中考数学专项练习：13.三角形

三角形

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．（2019·江苏中考真题）下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是（    ）

A．2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，3cm C．3cm，4cm，5cm D．4cm，5cm，6cm

2．（2019·江苏中考真题）一副三角板如图摆放（直角顶点重合），边与交于点，，则等于（　　）

A． B． C． D．

3．（2011·河北中考真题）已知三角形三边长分别为2，x，13，若x为正整数，则这样的三角形个数为

A．2 B．3 C．5 D．13

4．（2019·四川中考真题）如图，在中，平分交于点，，，则的度数是(   )

A． B． C． D．

5．（2010·四川中考真题）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为

A．90° B．60° C．45° D．30°

6．（2018·贵州中考真题）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（ ）

A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD

7．（2013·贵州中考真题）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是

A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC

8．（2012·贵州中考真题）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（　　）

A．∠BCA=∠F；    B．∠B=∠E；    C．BC∥EF    ；    D．∠A=∠EDF

9．（2016·贵州中考真题）三角形的外心是三角形中　　

A．三条高的交点 B．三条中线的交点

C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点

10．（2015·福建中考真题）如图，AE∥DF，AE=DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（     ）

A．AB=CD B．EC=BF C．∠A=∠D D．AB=BC

11．（2014·广东中考真题）如图，△ABC和△DEF中，AB=DE、角∠B=∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF（ ）

A．AC∥DF B．∠A=∠D C．AC=DF D．∠ACB=∠F

12．（2015·山东中考真题）如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为点E,DE=1,则BC=　 (　　)

A． B．2 C．3 D．+2

13．（2019·湖南中考真题）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是(     )

A．20° B．30° C．45° D．60°

14．（2015·贵州中考真题）如图，已知D为△ABC边AB的中点，E在AC上，将△ABC沿着DE折叠，使A点落在BC上的F处．若∠B=65°，则∠BDF等于（ ）

A．65° B．50° C．60° D．57．5°

15．（2018·台湾中考真题）如图，五边形ABCDE中有一正三角形ACD，若AB=DE，BC=AE，∠E=115°，则∠BAE的度数为何？（　　）

A．115 B．120 C．125 D．130

二、填空题

16．（2019·湖南中考真题）如图，已知，请你添加一个条件，使得，你添加的条件是_____．（不添加任何字母和辅助线）

17．（2012·黑龙江中考真题）如图，已知AC=DB，要使△ABC≌△DCB，则需要补充的条件为     .

18．（2016·江苏中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是         ．

19．（2016·甘肃中考真题）三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程x2﹣13x+40=0的根，则该三角形的周长为       ．

20．（2014·四川中考真题）如图，△ABC中，∠A=60°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′处．如果∠A′EC=70°，那么∠A′DE的度数为　 　．

21．（2012·浙江中考真题）在直角△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD=4，则点D到斜边AB的距离为　 ▲ 　．

22．（2012·广东中考真题）如图，在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，△ABD绕点A旋转后得到△ACE，则CE的长度为　 ▲ 　．

23．（2012·甘肃中考真题）如图所示，已知点A、D、B、F在一条直线上，AC=EF，AD=FB，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是_______．（只需填一个即可）

24．（2016·山东中考真题）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B= ______

25．（2009·山东中考真题）已知边长为的正三角形，两顶点分别在平面直角坐标系的轴、轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连结OC，则OC的长的最大值是        ．

三、解答题

26．（2017·吉林中考真题）如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D．

27．（2019·山西中考真题）已知：如图，点B，D在线段AE上，AD=BE，AC∥EF，∠C=∠H.求证：BC=DH.

28．（2012·广东中考真题）如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC 与BD 交于O，AC=BD．

求证：（1）BC=AD；

（2）△OAB是等腰三角形．

参考答案

1．B

【解析】

【分析】

看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可．

【详解】

A．，能构成三角形，不合题意；

B．，不能构成三角形，符合题意；

C．，能构成三角形，不合题意；

D．，能构成三角形，不合题意．

故选：B．

【点睛】

此题考查了三角形三边关系，解题关键在于看较小的两个数的和能否大于第三个数．

2．A

【解析】

【分析】

由题意知图中是一个等腰直角三角形和一个含角的直角三角形，故，，由平行线的性质可知，由三角形内角和定理可求出的度数．

【详解】

解：由题意知，，

∵，

∴，

在中，

，

故选：A．

【点睛】

本题考查了特殊直角三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理等，解题关键是要搞清楚一副三角板是指一个等腰直角三角形和一个含角的直角三角形．

3．B

【解析】

【分析】

根据“三角形两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边”，可得x的取值范围，一一判断可得答案.

【详解】

解：根据“三角形两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边” 可得:13-2<x<13+2,即11<x<15,因为取正整数,故x的取值为12、13、14,即这样的三角形共有3个.

故本题正确答案为B.

