人教版八年级上册12.1 全等三角形精品随堂练习题

这是一份人教版八年级上册12.1 全等三角形精品随堂练习题，共13页。



题型一：等腰直角三角形模型


腰直角三角形数学模型思路：


⑴利用特殊边特殊角证题（AC=BC或）.如图1；


⑵常见辅助线为作高，利用三线合一的性质解决问题.如图2；


⑶补全为正方形.如图3，4.




















图1 图2

















图3 图4





典题精练


已知：如图所示，Rt△ABC中，AB=AC，，O为BC的中点，


⑴写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C 的距离的关系（不要


求证明）


⑵如果点M、N分别在线段AC、AB上移动，且在移动中保持


AN=CM.试判断△OMN的形状，并证明你的结论.


⑶如果点M、N分别在线段CA、AB的延长线上移动，且在移动中保持AN=CM，试判断⑵中结论是否依然成立，如果是请给出证明．


⑴OA=OB=OC


⑵连接OA,


∵OA=OC AN=CM


∴△ANO≌△CMO


∴ON=OM


∴


∴


∴


∴△OMN是等腰直角三角形


⑶△ONM依然为等腰直角三角形，


证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，O为BC中点


∴∠BAO=∠OAC=∠ABC=∠ACB=45°，


∴AO=BO=OC，





∵在△ANO和△CMO中，





∴△ANO≌△CMO（SAS）


∴ON=OM，∠AON=∠COM，


又∵∠COM∠AOM=90°，


∴△OMN为等腰直角三角形．





两个全等的含，角的三角板和三角板，如


图所示放置，三点在一条直线上，连接，取的


中点，连接，．试判断的形状，并说明理由．

















【解析】是等腰直角三角形．


证明：连接．由题意，得





∴为等腰直角三角形.


∵，


∴．


∴，


∴≌．


∴．


又．


∴，


∴是等腰直角三角形．








已知：如图，中，，，是的中


点，于，交于，连接．


求证：．











证法一：如图，过点作于，交于．


∵，，


∴．


∵，∴．


∵，∴


∵，∴．


∴．


在和中，





∴．∴．


在和中，





∴．


∴．





证法二：如图，作交的延长线于．


∵，∴，


∵，


∴，


∴．


在和中，





∴．


∴，


∵，∴．


在和中，





∴．∴


∴．





如图，等腰直角中，，为内部一点，满足


，求证：．












































补全正方形，连接DP，


易证是等边三角形，，，


∴，，∴，


∴．





【探究对象】等腰直角三角形添补成正方形的几种常见题型


在解有关等腰直角三角形中的一些问题，若遇到不易解决或解法比较复杂时，可将等腰直角三角形引辅助线转化成正方形，再利用正方形的一些性质来解，常常可以起到化难为易的效果，从而顺利地求解。例4为求角度的应用，其他应用探究如下：





【探究一】证角等


【备选1】如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，M为AC中点，连结BM，作AD⊥BM交BC于点D，连结DM，求证:∠AMB=∠CMD．





作等腰Rt△ABC关于BC对称的等腰Rt△BFC，延长AD交CF于点N，


∵AN⊥BM，由正方形的性质，可得AN=BM，


易证Rt△ABM ≌Rt△CAN，∴∠AMB=∠CND，CN=AM，


∵M为AC中点，∴CM=CN，


∵∠1=∠2，可证得△CMD≌△CND，


∴∠CND=∠CMD，


∴∠AMB=∠CMD．





【探究二】判定三角形形状


【备选2】如图，Rt△ABC中，∠BAC= 90°，AB=AC，AD=CE，AN⊥BD于点M，延长BD交NE的延长线于点F，试判定△DEF的形状．








作等腰Rt△ABC关于BC对称的等腰Rt△BHC，


可知四边形ABHC为正方形，延长AN交HC于点K，


∵AK⊥BD，可知AK=BD，易证:Rt△ABD≌Rt△CAK，


∴∠ADB=∠CKN，CK=AD，


∵AD=EC，∴CK=CE，


易证△CKN≌△CEN，∴∠CKN=∠CEN，


易证∠EDF=∠DEF，∴△DEF为等腰三角形．





【探究三】利用等积变形求面积


【备选3】如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC上一点，DE∥AC，DF∥AB，且BE=4，CF=3，求S矩形DFAE．





