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人教版九年级上册22.1 二次函数的图象和性质综合与测试一课一练
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这是一份人教版九年级上册22.1 二次函数的图象和性质综合与测试一课一练，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
章末检测
(时间：90分钟 满分：120分)
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）模型的是
A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系
B．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系
C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）
D．圆的周长与圆的半径之间的关系
2．抛物线y=–x2+4x–4与坐标轴的交点个数为
A．0B．1C．2D．3
3．下列函数中，y总随x的增大而减小的是
A．y=4xB．y=–4xC．y=x–4D．y=x2
4．将抛物线y=（x–1）2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到的解析式是
A．y=（x–1）2B．y=（x–2）2+6C．y=x2D．y=x2+6
5．已知抛物线，a是常数且，下列选项中可能是它大致图象的是
A．B．
C．D．
6．已知抛物线y=ax2+bx+c开口向下，顶点坐标（3，-5），那么该抛物线有
A．最小值-5B．最大值-5C．最小值3D．最大值3
7．二次函数的图象如图所示，则下列结论成立的是
A．a>0，bc>0，Δ<0B．a<0，bc>0，Δ<0
C．a>0，bc<0，Δ<0D．a<0，bc<0，Δ>0
8．已知二次函数，当自变量x取m时对应的值大于0，当自变量x分别取、时对应的函数值为、，则、必须满足
A．、B．、
C．、D．、
9．用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象时，列了如下表格：
根据表格上的信息回答问题：一元二次方程ax2+bx+c–5=0的解为
A．x1=–2，x2=4B．x1=–1，x2=3C．x1=3，x2=4D．x1=–4，x2=4
10．如图，在坐标平面上，二次函数y=–x2+4x–k的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其顶点为D，且k>0．若△ABC与△ABD的面积比为1：3，则k值为
A．1B．C．D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
11．把二次函数y=2x2–8x+9，化成y=a（x–h）2+k的形式是：__________．
12．二次函数y=（x+2）2+3的顶点坐标是__________．
13．已知二次函数的图象开口向下，则m的取值范围是__________．
14．如果二次函数（m为常数）的图象有最高点，那么m的值为__________．
15．把抛物线y=2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后抛物线的表达式是__________．
16．已知抛物线y=ax2+bx+c（a>0）的对称轴为直线x=1，且经过点（-1，y1），（-2，y2），试比较y1和y2的大小：y1__________y2（填“>”，“<”或“=”）．
17．已知关于x的二次函数y=ax2-4ax+a2+2a-3在-1≤x≤3的范围内有最小值5，则a的值为__________．
18．如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a（x+m）2+n的顶点在线段AB上，与x轴交于C，D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为-3，则点D的横坐标的最大值为__________．
19．直线y=ax+m和直线y=bx+n在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为__________．
20．如图，抛物线y=–2x2–8x–6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向左平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y=–x+m与C1，C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是__________．
三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（6分）已知函数y=（m2-4）x2+（m2-3m+2）x-m-1．
（1）当m为何值时，y是x的二次函数？
（2）当m为何值时，y是x的一次函数？
22．（6分）关于二次函数y=mx2+（2m+4）x+8（m为常数，且m≠0），
（1）证明：该函数与x轴一定有交点；
（2）若该函数经过点A（–1+，y1），B（–1，y2），请比较y1，y2的大小关系，并说明理由．