【点睛】

本题主要考查构成三角形的三边的关系.

4．C

【解析】

【分析】

由，，利用外角的性质求出，再利用平分，求出，再利用三角形的内角和，即可求出的度数．

【详解】

∵，，

∴，

∵平分，

∴，

∴.

故选C．

【点睛】

本题考查了三角形的外角性质定理，角平分线的定义以及三角形的内角和定理，熟练掌握相关性质和定理是解题关键．

5．C

【解析】

试题分析：根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，进行判断即可．

试题解析：连接AC，如图：

根据勾股定理可以得到：AC=BC=，AB=．

∵（）2+（）2=（）2．

∴AC2+BC2=AB2．

∴△ABC是等腰直角三角形．

∴∠ABC=45°．

故选C．

考点：勾股定理．

6．D

【解析】

【详解】

试题分析：添加A可以利用ASA来进行全等判定；添加B可以利用SAS来进行判定；添加C选项可以得出AD=AE，然后利用SAS来进行全等判定.

考点：三角形全等的判定

7．B

【解析】

试题分析：∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF。∴AF=CE。

A．∵在△ADF和△CBE中，，∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误。

B．根据AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，错误，故本选项正确。

C．∵在△ADF和△CBE中，，∴△ADF≌△CBE（SAS），正确，故本选项错误。

D．∵AD∥BC，∴∠A=∠C。由A选项可知，△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误。

故选B。

8．B

【解析】

全等三角形的判定方法SAS是指有两边对应相等，且这两边的夹角相等的两三角形全等，已知AB=DE，BC=EF，其两边的夹角是∠B和∠E，只要求出∠B=∠E即可．

解：A、根据AB=DE，BC=EF和∠BCA=∠F不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；

B、∵在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，∴△ABC≌△DEF（SAS），故本选项正确；

C、∵BC∥EF，∴∠F=∠BCA，根据AB=DE，BC=EF和∠F=∠BCA不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；

D、根据AB=DE，BC=EF和∠A=∠EDF不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误．

故选B．

9．D

【解析】

【分析】

根据三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，解答即可．

【详解】

解：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，

故选D．

【点睛】

此题主要考查了三角形的外心，找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点是解题关键．

10．A

【解析】

试题解析：∵AE∥DF，
∴∠A=∠D，
∵AE=DF，
∴要使△EAC≌△FDB，还需要AC=BD，
∴当AB=CD时，可得AB+BC=BC+CD，即AC=BD，
故选A．

11．C

【解析】

试题分析：根据全等三角形的判定定理，即可得出：

∵AB=DE，∠B=∠DEF，

∴添加AC∥DF，得出∠ACB=∠F，即可证明△ABC≌△DEF，故A、D都正确；

添加∠A=∠D，根据ASA，可证明△ABC≌△DEF，故B都正确；

添加AC=DF时，没有SSA定理，不能证明△ABC≌△DEF，故C都不正确．

故选C．

考点：全等三角形的判定．

12．C

【解析】

试题分析：根据角平分线的性质可得CD=DE=1，根据Rt△ADE可得AD=2DE=2，根据题意可得△ADB为等腰三角形，则DE为AB的中垂线，则BD=AD=2，则BC=CD+BD=1+2=3．

考点：角平分线的性质和中垂线的性质．

13．B

【解析】

【分析】

根据内角和定理求得∠BAC=60°，由中垂线性质知DA=DB，即∠DAB=∠B=30°，从而得出答案．

【详解】

在△ABC中，∵∠B=30°，∠C=90°，

∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°，

由作图可知MN为AB的中垂线，

∴DA=DB，

∴∠DAB=∠B=30°，

∴∠CAD=∠BAC-∠DAB=30°，

故选B．

【点睛】

本题主要考查作图-基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键．

14．B

【解析】

试题分析：∵△DEF是△DEA沿直线DE翻折变换而来，∴AD=DF，∵D是AB边的中点，∴AD=BD，

∴BD=DF，∴∠B=∠BFD，∵∠B=65°，∴∠BDF=180°﹣∠B﹣∠BFD=180°﹣65°﹣65°=50°．

考点：翻折变换（折叠问题）

15．C

【解析】

分析：根据全等三角形的判定和性质得出△ABC与△AED全等，进而得出∠B=∠E，利用多边形的内角和解答即可．

详解：∵三角形ACD为正三角形，

∴AC=AD，∠ACD=∠ADC=∠CAD=60°，

∵AB=DE，BC=AE，

∴△ABC≌△DEA，

∴∠B=∠E=115°，∠ACB=∠EAD，∠BAC=∠ADE，

∴∠ACB+∠BAC=∠BAC+∠DAE=180°﹣115°=65°，

∴∠BAE=∠BAC+∠DAE+∠CAD=65°+60°=125°，

故选C．

点睛：此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和性质得出△ABC与△AED全等．

16．或或.

