初中数学湘教版九年级上册4.3 解直角三角形学案设计

这是一份初中数学湘教版九年级上册4.3 解直角三角形学案设计，共11页。学案主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题


1．在下列直角三角形中不能求解的是( )


A．已知一直角边和一锐角


B．已知一斜边和一锐角


C．已知两边


D．已知两角


2．如图K－34－1是教学用的三角尺，边AC＝30 cm，∠C＝90°，tan∠BAC＝eq \f(\r(3),3)，则边BC的长为( )





图K－34－1


A．30 eq \r(3) cm B．20 eq \r(3) cm


C．10 eq \r(3) cm D．5 eq \r(3) cm


3．2016·牡丹江如图K－34－2，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D.若AC＝6 eq \r(2)，∠C＝45°，tan∠ABC＝3，则BD的长为( )





图K－34－2


A．2 B．3 C．3 eq \r(2) D．2 eq \r(3)


4．如图K－34－3，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD，若cs∠BDC＝eq \f(3,5)，则BC的长是( )





图K－34－3


A．4 cm B．6 cm


C．8 cm D．10 cm


5．在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝eq \f(12,5)，△ABC的周长为60，那么△ABC的面积为( )


A．60 B．30 C．240 D．120


6．如图K－34－4，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝10，tanB＝eq \f(3,4)，则BC的长为( )





图K－34－4


A．6 B．8 C．12 D．16


二、填空题


7．在△ABC中，∠C＝90°，csA＝eq \f(12,13)，BC＝12，那么AC＝________．


8．如图K－34－5，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足为E，DE＝6，sinA＝eq \f(3,5)，则菱形ABCD的周长是 ________ .





图K－34－5


9．已知△ABC，O为AC的中点，点P在AC上，若OP＝eq \f(\r(5),2)，tanA＝eq \f(1,2)，∠B＝120°，BC＝2 eq \r(3)，则AP的长为________．


三、解答题


10．根据下列条件解直角三角形ABC，其中∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.


(1)已知c＝8 eq \r(3)，∠A＝60°；


(2)已知b＝2 eq \r(2)，c＝4；


(3)已知c＝4，a＝b.


























11．在△ABC中，∠C＝90°，csA＝eq \f(\r(3),3)，AB＝8 cm.求△ABC的面积．





























12．如图K－34－6，在△ABC中，已知BC＝1＋eq \r(3)，∠B＝60°，∠C＝45°，求AB的长.





图K－34－6














13．如图K－34－7，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，且sinB＝eq \f(\r(2),2)，tanA＝eq \f(1,2)，AC＝3 eq \r(5).


(1)求∠B的度数及AB的长；


(2)求tan∠CDB的值．





图K－34－7














14．如图K－34－8所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12 mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知α＝37°，求长方形卡片的周长．(结果精确到1 mm，参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75)





图K－34－8














15．如图K－34－9，已知∠B＝37°，AB＝20，C是射线BM上一点．


(1)求点A到BM的距离．


(2)在下列条件中，可以唯一确定BC长的是________．(填写所有符合条件的序号)


①AC＝13；②tan∠ACB＝eq \f(12,5)；③连接AC，△ABC的面积为126.


(3)在(2)的答案中，选择其中一个作为条件，画出草图，并求BC的长．


(参考数据：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75)





图K－34－9




















16探究性问题我们知道，直角三角形的边角关系可用三角函数来描述，那么在任意三角形中，边角之间是否也存在某种关系呢？


如图K－34－10，在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，过点C作CD⊥AB于点D.


在Rt△ADC中，CD＝bsinA，AD＝bcsA，


∴BD＝c－bcsA.


在Rt△BDC中，由勾股定理，得CD2＋BD2＝BC2，


即(bsinA)2＋(c－bcsA)2＝a2，


整理，得a2＝b2＋c2－2bccsA.


通过学习上述材料，解答下列问题：


(1)直接写出你探究得出的结论：b2＝________，c2＝________；


(2)请你用文字概括所得到的结论：三角形中，任何一边的平方等于________________________________________________________________________；


(3)在△ABC中，∠A＝45°，b＝2 eq \r(2)，c＝2，求a和∠C；


(4)在△ABC中，a＝eq \r(3)，b＝eq \r(2)，∠B＝45°(c＞a＞b)，求边长c.





图K－34－10








1．[解析] D 已知两角而没有三角形的边长不能求出三角形的任何一条边，故不能解这个直角三角形．


2．[答案] C


3． [解析] A ∵AC＝6 eq \r(2)，∠C＝45°，


∴AD＝AC·sin45°＝6 eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝6.


∵tan∠ABC＝eq \f(AD,BD)＝3，


∴BD＝eq \f(AD,3)＝2.


4．[解析] A ∵∠C＝90°，AC＝8 cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD，∴BD＝AD，∴CD＋BD＝8cm.∵cs∠BDC＝eq \f(CD,BD)＝eq \f(3,5)，∴eq \f(CD,8－CD)＝eq \f(3,5)，解得CD＝3(cm)，∴BD＝5cm，∴BC＝4 cm.故选A.


5．[解析] D 如图所示，由tanA＝eq \f(12,5)，设BC＝12x，AC＝5x，根据勾股定理，得AB＝13x.由题意得12x＋5x＋13x＝60，解得x＝2，∴BC＝24，AC＝10，则△ABC的面积为120.故选D.





6．[解析] D ∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴BD＝CD.∵tanB＝eq \f(AD,BD)＝eq \f(3,4)，∴AD＝eq \f(3,4)BD.∵AD2＋BD2＝AB2，∴(eq \f(3,4)BD)2＋BD2＝102，∴BD＝8，∴BC＝16.故选D.


