初中数学冀教版九年级上册25.4 相似三角形的判定导学案

这是一份初中数学冀教版九年级上册25.4 相似三角形的判定导学案，共9页。

25.4 相似三角形的判定





知识要点分类练 夯实基础





知识点 一： 相似三角形的判定定理


定理1: 两角对应相等的两个三角形相似（AA）(此定理用的最多)


如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．用数学语言表述如下：


∵∠A＝∠D，∠B＝∠E∴△ABD∽△DEF





练一练：


1、如图，已知∠ADE=∠B，则△AED∽ .


2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于D，则△ADE∽ .


3、如图∠C=∠B，则图中的的两对相似三角形是 ∽ ， ∽ .





4、如图，当∠C=_________时，△OAC∽△OBD；当∠B=_________时；△OAC∽△ODB，当 ∠A=_____________，△OAC与△OBD相似．








5、若△ABC∽△A′B′C′，∠A=40°，∠C=110°，则∠B′等于（ ）


A． 30° B． 50° C． 40° D． 70°


6、下列各组图形一定相似的是（ ）．


A．有一个角相等的等腰三角形 B．有一个角相等的直角三角形


C．有一个角是100°的等腰三角形 D．有一个角是对顶角的两个三角形


7、已知A（2，0），B（0，4），且∠ACO=∠BAO，则点C的坐标为________











7题图 8题图 9题图


8、在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，DE∥BC， 那么与△ABC相似的三角形有______个


9、如图，△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，N是AB的中点，MN⊥BC于M，则可识别△BMN∽△ ，相似比为 ．


10、如图，∠1=∠2=∠3，试写出图中所有相似的三角形，可不要遗漏哦！

















11、如图，四边形ABCD是平行四边形，点F在BA的延长线上，连接CF交AD于点E．


求证：△CDE∽△FAE．











12、如图,⊿ABC是等边三角形,点D,E分别在BC,AC上,且BD=CE,AD与BE相交于点F.


(1)求证：⊿ABD≌⊿BCE。


(2)求证：⊿AEF∽⊿BEA


(3)求证：BD2=AD·DF。


13、四边形ABCD、DEFG都是正方形连接AE,CG相交于点M，与AD交于点N，


求证:△AMN∽△CDN























14、如图，已知△ABC与△ADE的边BC、AD相交于O，且∠1=∠2=∠3，求证：


（1）△ABO∽△CDO；（2）△ABC∽△ADE

















定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 （SAS）(此定理最容易出错)


用数学语言表述如下：


∵ ，∠A=∠D ∴△ABD∽△DEF


练一练：


1. 能判定△ABC相似于△A＇B＇C＇的条件是( )


A. B.且∠A=∠C


C.且∠B=∠A′ D.且∠ B=∠ B′


2．下列命题中，真命题是( )


A.所有的等腰三角形相似 B.所有的直角三角形都相似


C.所有的等边三角形相似 D.以上结论都不对


3．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将这个四边形分成①，②，③，④四个三角形．若OA∶OC＝OB∶OD，则下列结论中一定正确的是( )


A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似








4．如图，等边△ABC中，点E是AB的中点，点D在AC上，且DC＝2DA，则( )


A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBD


C．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD








5．已知，添加一个条件使得∽ ，则添加的条件是 .





6．如图，∠A＝∠DBC，AB＝4，AC＝6，BC＝5，BD＝7.5，则CD的长等于______.








7．△ABC的三边之比为AB∶BC∶CA＝2∶3∶4，在△A′B′C′中，A′B′＝1，C′A′＝2，当B′C′＝_______时，△ABC∽△A′B′C′.


8．如图，若A，B，C，P，Q，甲、乙、丙、丁都是方格纸的格点，为使△ABC∽△PQR，则点R应是甲、乙、丙、丁4点中的_________.





9．已知线段AD，BC相交于点O，OB∶OD＝3∶1，OA＝12 cm，OC＝4 cm，AB＝30 cm，则CD＝________cm.


10．如图，点D是△ABC边AB上的一点，AD＝2BD＝2，当AC＝________时，△ACD∽△ABC.





11. 在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC上，当AE＝____________时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似．


12．已知直线y＝－eq \f(1,2)x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，在x轴上有一点C，B，O，C三点构成的三角形与△AOB相似，则点C的坐标为_______________________________．








13．如图，根据图中所给的数据，判断△ABC与△EDC是否相似，并说明理由．











14．如图．


(1)判断△ABC和△EDC是否相似，并说明理由；


(2)求x和y的值．

















15.如图，在正方形ABCD中，P是BC上的一点，且BP=3PC，Q是CD的中点


（1）求证△ADQ∽△QCP；（2）求证AQ⊥PQ























定理3：三边对应成比例的两个三角形相似（SSS）


用数学语言表述如下：


∵ ＝ ∴△ABD∽△DEF





定理4：直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似（HL）


用数学语言表述如下：


∵∠C＝∠F ＝90° ∴△ABD∽△DEF





练一练：


1．有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1，eq \r(2)，eq \r(5)，乙三角形木框的三边长分别为5，eq \r(5)，eq \r(10)，则甲、乙两个三角形木框( )


A．一定相似 B．一定不相似


C．不一定相似 D．无法判断是否相似


2．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与图25－4－15中△ABC相似的三角形所在的网格图形是( )





3．在△ABC与△A′B′C′中，AB＝9 cm，BC＝8 cm，CA＝5 cm，A′B′＝4.5 cm，B′C′＝2.5 cm，C′A′＝4 cm，则下列说法错误的是( )


A．△ABC和△A′B′C′相似 B．AB和A′B′是对应边


C．∠C和∠C′是对应角 D．BC和B′C′是对应边


4．下列各选项不能判断△ABC与△DEF相似的是( )


A．∠C＝∠D＝90°，∠B＝32°，∠E＝58°


B．∠C＝∠D＝90°，AB＝15，BC＝9，FE＝5，DF＝4


C．∠C＝∠D＝90°，AC＝15，BC＝9，ED＝5，FD＝3


D．∠C＝∠D＝90°，AC＝15，BC＝9，EF＝5，DF＝3


5．在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：①eq \f(AB,A′B′)＝eq \f(BC,B′C′)；②eq \f(BC,B′C′)＝eq \f(AC,A′C′)；③∠A＝∠A′；④∠C＝∠C′.如果从中任取两个条件组成一组，那么能判定△ABC∽△A′B′C′的共有( )


A．1组 B．2组 C．3组 D．4组


6．如图所示，要使△ABC∽△DEF，则x＝________．





7．要判定△ABC∽△A′B′C′，已知eq \f(AB,A′B′)＝eq \f(BC,B′C′)，还要添加条件：______________(填角的关系)或________________(填边的关系)．


8在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，当AC＝3，AB＝5，DE＝10，EF＝8时，Rt△ABC和Rt△DEF________(填“相似”或“不相似”)．


9．如图，AB⊥BC于点B，AC⊥CD于点C，AB＝4，AC＝6，当AD＝________时，△ABC∽△ACD.








10．如图，点B，A，E在同一条直线上，AD⊥BD，CE⊥AE，垂足分别为D，E，AB＝3CA，BD＝3AE.求证：△ABD∽△CAE.














11．如图，O是△ABC外的一点，分别在射线OA，OB，OC上取一点A′，B′，C′，使得eq \f(OA′,OA)＝eq \f(OB′,OB)＝eq \f(OC′,OC)＝3，连接A′B′，B′C′，A′C′，所得△A′B′C′与△ABC是否相似？请证明你的结论．