23．（8分）已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3）和B（4，3）．
（1）直接写出a，b之间的数量关系式：__________；
（2）若抛物线的顶点在x轴上，求a的值；
（3）若M（–1，0），N（3，0），且抛物线与线段MN只有一个公共点，求a的取值范围．
24．（8分）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=–x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m．
（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？
25．（8分）把抛物线平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（-6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线交于点Q．
（1）求顶点P的坐标；
（2）写出平移过程；
（3）求图中阴影部分的面积．
26．（10分）为发展“低碳经济”，某单位花12500元引进了一条环保型生产线生产新产品，在生产过程中，每件产品还需成本40元，物价部门规定该产品售价不得低于100元/件且不得高于150元/件，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）第一个月该单位是盈利还是亏损？求出当盈利最大或亏损最小时的产品售价；
（3）在（2）的前提下，即在第一个月盈利最大或亏损最小时，第二个月公司重新确定产品售价，能否使两个月共盈利达10800元？若能，求出第二个月的产品售价；若不能，请说明理由．
27．（10分）设二次函数y1，y2的图象的顶点分别为（a，b）、（c，d），当a=-c，b=2d，且开口方向相同时，则称y1是y2的“反倍顶二次函数”．
（1）请写出二次函数y=x2+x+1的一个“反倍顶二次函数”；
（2）已知关于x的二次函数y1=x2+nx和二次函数y2=nx2+x，函数y1+y2恰是y1-y2的“反倍顶二次函数”，求n．
28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=–x2+bx+c过A（3，0），B（0，2）两点．点N为第一象限内抛物线上一动点，点N的横坐标为m，过点N作NM⊥x轴于M，交直线AB于点P．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若PN=2PM，求此时点N的坐标；
（3）连接AN，设△ANB的面积为S．求S关于m的函数关系式．
1．【答案】C
【解析】A、v=，是反比例函数，错误；B、y=m（1+1%）x，不是二次函数，错误；C、S=-x2+cx，是二次函数，正确；D、C=2πr，是正比例函数，错误，故选C．
2．【答案】C
【解析】当x=0时，y=–x2+4x–4=–4，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，–4），
当y=0时，–x2+4x–4=0，解得x1=x2=2，抛物线与x轴的交点坐标为（2，0），
所以抛物线与坐标轴有2个交点．故选C．
【名师点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，分为两种情况：与x轴的交点，与y轴的交点．与x轴的交点可以转化为解关于x的一元二次方程；与y轴的交点取x=0时即可．
3．【答案】B
【解析】y=4x中y随x的增大而增大，故选项A不符题意，
y=–4x中y随x的增大而减小，故选项B符合题意，
y=x–4中y随x的增大而增大，故选项C不符题意，
y=x2中，当x>0时，y随x的增大而增大，当x<0时，y随x的增大而减小，故选项D不符合题意，
故选B．
【名师点睛】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、正比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数和二次函数的性质解答．
4．【答案】C
【解析】∵向左平移1个单位，再向下平移3个单位，∴y=（x–1+1）2+3–3．故得到的抛物线的函数关系式为：y=x2．故选C．
5．【答案】B
【解析】∵抛物线y=ax2+3x+（a-2），a是常数且a<0，∴图象开口向下，a-2<0，∴图象与y轴交于负半轴，∵a<0，b=3，∴抛物线对称轴在y轴右侧．故选B．
6．【答案】B
【解析】由抛物线的开口向下和其顶点坐标为（3，-5），根据抛物线的性质，可以知该抛物线有最大值-5．故选B．
7．【答案】D
【解析】∵抛物线开口向下，∴a<0，∵对称轴x=，∴b<0，抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c>0，∴bc<0，抛物线与x轴有两个交点，∴Δ>0．故选D．
8．【答案】B
【解析】令y=−x2+x−=0，解得x=，∵当自变量x取m时对应的值大于0，∴
∵点（m+1，0）与（m-1，0）之间的距离为2，大于二次函数与x轴两交点之间的距离，∴m-1的最大值在左边交点之左，m+1的最小值在右边交点之右．∴点（m+1，0）与（m-1，0）均在交点之外，∴y1<0，y2<0．故选B．
9．【答案】A
