浙江省宁波市2019年中考数学试题-含答案解析

绝密★启用前
浙江宁波2019中考试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分




注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题)
请点击修改第I卷的文字说明

评卷人
得分



一、单选题
1．﹣2的绝对值是
A．2 B． C． D．
【答案】A
【解析】
分析：根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，在数轴上，点﹣2到原点的距离是2，所以﹣2的绝对值是2，故选A．
2．下列计算正确的是（   ）
A． B．  C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则以及同底数幂除法法则解答即可．
【详解】
A、∵和不是同类项，∴不能加减，故此答案错误，不符合题意；
B、∵，∴此答案错误，不符合题意；
C、∵，∴此答案错误，不符合题意；
D、∵，∴此答案正确，符合题意。
故选D
【点睛】
本题主要考查了幂的运算性质以及合并同类项的法则，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
3．宁波是世界银行在亚洲地区选择的第一个开展垃圾分类试点项目的城市，项目总投资1526000000元人民币数1526000000用科学记数法表示为（ ）
A． B．  C．  D．
【答案】C
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】
数字1526000000科学记数法可表示为1.526×109元．
故选C．
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
分式有意义时，分母x-2≠0，由此求得x的取值范围．
【详解】
依题意得：x-2≠0，
解得x≠2．
故选B．
【点睛】
本题考查了分式有意义的条件．分式有意义的条件是分母不等于零．
5．如图，下列关于物体的主视图画法正确的是（   ）

A． B．  C．  D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据主视图是从正面看到的图形，进而得出答案．
【详解】
主视图是从正面看这个几何体得到的正投影，空心圆柱从正面看是一个长方形，加两条虚竖线，画法正确的是：．
故选C．
【点睛】
本题考查了三视图的知识，关键是找准主视图所看的方向．
6．不等式的解为（ ）
A．  B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
去分母、移项，合并同类项，系数化成1即可．
【详解】
，
3-x＞2x，
3＞3x，
x＜1，
故选A．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式，注意：解一元一次不等式的步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化成1．
7．能说明命题“关于的方程一定有实数根”是假命题的反例为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用m=5使方程x2-4x+m=0没有实数解，从而可把m=5作为说明命题“关于x的方程x2-4x+m=0一定有实数根”是假命题的反例．
【详解】
当m=5时，方程变形为x2-4x+m=5=0，
因为△=（-4）2-4×5＜0，
所以方程没有实数解，
所以m=5可作为说明命题“关于x的方程x2-4x+m=0一定有实数根”是假命题的反例．
故选D．
【点睛】
本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
8．去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差（单位：千克）如下表所示：

甲
乙
丙
丁

24
24
23
20

2.1
1.9
2
1.9

今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是（   ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【解析】
【分析】
先比较平均数得到甲组和乙组产量较好，然后比较方差得到乙组的状态稳定．
【详解】
因为甲组、乙组的平均数丙组比丁组大，
而乙组的方差比甲组的小，
所以乙组的产量比较稳定，
所以乙组的产量既高又稳定，
故选B．
【点睛】
本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数的意义．
9．已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中斜边与直线交于点.若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出∠AED=∠1+∠B=25°+45°=70°，再根据平行线的性质可知∠2=∠AED=70°．
【详解】
设直线与的交点为。
∵是的一个外角，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴.
故选C．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质，解题的关键是借助平行线和三角形内外角转化角．
10．如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则的长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设AB=xcm，则DE=（6-x）cm，根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列出方程，求解即可．
【详解】
设，则DE=（6-x）cm，
由题意，得，
解得.
故选B．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算，矩形的性质，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
11．小慧去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元；若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元.若只买8支玫瑰，则她所带的钱还剩下（ ）
A．31元 B．30元 C．25元 D．19元
【答案】A
【解析】
【分析】
设每支玫瑰x元，每支百合y元，根据总价=单价×数量结合小慧带的钱数不变，可得出关于x，y的二元一次方程，整理后可得出y=x+7，再将其代入5x+3y+10-8x中即可求出结论．
【详解】
设每支玫瑰x元，每支百合y元，
依题意，得：5x+3y+10=3x+5y-4，
∴y=x+7，
∴5x+3y+10-8x=5x+3（x+7）+10-8x=31．
故选A．
【点睛】
本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
12．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周醉算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）

A．直角三角形的面积
B．最大正方形的面积
C．较小两个正方形重叠部分的面积
D．最大正方形与直角三角形的面积和
【答案】C
【解析】
【分析】
根据勾股定理得到c2=a2+b2，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可．
【详解】
设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a，
由勾股定理得，c2=a2+b2，
阴影部分的面积=c2-b2-a（c-b）=a2-ac+ab=a（a+b-c），
较小两个正方形重叠部分的长=a-（c-b），宽=a，
则较小两个正方形重叠部分底面积=a（a+b-c），
∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积，
故选C．
【点睛】
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．

