(AD,6－AD)＝eq \f(3,2)，


解得AD＝3.6 (cm)．


(2)∵DB＝AB－AD＝6－3.6＝2.4(cm)，


AC＝AE＋CE＝5 cm，


∴eq \f(DB,AB)＝eq \f(2.4,6)＝eq \f(2,5)，eq \f(CE,AC)＝eq \f(2,5)，∴eq \f(DB,AB)＝eq \f(CE,AC)，


∴DB，AB，CE，AC是比例线段．


6解：(1)∵BD＝DC＝AC，


∴∠B＝∠DCB，∠CDA＝∠A.


设∠B＝x，则∠DCB＝x，∠CDA＝∠A＝2x.


又∠ACE＝108°，


∴∠B＋∠A＝108°，


∴x＋2x＝108°，


∴x＝36°，即∠B＝36°.


(2)①图中有3个黄金三角形，即△BDC，△ADC，△BAC.


∵DB＝DC，∠B＝36°，∴△BDC是黄金三角形．


∵CD＝CA，∠ACD＝180°－∠ACE－∠DCB＝36°，


∴△ADC是黄金三角形．


∵∠ACE＝108°，


∴∠ACB＝72°.


又∵∠A＝∠CDA＝2∠B＝72°，


∴∠A＝∠ACB，


∴BA＝BC.


又∵∠B＝36°，∴△BAC是黄金三角形．


②∵△BAC是黄金三角形，


∴eq \f(AC,BC)＝eq \f(\r(5)－1,2).


∵BC＝2，


∴AC＝eq \r(5)－1.


∵BA＝BC＝2，BD＝AC＝eq \r(5)－1，


∴AD＝BA－BD＝2－(eq \r(5)－1)＝3－eq \r(5).


③存在，有三个符合条件的点P，即P1，P2，P3，如图．


ⅰ)以CD为底边的黄金三角形：作CD的垂直平分线与直线AB，BC分别交于点P1，P2.


ⅱ)以CD为腰的黄金三角形：以点C为圆心，CD为半径作弧与BC的交点为点P3.