【解析】方法一：由题意可知点（0，–3），（1，–4），（2，–3）在二次函数y=ax2+bx+c的图象上，则，解得，所以一元二次方程ax2+bx+c–5=0可化为：x2–2x–3–5=0，解得x1=–2，x2=4，故选A．
方法二：因为二次函数的图象具有对称性，观察表格可知当x=0和x=2时对应的y值相等，所以二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，又由表格可知当x=4时y=5，所以当x=–2时y的值也为5，所以ax2+bx+c–5=0的解应该为x1=–2，x2=4，故选A．
10．【答案】A
【解析】二次函数y=–x2+4x–k顶点坐标为（2，4–k），C（0，–k），
∵△ABC与△ABD的面积比为1：3，∴＝，
∵k>0，∴＝，∴k=1；故选A．
【名师点睛】本题考查二次函数图象及性质，三角形的面积与坐标的关系；熟练掌握二次函数顶点和与坐标轴上点的求法，将三角形面积转化为点坐标的关系是解题的关键．
11．【答案】y=2（x–2）2+1
【解析】y=2x2–8x+9=2（x2–4x）+9=2（x–2）2+1．所以y=2（x–2）2+1．
故答案为：y=2（x–2）2+1．
【名师点睛】本题考查了二次函数的三种形式，利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
12．【答案】（–2，3）
【解析】二次函数y=（x+2）2+3的图象的顶点坐标是（–2，3）．故答案为：（–2，3）．
【名师点睛】本题考查了二次函数的性质，要熟悉顶点式的意义，并明确：y=a（x–h）2+k（a≠0）的顶点坐标为（h，k），注意符号问题．
13．【答案】m<2
【解析】由二次函数的图象的开口方向，知m-2<0，确定m的取值范围m<2．故答案为：m<2．
14．【答案】–2
【解析】∵二次函数y=mxm2−2（m为常数）的图象有最高点，则图象开口向下，
∴，解得m=–2，故答案为：–2．
【名师点睛】本题考查了二次函数的最值，解题的关键是根据二次函数的定义及开口方向确定m的值，难度不大．
15．【答案】y=2（x+1）2-2
【解析】将抛物线y=2x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得新抛物线的解析式为：y=
2（x+1）2-2．故答案为：y=2（x+1）2-2．
16．【答案】<
【解析】∵抛物线y=ax2+bx+c（a>0）的对称轴为直线x=1，且经过点（-1，y1），（-2，y2），∴点（-1，y1）直线x=1最近，点（-2，y2）离直线x=1最远，∵抛物线开口向上，∴y1
17．【答案】4或-8
【解析】根据函数解析式可得函数的对称轴为直线x=2；当a>0，则当x=2时函数的最小值为5，即，解得：a=4或a=-2（舍去）；当a<0时，则当x=-1时函数的最小为5，即，解得：a=-8或x=1（舍去）．综上所述a=4或a=-8．故答案为：4或-8．
18．【答案】8
【解析】当点C横坐标为−3时，抛物线顶点为A（1，4），对称轴为x=1，此时D点横坐标为5，则CD=8；当抛物线顶点为B（4，4）时，抛物线对称轴为x=4，且CD=8，故C（0，0），D（8，0）；由于此时D点横坐标最大，故点D的横坐标最大值为8．故选D．
19．【答案】直线x=–
【解析】如图可知，当x=2时，2a+m=2b+n，得2a–2b=n–m；
当x=3时，y1=3a+m①，当x=6时，y2=6b+n②，且y1=y2；
②–①得n–m=3a–6b，
∴2a–2b=3a–6b，∴a=4b．
由二次函数的性质可知，其对称轴为直线x=–=–．
故答案为：直线x=–．
【名师点睛】本题主要考查二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是根据一次函数图象建立方程组，求出a、b的等量关系式．
20．【答案】–3
【解析】令y=–2x2–8x–6=0，即x2+4x+3=0，解得x=–1或–3，
则点A（–1，0），B（–3，0），
由于将C1向左平移2个长度单位得C2，
则C2解析式为y=–2（x+4）2+2（–5≤x≤–3），
当y=–x+m1与C2相切时，
令y=–x+m1=–2（x+4）2+2，
即2x2+15x+30+m1=0，
△=–8m1–15=0，解得m1=–，
当y=–x+m2过点B时，即0=3+m2，m2=–3，
当–3
故答案为：–3
【名师点睛】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度．
21．【解析】（1）由m2-4≠0，解得m≠±2．故当m≠±2时，y是x的二次函数．（2分）
（2）由m2-4=0，解得m=±2．
由m2-3m+2≠0，解得m≠1，m≠2．
所以m=-2．因此，当m=-2时，y是x的一次函数．（6分）
22．【解析】（1）二次函数y=mx2+（2m+4）x+8，
Δ=（2m+4）2–32m=4m2–32m+16=（2m–4）2≥0，
∴函数与x轴一定有交点；（3分）
（2）函数的对称轴为x=–1–，
当m>0时，–1+>–1>–1–，
∴y随x的增大而增大，∴y1>y2；
当m<0时，–1–>–1>–1+，
∴y随x的增大而增大，∴y2>y1．（6分）
【名师点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数对称轴与函数值之间的关系是解题的关键．
23．【解析】（1）将A（0，3）和B（4，3）代入y=ax2+bx+c中得，∴4a+b=0，
