中考数学最值问题（教师版 含解析）

和长度有关的最值

未命名

一、单选题

1．如图，在中，，，，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】B

【解析】

【分析】

设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作垂足为P交⊙O于F，此时垂线段OP最短，PF最小值为，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，根据图形与圆的性质即可求解.

【详解】

如图，设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作垂足为P交⊙O于F，

此时垂线段OP最短，PF最小值为，

∵，，

∴

∵，

∴

∵点O是AB的三等分点，

∴，，

∴，

∵⊙O与AC相切于点D，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴MN最小值为，

如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，

MN最大值，

,

∴MN长的最大值与最小值的和是6．

故选B．

【点睛】

此题主要考查圆与三角形的性质，解题的关键是熟知圆的性质及直角三角形的性质.

二、填空题

2．如图，已知矩形，点在边上，连接将沿翻折，得到，且点是中点，取中点，点为线段上一动点，连接，，若长为2，则的最小值为__________.

【答案】2

【解析】

【分析】

作点N关于BE的对称点N'，连接PN'，由轴对称的性质可得PN+PM=PN'+PM，依据当N'，P，M三点共线时，PM+PN的最小值为N'M的长，即可得到PM+PN的最小值为2．

【详解】

如图，作点N关于BE的对称点N'，连接PN'，

由折叠可得，BE平分∠ABM，AB=MB，
∴点N'在AB上，
又∵N是BM的中点，
∴N'是AB的中点，
由轴对称的性质可得PN=PN'，
∴PN+PM=PN'+PM，
∴当N'，P，M三点共线时，PM+PN的最小值为N'M的长，
又∵四边形ABCD是矩形，M是CD的中点，
∴四边形ADMN'是矩形，
∴MN'=AD=2，
∴PM+PN的最小值为2，
故答案为：2．

【点睛】

本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．

3．在△ABC中，AB＝5，AC＝8，∠BAC＝60°，点D是BC上一动点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，线段EF的最小值为_____．

【答案】

【解析】

【分析】

如图，过点B作BG⊥AC，过点A作AH⊥BC，连接AD，由直角三角形的性质和勾股定理可求BC的长，由面积法可求AH的长，可证点A，点E，点D，点F四点在以AD为直径的圆上，设圆心为O，连接OE，OF，可得EF=2•OE•cos30°，当⊙O的直径最小时，EF的长最小，即可求解．

【详解】

如图，过点B作BG⊥AC，过点A作AH⊥BC，连接AD，

∵AB=5，∠BAC=60°，BG⊥AC，

∴AG=，BG=AG=，

∵AC=8，AG=，

∴GC=，

∴BC===7，

∵S△ABC=•BC•AH=•AC•BG，

∴AH=，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠AED=∠AFD=90°，

∴∠AED+∠AFD=180°，

∴点A，点E，点D，点F四点在以AD为直径的圆上，设圆心为O，连接OE，OF，

∴∠EOF=120°，

∴EF=2•OE•cos30°，

∴当⊙O的直径最小时，EF的长最小，

∴AD与AH重合时，EF最小，

∴EF最小值为

【点睛】

本题考查圆周角定理，垂线段最短，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．

4．如图，在等腰直角三角形中，，，为中点，为边上一动点，连接，以为边并在的右侧作等边，连接，则的最小值为______.

【答案】3

【解析】

【分析】

由60°联想旋转全等，转换动长为定点到定线的长，构建等边三角形BDG，利用△BDF≌△GDE，转换BF=GE，然后即可求得其最小值.

【详解】

以BD为边作等边三角形BDG，连接GE，如图所示：

∵等边三角形BDG，等边三角形DEF

∴∠BDG=∠EDF=60°，BD=GD=BG，DE=DF=EF

∴∠BDG+∠GFD=∠EDF+∠GFD，即∠BDF=∠GDE

∴△BDF≌△GDE（SAS）

∴BF=GE

当GE⊥AC时，GE有最小值，如图所示GE′，作DH⊥GE′

∴BF=GE= CD+DG=2+1=3

故答案为：3.

【点睛】

此题主要考查等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题关键是由60°联想旋转全等，转换动长为定点到定线的长.

5．如图，，是上的一点，，点为上的一动点，点为上的一动点，则的最小值为 ________，当的值取最小值时，则的面积为________.

【答案】2       

【解析】

【分析】

作D点关于AO的对称点D’，当C,P,D’在同一直线上时，取最小值，则CD’=，故当CD’⊥OD’时，CD’最小，根据得到∠BOD’=60°，根据OC=4，利用三角函数即可求出此时的CD’；作PH⊥BO，根据角平分线的性质得到DP’=PH，根据Rt△OPD’求出D’P，再根据三角形的面积公式即可求出的面积.

【详解】

作D点关于AO的对称点D’，当C,P,D’在同一直线上时，取最小值，

故当CD’⊥OD’时，CD’最小，

如图，∵

∴∠BOD’=60°，

∵OC=4，

∴CD’=OCsin60°=4×=2，

故的最小值为2；

过PH⊥OC，

∵OP平分∠COD’

∴PH=D’P

∵OD’=OCcos60°=4×=2，

∴DP’=OD’tan30°=2×=

故PH=

∴此时S△OPC=OC×PH=×4×=

故答案为：2；.