第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明

评卷人
得分



二、填空题
13．请写出一个小于4的无理数：________.
【答案】答案不唯一如，等
【解析】
【分析】
开放性的命题，答案不唯一，写出一个小于4的无理数即可.
【详解】
开放性的命题，答案不唯一，如等．
故答案为不唯一，如等．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．也考查了算术平方根．
14．分解因式：=_______．
【答案】。
【解析】
【分析】
将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式。
【详解】
直接提取公因式即可：。
15．袋中装有除颜色外其余均相同的5个红球和3个白球.从袋中任意摸出一个球，则摸出的球是红球的概率为________.
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用概率公式求解．
【详解】
从袋中任意摸出一个球，则摸出的球是红球的概率=．
故答案为．
【点睛】
本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
16．如图，某海防响所发现在它的西北方向，距离哨所400米的处有一般船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东方向的处，则此时这般船与哨所的距离约为________米。（精确到1米，参考数据：，）

【答案】566
【解析】
【分析】
通过解直角△OAC求得OC的长度，然后通过解直角△OBC求得OB的长度即可．
【详解】
设与正北方向线相交于点，
根据题意，所以，
在中，因为，
所以，
中，因为，
所以（米）。
故答案为：566.
【点睛】
考查了解直角三角形的应用-方向角的问题．此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
17．如图，中，，，点在边上，，.点是线段上一动点，当半径为6的圆与的一边相切时，的长为________.

【答案】或
【解析】
【分析】
根据勾股定理得到，，当⊙P于BC相切时，点P到BC的距离=6，过P作PH⊥BC于H，则PH=6，当⊙P于AB相切时，点P到AB的距离=6，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BD+CD=18，
∴，
在Rt△ADC中，∠C=90°，AC=12，CD=5，
∴，
当⊙P于BC相切时，点P到BC的距离=6，
过P作PH⊥BC于H，则PH=6，

∵∠C=90°，
∴AC⊥BC，
∴PH∥AC，
∴△DPH∽△DAC，
∴，
∴，
∴PD=6.5，
∴AP=6.5；
当⊙P于AB相切时，点P到AB的距离=6，
过P作PG⊥AB于G，
则PG=6，
∵AD=BD=13，
∴∠PAG=∠B，
∵∠AGP=∠C=90°，
∴△AGP∽△BCA，
∴，
∴，
∴AP=3，
∵CD=5＜6，
∴半径为6的⊙P不与△ABC的AC边相切，
综上所述，AP的长为6.5或3，
故答案为6.5或3．
【点睛】
本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练正确切线的性质是解题的关键．
18．如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，点在第一象限点在轴正半轴上，连结交反比例函数图象于点.为的平分线，过点作的垂线，垂足为，连结.若，的面积为8，则的值为________.

【答案】6
【解析】
【分析】
连接OE，CE，过点A作AF⊥x轴，过点D作DH⊥x轴，过点D作DG⊥AF；由AB经过原点，则A与B关于原点对称，再由BE⊥AE，AE为∠BAC的平分线，
可得AD∥OE，进而可得S△ACE=S△AOC；设点A（m，），由已知条件AC=3DC，DH∥AF，可得3DH=AF，则点D（3m，），证明△DHC∽△AGD，得到S△HDC=S△ADG，所以S△AOC=S△AOF+S梯形AFHD+S△HDC=k++=12；即可求解；
【详解】
连接OE，CE，过点A作AF⊥x轴，过点D作DH⊥x轴，过点D作DG⊥AF，

∵过原点的直线与反比例函数y=（k＞0）的图象交于A，B两点，
∴A与B关于原点对称，
∴O是AB的中点，
∵BE⊥AE，
∴OE=OA，
∴∠OAE=∠AEO，
∵AE为∠BAC的平分线，
∴∠DAE=∠AEO，
∴AD∥OE，
∴S△ACE=S△AOC，
∵AC=3DC，△ADE的面积为8，
∴S△ACE=S△AOC=12，
设点A（m，），
∵AC=3DC，DH∥AF，
∴3DH=AF，
∴D（3m，），
∵CH∥GD，AG∥DH，
∴△DHC∽△AGD，
∴S△HDC=S△ADG，
∵S△AOC=S△AOF+S梯形AFHD+S△HDC
=
=
=，
∴2k=12，
∴k=6；
故答案为6.
【点睛】
本题考查反比例函数k的意义；借助直角三角形和角平分线，将△ACE的面积转化为△AOC的面积是解题的关键．