故答案为：4a+b=0；（2分）
（2）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3）和B（4，3），∴对称轴为直线x=2，
∵x=2时，y=4a+2b+c=b+3，∴顶点坐标为（2，b+3），
∵抛物线的顶点在x轴上，∴b+3=0，∴b=–3，∴a=；（4分）
（3）y=ax2–4ax+3，∴其对称轴是x=2．
①当抛物线开口向上时，
∵抛物线与线段MN只有一个公共点，∴抛物线与x轴只有一个交点，
此时，Δ=0或，解得a=或a>1；（6分）
②当抛物线开口向下时，，解得a≤–，
综上，抛物线与线段MN只有一个公共点时，a的取值范围是a≤–或a>1或a=．（8分）
【名师点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点坐标与对称轴的求解，二次函数的性质，求出函数解析式是解题的关键．
24．【解析】（1）根据题意得B（0，4），C（3，），
把B（0，4），C（3，）代入y=–x2+bx+c，
得，解得．
所以抛物线解析式为y=–x2+2x+4，
则y=–（x–6）2+10，所以D（6，10），
所以拱顶D到地面OA的距离为10m；（4分）
（2）由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0），
当x=2或x=10时，y=>6，
所以这辆货车能安全通过．（8分）
【名师点睛】本题考查了二次函数的应用：构建二次函数模型解决实际问题，利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
25．【解析】（1）平移的抛物线解析式为==，
所以顶点P的坐标为（-3，）．（3分）
（2）把抛物线先向左平移3个单位，再向下平移个单位即可得到抛物线．（6分）
（3）图中阴影部分的面积=．（8分）
26．【解析】（1）设y=kx+b，由图象可得：，解得，
故函数解析式为：y=-x+260（100≤x≤150）．（4分）
（2）设公司第一个月的盈利为w元，
由题意得，w=y（x-40）-12500=-x2+300x-10400-12500=-（x-150）2-400，
∴第一个月公司亏损了，最小亏损为400元，此时商品售价定为150元/件．（7分）
（3）由题意，两个月共盈利10800元，得：-x2+300x-10400-400=10800，
解得x1=120，x2=180，又∵100≤x≤150，∴x=120，
∴每件商品售价定为120元时，公司两个月可盈利10800元．（10分）
27．【解析】（1）∵y=x2+x+1，∴y=，
∴二次函数y=x2+x+1的顶点坐标为（-，），
∴二次函数y=x2+x+1的一个“反倍顶二次函数”的顶点坐标为（，），
∴反倍顶二次函数的解析式为y=x2-x+．（5分）
（2）y1+y2=x2+nx+nx2+x=（n+1）x2+（n+1）x，
y1+y2=（n+1）（x2+x+）-，
顶点坐标为（-，-），（7分）
y1-y2=x2+nx-nx2-x=（1-n）x2+（n-1）x，
y1-y2=（1-n）（x2-x+）-，顶点坐标为（，-），
由于函数y1+y2恰是y1-y2的“反倍顶二次函数”，则-2×=-，
解得n=．（10分）
28．【解析】（1）抛物线过点B（0，2），∴c=2，
把点A坐标（3，0）代入二次函数表达式得：
0=–×9+3b+2，解得：b=，
故抛物线的表达式为：y=–x2+x+2；（4分）
（2）设直线AB的表达式为：y=kx+2，
将点A坐标（3，0）代入上式得：0=3k+2，解得：k=–，
则直线AB的表达式为：y=–x+2，
点N的横坐标为m，则点N坐标为（m，–m2+m+2）、点P坐标为（m，–m+2）、点M坐标为（m，0），
则PM=–m+2，PN=–m2+m+2–（–m+2）=–m2+4m，
由PN=2PM，解得：m=3或1（舍去m=3），
故点N的坐标为（1，4）；（8分）
（3）由（2）得：PN=–m2+4m，
则S=•PN•xA=–2m2+6m（0
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
–3
–4
–3
0
5
…
章末检测
(时间：90分钟 满分：120分)
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）模型的是
A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系
B．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系
C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）
D．圆的周长与圆的半径之间的关系
2．抛物线y=–x2+4x–4与坐标轴的交点个数为
A．0B．1C．2D．3
3．下列函数中，y总随x的增大而减小的是
A．y=4xB．y=–4xC．y=x–4D．y=x2
4．将抛物线y=（x–1）2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到的解析式是
A．y=（x–1）2B．y=（x–2）2+6C．y=x2D．y=x2+6
5．已知抛物线，a是常数且，下列选项中可能是它大致图象的是
A．B．
C．D．
6．已知抛物线y=ax2+bx+c开口向下，顶点坐标（3，-5），那么该抛物线有