7．[答案] eq \f(144,5)


8．[答案] 40


[解析] ∵DE⊥AB，∴△ADE是直角三角形，∴sinA＝eq \f(DE,AD)＝eq \f(3,5)， 即AD＝10.


∵菱形的四条边都相等，


∴菱形ABCD的周长＝10×4＝40.


9．[答案] 2 eq \r(5)或eq \r(5)


[解析] 过点C作CD⊥AB的延长线于点D，∵∠ABC＝120°，


∴∠CBD＝60°.∵BC＝2 eq \r(3)，


∴DC＝BC·sin60°＝2 eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＝3.∵tanA＝eq \f(1,2)，∴AD＝2DC＝6，∴AC＝eq \r(,AD2＋DC2)＝3 eq \r(5).∵O是AC的中点，∴AO＝eq \f(3,2) eq \r(5).∵OP＝eq \f(\r(5),2)，∴AP的长为2 eq \r(5)或eq \r(5).





10．解：(1)∠B＝30°，a＝12，b＝4 eq \r(3).


(2)a＝2 eq \r(2)，∠A＝∠B＝45°.


(3)∠A＝∠B＝45°，a＝b＝2 eq \r(2).


11．[解析] 直接利用锐角三角函数由已知边AB求未知边AC，再用勾股定理求BC.


解：∵在Rt△ABC中，csA＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(\r(3),3)，


∴AC＝AB·csA＝eq \f(8 \r(3),3)(cm)．


由勾股定理，得BC＝eq \r(AB2－AC2)＝eq \f(8 \r(6),3)(cm)．


∴S△ABC＝eq \f(1,2)×eq \f(8 \r(3),3)×eq \f(8 \r(6),3)＝eq \f(32 \r(2),3)(cm2)．


12．解：过点A作AD⊥BC，垂足为D.


设BD＝x，在Rt△ABD中，AD＝BD·tanB＝x·tan60°＝eq \r(3)x.


在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，


∴CD＝AD＝eq \r(3)x.


∵BC＝1＋eq \r(3)，∴eq \r(3)x＋x＝1＋eq \r(3)，


解得x＝1，即BD＝1.


在Rt△ABD中，∵csB＝eq \f(BD,AB)，


∴AB＝eq \f(BD,csB)＝eq \f(1,cs60°)＝2.


13．解：(1)过点C作CE⊥AB于点E，设CE＝x，在Rt△ACE中，∵tanA＝eq \f(CE,AE)＝eq \f(1,2)，


∴AE＝2x，∴AC＝eq \r(x2＋（2x）2)＝eq \r(5)x，


∴eq \r(5)x＝3 eq \r(5)，解得x＝3，


∴CE＝3，AE＝6.


在Rt△BCE中，∵sinB＝eq \f(\r(2),2)，


∴∠B＝45°，


∴△BCE为等腰直角三角形，


∴BE＝CE＝3，


∴AB＝AE＋BE＝9.


即∠B的度数为45°，AB的长为9.





(2)∵CD为中线，


∴BD＝eq \f(1,2)AB＝4.5，∴DE＝BD－BE＝4.5－3＝1.5，


∴tan∠CDE＝eq \f(CE,DE)＝eq \f(3,1.5)＝2，


即tan∠CDB的值为2.


14．解：如图，过点B作BE⊥l于点E，DF⊥l于点F.∵α＋∠DAF＝180°－∠BAD＝180°－90°＝90°，∠ADF＋∠DAF＝90°，∴∠ADF＝α＝37°.根据题意，得BE＝24 mm，DF＝48 mm.在Rt△ABE中，sinα＝eq \f(BE,AB)，∴AB＝eq \f(BE,sin37°)≈eq \f(24,0.60)＝40 (mm)．在Rt△ADF中，cs∠ADF＝eq \f(DF,AD)，∴AD＝eq \f(DF,cs37°)≈eq \f(48,0.80)＝60(mm)．∴矩形ABCD的周长≈2×(40＋60)＝200(mm)．





15．解：(1)如图①，过点A作AD⊥BC于点D，则∠ADB＝90°.在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，∠B＝37°，∴AD＝AB·sinB＝12.


(2)①以点A为圆心、13为半径画圆，与直线BM有两个交点，点C不唯一；


②由tan∠ACB＝eq \f(12,5)知∠ACB的大小确定，在△ABC中，∠ACB，∠B及AB确定，此时的三角形唯一；


③AB的长度和三角形的面积均确定，则点C到AB的距离即可确定，则BM上的点C是唯一的．故答案为②③.


(3)如图②，方案一：选②，由(1)得，AD＝12，BD＝AB·csB＝16.在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∴CD＝eq \f(AD,tan∠ACB)＝5，∴BC＝BD＋CD＝21.方案二：选③，过点C作CE⊥AB于点E，则∠BEC＝90°，由S△ABC＝eq \f(1,2)AB·CE，得CE＝12.6.在Rt△BEC中，∵∠BEC＝90°，∴BC＝eq \f(CE,sinB)＝21.





16解：(1)a2＋c2－2accsB a2＋b2－2abcsC


(2)其他两边的平方和减去这两边与其夹角的余弦的乘积的2倍


(3)在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccsA＝(2 eq \r(2))2＋22－2×2 eq \r(2)×2×eq \f(\r(2),2)＝4，


∴a＝2，


∴a2＋c2＝22＋22＝8，b2＝(2 eq \r(2))2＝8，


∴a2＋c2＝b2，


∴△ABC为直角三角形，且a＝c＝2，


∴∠C＝45°.


(4)∵b2＝a2＋c2－2accsB，


∴c2－eq \r(6)c＋1＝0，解得c＝eq \f(\r(6)±\r(2),2).


∵c＞a＞b，∴c＝eq \f(\r(6)＋\r(2),2).