评卷人
得分



三、解答题
19．先化简，再求值：
，其中.
【答案】
【解析】
【分析】
根据平方差公式、单项式乘多项式的法则把原式化简，代入计算即可．
【详解】
（x-2）（x+2）-x（x-1）
=x2-4-x2+x
=x-4，
当x=3时，原式=x-4=-1．
【点睛】
本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
20．图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有5个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取一个涂上阴影：

（1）使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形。
（2）使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形。
（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）
【答案】(1)答案见解析;(2)答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）直接利用轴对称图形的性质分析得出答案；
（2）直接利用中心对称图形的性质分析得出答案．
【详解】
（1）解：画出下列其中一种即可

（2）解：画出下列其中一种即可

【点睛】
此题主要考查了中心对称图形以及轴对称图形，正确把握相关定义是解题关键．
21．今年5月15日，亚洲文明对话大会在北京开幕.为了增进学生对亚洲文化的了解，某学校开展了相关知识的宣传教育活动。为了解这次宣传活动的效果，学校从全校1200名学生中随机抽取100名学生进行知识测试（测试满分100分，得分均为整数），并根据这100人的测试成绩，制作了如下统计图表。
100名学生知识测试成绩的频数表
成绩（分）
频数（人）

10

15



40

15


由图表中给出的信息回答下列问题：
（1）________，并补全额数直方图________；
（2）小明在这次测试中成绩为85分，你认为85分一定是这100名学生知识测试成绩的中位数吗？请简要说明理由；
（3）如果80分以上（包括80分）为优秀，请估计全校1200名学生中成绩优秀的人数.
【答案】（1）20；（2）不一定，理由见解析；（3）660
【解析】
【分析】
（1）由总人数为100可得m的值，从而补全图形；
（2）根据中位数的定义判断即可得；
（3）利用样本估计总体思想求解可得．
【详解】
（1）解：（1）（人），
补全图形如下：

（2）不一定是，
理由：将100名学生知识测试成绩从小到大排列，第50、51名的成绩都在分数段80≤a≤90中，但他们的平均数不一定是85分；
（3）估计全校1200名学生中成绩优秀的人数为1200×=660（人）．
【点睛】
本题考查条形统计图、用样本估计总体、统计量的选择，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
22．如图，已知二次函数的图象经过点.

（1）求的值和图象的顶点坐标。
（2）点在该二次函数图象上.
①当时，求的值；
②若到轴的距离小于2，请根据图象直接写出的取值范围.
【答案】（1）；（2）① 11；②.
【解析】
【分析】
（1）把点P（-2，3）代入y=x2+ax+3中，即可求出a；
（2）①把m=2代入解析式即可求n的值；
②由点Q到y轴的距离小于2，可得-2＜m＜2，在此范围内求n即可.
【详解】
（1）解：把代入，得，
解得.
∵，
∴顶点坐标为.
（2）①当m=2时，n=11，
②点Q到y轴的距离小于2，
∴|m|＜2，
∴-2＜m＜2，
∴2≤n＜11.
【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征是解题的关键．
23．如图，矩形的顶点，分别在菱形的边，上，顶点、在菱形的对角线上.

（1）求证：；
（2）若为中点，，求菱形的周长。
【答案】（1）证明见解析；（2）8.
【解析】
【分析】
（1）根据矩形的性质得到EH=FG，EH∥FG，得到∠GFH=∠EHF，求得∠BFG=∠DHE，根据菱形的性质得到AD∥BC，得到∠GBF=∠EDH，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）连接EG，根据菱形的性质得到AD=BC，AD∥BC，求得AE=BG，AE∥BG，得到四边形ABGE是平行四边形，得到AB=EG，于是得到结论．
【详解】
（1）∵四边形EFGH是矩形，
∴EH=FG，EH∥FG，
∴∠GFH=∠EHF，
∵∠BFG=180°-∠GFH，∠DHE=180°-∠EHF，
∴∠BFG=∠DHE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠GBF=∠EDH，
∴△BGF≌△DEH（AAS），
∴BG=DE；
（2）连接EG，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵E为AD中点，
∴AE=ED，
∵BG=DE，
∴AE=BG，AE∥BG，
∴四边形ABGE是平行四边形，
∴AB=EG，
∵EG=FH=2，
∴AB=2，
∴菱形ABCD的周长=8．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别作图是解题的关键．
24．某风景区内的公路如图1所示，景区内有免费的班车，从入口处出发，沿该公路开往草甸，途中停靠塔林（上下车时间忽略不计）.第一班车上午8点发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车.小聪周末到该风景区游玩，上午7:40到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从景区入口处出发，沿该公路步行25分钟后到达塔林．离入口处的路程（米）与时间（分)的函数关系如图2所示.