【点睛】

此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是根据题意找到最小值时的特点，再利用解直角三角形进行求解.

6．如图，在△ABC中，AB=AC=4，BC=2，点P、E、F分别为边BC、AB、AC上的任意点，则PE+PF的最小值是_____．

【答案】

【解析】

【分析】

当PE⊥AB，PF⊥AC时，PE+PF的值最小.

【详解】

解：如图，作CG⊥AB于G，PH⊥CG于H，

当PE⊥AB，PF⊥AC时，则∠EGH=GHP=∠PEG=90°，

∴四边形PEGH为矩形，

∴PE=HG，PH∥AB，

∴∠B=∠HPC，

∵AB=AC，

∴∠B=∠FCP，

∴∠HPC=∠FCP，

∵∠PHC=∠CFP=90°，PC=CP，

∴△PHC≌△CFP(AAS)，

∴CH=PF

∴PE＋PF=HG+CH=CG，

故此时PE+PF将取得最小值.

在Rt△ACG中，

∵AC=4，

∴CG2=AC2-AG2=42-AG2，

在Rt△BCG中，

∵BC=2，BG=AB-AG=4-AG，

∴CG2=BC2-BG2=22-(4-AG)2，

∴42-AG2=22-(4-AG)2，

∴AG=，

∴CG===，

∴PE+PF=，

即PE+PF的最小值为.

故答案为.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，找到当PE⊥AB，PF⊥AC时，PE+PF的值最小是解题的关键.

7．已知，在平面直角从标系中，A点坐标为（0，4），B点坐标为（2，0），点C（m，6）为反比例函数y＝图象上一点，将△AOB绕B点旋转得到△A'O'B'（设旋转角为α，0°＜α＜360°），则点C到直线A'O'距离的最大值为_____．

【答案】2+．

【解析】

【分析】

如图，连接BC，利用待定系数法求出点C的坐标，观察图象可知当C，B，O′共线时，点C到直线O′A′的距离最大．

【详解】

解：如图，连接BC，

∵点C（m，6）在y＝上，

∴6m＝18，

∴m＝3，

∴C（3，6），

∵B（2，0），

∴BC＝＝，OB＝2，

观察图象可知当C，B，O′共线时，点C到直线O′A′的距离最大，最大值为2+．

故答案为2+．

【点睛】

本题考查反比例函数的图象与性质，最短问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

三、解答题

8．在平面直角坐标系中，B(2，2)，以OB为一边作等边△OAB（点A在x轴正半轴上）．

（1）若点C是y轴上任意一点，连接AC，在直线AC上方以AC为一边作等边△ACD．

①如图1，当点D落在第二象限时，连接BD，求证：AB⊥BD；

②若△ABD是等腰三角形，求点C的坐标；

（2）如图2，若FB是OA边上的中线，点M是FB一动点，点N是OB一动点，且OM+NM的值最小，请在图2中画出点M、N的位置，并求出OM+NM的最小值．

【答案】（1）①见解析；②点C的坐标为(0，﹣4)或(0，4)；（2）2

【解析】

【分析】

（1）①证明△ABD≌△AOC（SAS），得出∠ABD＝∠AOC＝90°即可；

②存在两种情况：当点D落在第二象限时，作BM⊥OA于M，由等边三角形的性质得出AO＝2OM＝4，同①得△ABD≌△AOC（SAS），得出BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，若△ABD是等腰三角形，则BD＝AB，得出OC＝AB＝OA＝4，则C（0，﹣4）；

当点D落在第一象限时，作BM⊥OA于M，由等边三角形的性质得出AO＝2OM＝4，同①得△ABD≌△AOC（SAS），得出BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，若△ABD是等腰三角形，则BD＝AB，得出OC＝AB＝OA＝4，则C（0，4）；