作等腰Rt△ABC关于BC的对称的等腰Rt△GCB，


可知四边形ABGC为正方形，分别延长FD、ED交BG、CG于点N、M，


可知DN=EB=4，DM=FC=3，


由正方形对称性质，


可知S矩形DFAE=S矩形DMGN=DM·DN=34=12．





【探究四】求线段长


【备选4】如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，∠BAC=45°，BD=3，CD=2，求AD的长．





【分析】此题若用面积公式结合勾股定理再列方程组求解是可以的，但解法太繁琐，本题尽管已知条件不是等腰直角三角形，但∵∠BAC=45°，若分别以AB、AC为对称轴作Rt△ADB的对称直角三角形和Rt△ADC的对称直角三角形，这样就出现两边相等且夹角为90°的图形，满足等腰直角三角形的条件，然后再引辅助线使之转化为正方形．


以AB为轴作Rt△ADB的对称的Rt△AEB，再以AC为轴作Rt△ADC的对称的Rt△AFC．


可知BE=BD=3，FC=CD=2，


延长EB、FC交点G，∵∠BAC=45°，


由对称性，可得∠EAF=90°，且AE=AD=AF，


易证四边形AFGE为正方形，且边长等于AD，


设AD=x，则BG=x－3，CG=x－2，


在Rt△BCG中，由勾股定理，得，


解得x=6，即AD=6．





【探究五】求最小值


【备选5】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，M为AC的中点，P为斜边AB上的动点，求PM+PC的最小值．





将原图形通过引辅助线化归为正方形，即作Rt△ACB关于AB对称的Rt△ADB，可知四边形ACBD为正方形，连接CD，可知点C关于AB的对称点D，连接MD交AB于点P，连接CP，则PM+PC的值为最小，最小值为:PM+PC=DM=．








题型二：三垂直模型





常见三垂直模型








已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB=CD，BC=DE，⑴求证：AC⊥CE；


⑵若将△CDE沿CB方向平移得到①②③④等不同情形，，


其余条件不变，试判断AC⊥C1E这一结论是否成立？若成立，给予证


明；若不成立，请说明理由.

















① ② ③ ④


⑴∵AB⊥BD，ED⊥BD


∴


在与中





∴（SAS）


∴


∵


∴,即AC⊥CE


⑵ 图①②③④四种情形中，结论永远成立，证明方法与⑴完全类似，只要证明


∴


∵ ∴


∴AC⊥C1E





正方形中，点、的坐标分别为，，点在第一象限．求正方形边长及顶点的坐标．（计算应用：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.）


























过点C作CG⊥x轴于G，过B作BE⊥y轴于E，并反向延长交CG于F


点、的坐标分别为，


∴BE=8， AE=6，∴AB=10


∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC


∵


∴


∵


∴△AEB≌△BFC


∴CF=BE=8，BF=AE=6


∴CG=12 EF=14


∴C(14，12)，正方形的边长为10


此题中三垂直模型：





如图所示，在直角梯形中，，，，是的中点，．


⑴ 求证：；


⑵ 求证：是线段的垂直平分线；


⑶ 是等腰三角形吗？请说明理由．





【解析】 = 1 \* GB2 ⑴∵，，


∴，∴，


∵，，


∴，∴．


= 2 \* GB2 ⑵∵是中点，∴


由⑴得：，∴


∵，∴，


∵，∴


由等腰三角形的性质，得：


即是线段的垂直平分线．


= 3 \* GB2 ⑶是等腰三角形，


由⑵得：，由⑴得：


∴，∴是等腰三角形．














⑴如图1，△ABC是等边三角形，D、E分别是AB、BC上的点，且BD=CE，连接AE、CD相交于点P．请你补全图形，并直接写出∠APD的度数= ；


⑵如图2，Rt△ABC中，∠B=90°，M、N分别是AB、BC上的点，且AM=BC、BM=CN，连接AN、CM相交于点P．请你猜想∠APM= °，并写出你的推理过程．


（2013平谷一模）


























⑴图略，60°


⑵45°


证明：作AE⊥AB且.


可证≌


∴，


∵∴


∴


∴ 是等腰直角三角形,


又△AEC ≌△CAN（SAS）


∴


∴ EC∥AN.


∴





思维拓展





已知：如图，中，AC=BC，，是上一点，AE⊥BD的延长线于E，并且，求证：BD平分.