（1）求第一班车离入口处的路程（米）与时间（分）的函数表达式.
（2）求第一班车从人口处到达塔林所蓄的时间.
（3）小聪在塔林游玩40分钟后，想坐班车到草甸，则小聘聪最早能够坐上第几班车？如果他坐这班车到草甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟？（假设每一班车速度均相同，小聪步行速度不变）
【答案】（1）.；（2）10分钟；（3）第5班车，7分钟.
【解析】
【分析】
（1）设y=kx+b，运用待定系数法求解即可；
（2）把y=1500代入（1）的结论即可；
（3）设小聪坐上了第n班车，30-25+10（n-1）≥40，解得n≥4.5，可得小聪坐上了第5班车，再根据“路程、速度与时间的关系”解答即可．
【详解】
（1）解：由题意得，可设函数表达式为：.
把，代入，得，
解得.
∴第一班车离入口处的路程（米）与时间（分）的函数表达式为.
（2）解：把代入，解得，
（分）．
∴第一班车到塔林所需时间10分钟.
（3）解：设小聪坐上第班车.
，解得，
∴小聪最早坐上第5班车.
等班车时间为5分钟，
坐班车所需时间：（分），
∴步行所需时间：（分），
（分）．
∴小聪坐班车去草甸比他游玩结束后立即步行到达草甸提早7分钟
【点睛】
本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求出函数解析式是解答本题的关键．
25．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线.

（1）如图1，在ΔABC中，AB=AC，AD是ΔABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点.求证：四边形ABEF是邻余四边形.
（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上.
（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N.若N为AC的中点，DE=2BE，QB=3，求邻余线AB的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）画图见解析；（3）10.
【解析】
【分析】
（1）AB=AC，AD是△ABC的角平分线，又AD⊥BC，则∠ADB=90°，则∠FBA与∠EBA互余，即可求解；
（2）如图所示（答案不唯一），四边形AFEB为所求；
（3）证明△DBQ∽△ECN，即可求解．
【详解】
（1）解：∵AB=AC，AD是ΔABC的角平分线，
∴AD⊥BC.
∴∠ADB=900.
∴∠DAB+∠DBA=90°.
∴∠FAB与∠EBA互余.
∴四边形ABEF是邻余四边形.
（2）解：如图所示（答案不唯一）

（3）解：∵AB=AC，AD是ΔABC的角平分线，
∴BD=CD.
∵DE=2BE,
∴BD=CD=3BE.
∴CE=CD+DE=5BE.
∵∠EDF=90°,M为EF中点，
∴DM=ME.
∴∠MDE=∠MED.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∴ΔDBQ∼ΔECN.
∵QBNC=BDCE=35.
∵QB=3,∴NC=5.
∵AN=CN,
∴AC=2CN=10.
∴AB=AC=10.
【点睛】
本题为四边形综合题，涉及到直角三角形中线定理、三角形相似等知识点，这种新定义类题目，通常按照题设顺序逐次求解，较为容易．
26．如图1，经过等边的顶点，（圆心在内），分别与，的延长线交于点，，连结，交于点.

（1）求证：.
（2）当，时，求的长。
（3）设，.
①求关于的函数表达式；
②如图2，连结，，若的面积是面积的10倍，求的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）①； ②或.
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质和圆周角定理解答即可；
（2）过点A作AG⊥BC于点G，根据等边三角形的性质和勾股定理解得即可；
（3）①过点E作EH⊥AD于点H，根据三角函数和函数解析式解得即可；
②过点O作OM⊥BC于点M，根据相似三角形的判定和性质解答即可．
【详解】
（1）证明：∵为等边三角形，
∴.
∵，，
∴.
∴.
（2）解：如图，过点作于点.

∵为等边三角形，，
∴.
∴在中，.
∵，
∴.
∴.
∵，
∴.
∴.
∴在中，.
（3）解：①如图，过点作于点.

∵，
∴在中，.
∴，，
∴，
∵.
∴.
∴.
∴在中，.
.
②如图，过点作于点.

设.
∵，
∴.
∴.
∴.
∴.
∵，
∴.
∴.
∵.
∴，
∴的面积，
∴的面积.
∵的面积是的面积10倍，
∴，
∴.
解得，.
∴或.
【点睛】
此题是圆的综合题，关键是根据等边三角形的性质、勾股定理和相似三角形的判定和性质解答．