（2）作ON'⊥AB于N'，作MN⊥OB于N，此时OM+MN的值最小，由等边三角形的性质和勾股定理求出ON＝2即可．

【详解】

解：（1）①证明：∵△OAB和△ACD是等边三角形，

∴BO＝AO＝AB，AC＝AD，∠OAB＝∠CAD＝60°，

∴∠BAD＝∠OAC，

在△ABD和△AOC中，，

∴△ABD≌△AOC（SAS），

∴∠ABD＝∠AOC＝90°，

∴AB⊥BD；

②解：存在两种情况：

当点D落在第二象限时，如图1所示：

作BM⊥OA于M，

∵B（2，2），

∴OM＝2，BM＝2，

∵△OAB是等边三角形，

∴AO＝2OM＝4，

同①得：△ABD≌△AOC（SAS），

∴BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，

若△ABD是等腰三角形，则BD＝AB，

∴OC＝AB＝OA＝4，

∴C（0，﹣4）；

当点D落在第一象限时，如图1﹣1所示：

作BM⊥OA于M，

∵B（2，2），

∴OM＝2，BM＝2，

∵△OAB是等边三角形，

∴AO＝2OM＝4，

同①得：△ABD≌△AOC（SAS），

∴BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，

若△ABD是等腰三角形，则BD＝AB，

∴OC＝AB＝OA＝4，

∴C（0，4）；

综上所述，若△ABD是等腰三角形，点C的坐标为（0，﹣4）或（0，4）；

（2）解：作ON'⊥AB于N'，作MN⊥OB于N，如图2所示：

∵△OAB是等边三角形，ON'⊥AB，FB是OA边上的中线，

∴AN'＝AB＝2，BF⊥OA，BF平分∠ABO，

∵ON'⊥AB，MN⊥OB，

∴MN＝MN'，

∴N'和N关于BF对称，此时OM+MN的值最小，

∴OM+MN＝OM+MN'＝ON，

∵ON＝＝＝2，

∴OM+MN＝2；

即OM+NM的最小值为2．

【点睛】

本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及最小值问题；本题综合性强，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．

9．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD、OD相交于点E、F．

（1）求证：点D为的中点；

（2）若CB＝6，AB＝10，求DF的长；

（3）若⊙O的半径为5，∠DOA＝80°，点P是线段AB上任意一点，试求出PC+PD的最小值．

【答案】（1）见解析；（2）DF=2；（3）5

【解析】

【分析】

（1）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明OF⊥AC，然后根据垂径定理得到点D为的中点；

（2）证明OF为△ACB的中位线得到OF＝BC＝3，然后计算OD﹣OF即可；

（3）作C点关于AB的对称点C′，C′D交AB于P，连接OC，如图，利用两点之间线段最短得到此时PC+PD的值最小，再计算出∠DOC′＝120°，作OH⊥DC′于H，如图，然后根据等腰三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系求出DH，从而得到PC+PD的最小值．

【详解】

（1）∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∵OD∥BC，

∴∠OFA＝90°，

∴OF⊥AC，

∴＝，

即点D为的中点；

（2）解：∵OF⊥AC，

∴AF＝CF，

而OA＝OB，

∴OF为△ACB的中位线，

∴OF＝BC＝3，

∴DF＝OD﹣OF＝5﹣3＝2；

（3）解：作C点关于AB的对称点C′，C′D交AB于P，连接OC，如图，

∵PC＝PC′，

∴PD+PC＝PD+PC′＝DC′，

∴此时PC+PD的值最小，

∵＝，

∴∠COD＝∠AOD＝80°，

∴∠BOC＝20°，

∵点C和点C′关于AB对称，

∴∠C′OB＝20°，

∴∠DOC′＝120°，

作OH⊥DC′于H，如图，

则∠ODH＝30°，

则C′H＝DH，

在Rt△OHD中，OH＝OD＝，

∴DH＝OH＝，

∴DC′＝2DH＝5，

∴PC+PD的最小值为5．

【点睛】

本题考查圆的综合问题，熟练掌握圆周角定理和垂径定理，以及最短路径的解法是解题的关键．

10．如图，半径为1的与轴交于两点，圆心的坐标为，二次函数的图象经过两点，与轴交于点，顶点为，直线与轴交于点.

(1)求二次函数的解析式.

(2)经过坐标原点的直线与相切，求直线的解析式.

(3)试问在轴上是否存在点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)；(2)或；(3)存在，.

【解析】

【分析】

（1）将点A，B的坐标代入函数表达式，解出b，c的值即可；

（2）设直线与相切于点，求出OE的长，过点作轴于点，可得比例式，可求出EH的长度，从而求出OH，即点E坐标，可得l的解析式，再根据两条直线关于x轴对称可得另一条直线的表达式；

（3）利用轴对称的应用，当△PMD的周长取最小值时，求出M点的坐标，设直线的

解析式为，根据点B的坐标求出BM解析式，得到点D坐标，可知点D与点C坐标关于x轴对称，连接，设直线的解析式为，将C，M的坐标代入，则CM与x轴交点即为点P的坐标.

【详解】

解：(1)由题意可知，

二次函数的图象经过两点，

，

解得，

二次函数的解析式

(2)如图，设直线与相切于点，

过点作轴于点

，

，

，

的解析式为，

根据对称性，满足条件的另一条直线的解析式为，

所求直线的解析式为：或.

(3)存在

理由：为二次函数的顶点，

，

，

设直线的解析式为，

点坐标为，

，

解得，

直线的解析式为，

直线与轴交于点，

点坐标为，

点与关于轴对称，

连接，设直线的解析式为，

把代入得，

，

解得，

，

直线与轴的交点为，

.

【点睛】

本题属于二次函数综合题，涉及到待定系数法求一次函数、二次函数表达式，切线的性质，相似三角形的判定和性质，利用轴对称求线段的最大值，综合性较强，解题时要理解题意，根据题意适当添加辅助线求坐标，将三角形周长转化为线段最值.