【解析】

【分析】

根据图形可知证明已经具备了一个公共角和一对相等边，因此可以利用ASA、SAS、AAS证明两三角形全等．

【详解】

∵ ，，

∴可以添加 ，此时满足SAS；

添加条件 ，此时满足ASA；

添加条件，此时满足AAS，

故答案为：或或；

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定，是一道开放题，解题的关键是牢记全等三角形的判定方法．

17．AB=DC(答案不唯一)

【解析】

试题分析：本题中有公共边BC=CB，利用SSS来判定全等则只需要添加条件AB=DCA即可

考点：三角形全等的判定

18． ．

【解析】

如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小．

∵AC=6，CF=2，∴AF=AC-CF=4，∵∠A=60°，∠AMF=90°，∴∠AFM=30°，∴AM=AF=2，∴FM==2 ，∵FP=FC=2，∴PM=MF-PF=2-2，∴点P到边AB距离的最小值是2-2．

【点睛】本题考查了翻折变换，涉及到的知识点有直角三角形两锐角互余、勾股定理等，解题的关键是确定出点P的位置.

19．12．

【解析】

试题分析：解方程x2-13x+40=0，（x-5）（x-8）=0，∴x1=5，x2=8，∵3+4=7＜8，∴x=5.∴周长为3+4+5=12.

故答案为12.

考点：1一元二次方程；2三角形.

20．65°．

【解析】

试题分析：：∵∠AEA′=180°﹣∠A′EC=180°﹣70°=110°，

又∵∠A′ED=∠AED=∠AEA′=55°，∠DA′E=∠A=60°，

∴∠A′DE=180°﹣∠A′ED﹣∠DA′E=180°﹣55°﹣60°=65°．

故答案是65°．

考点：翻折变换（折叠问题）．

21．4

【解析】

作DE⊥AB，则DE即为所求，

∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，

∴CD=DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）。

∵CD=4，∴DE=4。

22．2

【解析】

等边三角形的性质，旋转的性质．

由在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，根据等边三角形三边相等的性质，即可求得 BD=BC=AB =2．由旋转的性质，即可求得CE=BD=2．

23．∠A=∠F（答案不唯一）

【解析】

【详解】

要判定△ABC≌△FDE，已知AC=FE，AD=BF，则AB=CF，具备了两组边对应相等，故添加夹角∠A=∠F，利用SAS可证全等；或添加AC∥EF得夹角∠A=∠F，利用SAS可证全等；或添加BC=DE，利用SSS可证全等．

24．

【解析】

如图,连接BB′，

∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′，

∴AB=AB′,∠BAB′=60°，

∴△ABB′是等边三角形，

∴AB=BB′，

在△ABC′和△B′BC′中，

，

∴△ABC′≌△B′BC′(SSS)，

∴∠ABC′=∠B′BC′，

延长BC′交AB′于D，

则BD⊥AB′，

∵∠C=90∘,AC=BC=，

∴AB==2，

∴BD=2×=，

C′D=×2=1，

∴BC′=BD−C′D=−1.

故答案为：−1.

点睛: 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点．

25．

【解析】

【详解】

解：如图，取AB的中点D，连接OD、CD，

∵正三角形ABC的边长为a，

，

在△ODC中，OD+CD＞OC，

∴当O、D、C三点共线时OC最长，

最大值为.

26．答案见解析

【解析】

【分析】

由BE＝CF可得BF＝CE，再结合AB＝DC，∠B＝∠C可证得△ABF≌△DCE，问题得证.

【详解】

解∵BE＝CF，

∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE．

在△ABF和△DCE中，

∴△ABF≌△DCE，

∴∠A＝∠D．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握全等三角形的判定和性质.

27．证明见解析.

【解析】

【分析】

利用AAS证明△ABC≌△EDH，再根据全等三角形的性质即可得.

【详解】

∵AD=BE，

∴AD-BD=BE-BD，

即AB=DE.

∵AC∥EH，

∴∠A=∠E，

在△ABC和△EDH中

，

∴△ABC≌△EDH(AAS)，

∴BC=DH.

【点睛】

本题考查了全等三角形的送定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.

28．证明：（1）见解析

（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）根据AC⊥BC，BD⊥AD，得出△ABC与△BAD是直角三角形，再由AC=BD，AB=BA，根据HL得出△ABC≌△BAD，即可证出BC=AD．

（2）根据△ABC≌△BAD，得出∠CAB=∠DBA，从而证出OA=OB，△OAB是等腰三角形．

【详解】

证明：（1）∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴△ABC与△BAD是直角三角形，

在△ABC和△BAD中，∵ AC="BD" ，AB=BA，∠ACB=∠BDA =90°，

∴△ABC≌△BAD（HL）．∴BC=AD．

（2）∵△ABC≌△BAD，∴∠CAB=∠DBA，∴OA=OB．

∴△OAB是等腰三角形．