延长AE交BC的延长线于F


∵BE⊥AF ，


∴


∴ 在△AFC和△BDC中，





∴△AFC△BDC（ASA）


∴AF=BD


又∵


∴


∴BE是AF的中垂线∴BA=BF


∴BD平分





已知，在正方形ABCD中，E在BD上，DG⊥CE于G，DG交AC于F.求证：OE=OF





∵ABCD是正方形


∴OD=OC


∵DG⊥CE ∴


∴ ∵


∴


∴ 在△DOF和△COE中，





∴△DOF≌△COE（ASA）


∴OE=OF





已知：如图，中，，，是的中点，于．求证：


∵，，是的中点


∴AD=BD=CD， AD⊥BC


∴


∵


∴


∴


∴在△BDH和△ADF中，





∴△BDH≌△ADF（ASA）


∴DH=DF





如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．


在Rt△AEF和Rt△DEC中， ∵EF⊥CE， ∴∠FEC=90°，


∴∠AEF+∠DEC=90°，而∠ECD+∠DEC=90°，


∴∠AEF=∠ECD．


又∠FAE=∠EDC=90°．EF=EC


∴Rt△AEF≌Rt△DCE．


∴AE=CD．


∴AD=AE+4．


∵矩形ABCD的周长为32 cm，


∴2（AE+AE+4）=32．


解得AE=6 cm．











题型一 等腰直角三角形模型 巩固练习


如图，△ACB、△ECD均为等腰直角三角形，则图中与△BDC全等的三角形为_________.


△AEC





如图，已知中，，是的中点，，垂足为．，交的延长线于点．求证：．





∵，，


∴，


．


∵，


∴，


∴．


又∵，


∴．


∴．


∵是的中点，


∴，


即．





题型二 三垂直模型 巩固练习





已知：如图，四边形ABCD是矩形（AD＞AB），点E在BC上，且AE =AD，DF⊥AE，垂足为F．请探求DF与AB有何数量关系？写出你所得到的结论并给予证明．


F


A


D


C


E


B





经探求，结论是：DF = AB．


证明如下：


∵四边形ABCD是矩形，


∴ ∠B = ， AD∥BC，


∴ ∠DAF = ∠AEB．


∵ DF⊥AE， ∴ ∠AFD = ，


∵ AE = AD ，


∴．


∴ AB = DF．





如图，中，，，是上任意一点，


交延长线于，于．求证：











根据条件，、都与互余，


∴．


在和中，


，，


∴．


则，，


∴．





四边形ABCD是正方形．


⑴如图1，点G是BC边上任意一点(不与B、C两点重合)，连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E．求证：△ABF ≌△DAE；


⑵在⑴中，线段EF与AF、BF的等量关系是 (直接写出结论即可，不需要证明)；


⑶如图2，点G是CD边上任意一点(不与C、D两点重合)，连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E．那么图中全等三角形是 ，线段EF与AF、BF的等量关系是 (直接写出结论即可，不需要证明)．




















⑴在正方形ABCD中，AB=AD，


∴





∴


在△ABF和△DAE中





∴（AAS）


⑵


⑶△ABF≌△DAE








课后测试





问题：已知中，，点是内的一点，且，．探究与度数的比值．


请你完成下列探究过程：


先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明．


当时，依问题中的条件补全右图．


观察图形，与的数量关系为________；


当推出时，可进一步推出的度数为_______；


可得到与度数的比值为_________．


（2010北京中考）





相等； ；














已知：如图，在△ABC中，于点D，点E在AC上，CE=BC，过E点作AC的垂线，交CD的延长线于点F. 求证：AB=FC.





∵于点，，


∴．


∴．


又∵于点，


∴．


∴．


在和中，





∴．


∴．





如图， Rt△ABC中，∠C=90°,，，一条线段PQ=AB，P，Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AM上运动. 当△ABC和△APQ全等时,点Q到点A的距离为___________ .


5cm或10cm.





无用蜡垢


切泽布罗是纽约的一名药剂师，1859年，他去宾州新发现的油田参观。在油田里，他发现工人们在清理油杆上的蜡垢，他们看上去对这些东西非常厌烦。





他于是请教工人们这些蜡垢有什么用处。工人们说，这种东西除了治疗“割伤”外，一无是处。切泽布罗听了，灵机一动。他于是收集了一些蜡垢带了回去。





后来，他从这些石油渣滓中提炼出一种油脂。为了检验它是否真的有医疗效果，他把自己作为第一个试验对象。他有一个手腕正好受了伤，当涂上药膏后，伤很快就好了。





1870年，他建立了世界上第一座制造这种油膏的工厂，并把这种油膏命名为“凡士林”。





知道事物应该是什么样，说明你是聪明的人；知道事物实际是什么样，说明你是有经验的人；知道怎样使事物变得更好，说明你是有才能的人。








今天我学到了