A．最小值-5B．最大值-5C．最小值3D．最大值3
7．二次函数的图象如图所示，则下列结论成立的是
A．a>0，bc>0，Δ<0B．a<0，bc>0，Δ<0
C．a>0，bc<0，Δ<0D．a<0，bc<0，Δ>0
8．已知二次函数，当自变量x取m时对应的值大于0，当自变量x分别取、时对应的函数值为、，则、必须满足
A．、B．、
C．、D．、
9．用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象时，列了如下表格：
根据表格上的信息回答问题：一元二次方程ax2+bx+c–5=0的解为
A．x1=–2，x2=4B．x1=–1，x2=3C．x1=3，x2=4D．x1=–4，x2=4
10．如图，在坐标平面上，二次函数y=–x2+4x–k的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其顶点为D，且k>0．若△ABC与△ABD的面积比为1：3，则k值为
A．1B．C．D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
11．把二次函数y=2x2–8x+9，化成y=a（x–h）2+k的形式是：__________．
12．二次函数y=（x+2）2+3的顶点坐标是__________．
13．已知二次函数的图象开口向下，则m的取值范围是__________．
14．如果二次函数（m为常数）的图象有最高点，那么m的值为__________．
15．把抛物线y=2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后抛物线的表达式是__________．
16．已知抛物线y=ax2+bx+c（a>0）的对称轴为直线x=1，且经过点（-1，y1），（-2，y2），试比较y1和y2的大小：y1__________y2（填“>”，“<”或“=”）．
17．已知关于x的二次函数y=ax2-4ax+a2+2a-3在-1≤x≤3的范围内有最小值5，则a的值为__________．
18．如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a（x+m）2+n的顶点在线段AB上，与x轴交于C，D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为-3，则点D的横坐标的最大值为__________．
19．直线y=ax+m和直线y=bx+n在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为__________．
20．如图，抛物线y=–2x2–8x–6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向左平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y=–x+m与C1，C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是__________．
三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（6分）已知函数y=（m2-4）x2+（m2-3m+2）x-m-1．
（1）当m为何值时，y是x的二次函数？
（2）当m为何值时，y是x的一次函数？
22．（6分）关于二次函数y=mx2+（2m+4）x+8（m为常数，且m≠0），
（1）证明：该函数与x轴一定有交点；
（2）若该函数经过点A（–1+，y1），B（–1，y2），请比较y1，y2的大小关系，并说明理由．
23．（8分）已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3）和B（4，3）．
（1）直接写出a，b之间的数量关系式：__________；
（2）若抛物线的顶点在x轴上，求a的值；
（3）若M（–1，0），N（3，0），且抛物线与线段MN只有一个公共点，求a的取值范围．
24．（8分）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=–x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m．
（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？
25．（8分）把抛物线平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（-6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线交于点Q．
（1）求顶点P的坐标；
（2）写出平移过程；
（3）求图中阴影部分的面积．
26．（10分）为发展“低碳经济”，某单位花12500元引进了一条环保型生产线生产新产品，在生产过程中，每件产品还需成本40元，物价部门规定该产品售价不得低于100元/件且不得高于150元/件，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）第一个月该单位是盈利还是亏损？求出当盈利最大或亏损最小时的产品售价；
（3）在（2）的前提下，即在第一个月盈利最大或亏损最小时，第二个月公司重新确定产品售价，能否使两个月共盈利达10800元？若能，求出第二个月的产品售价；若不能，请说明理由．
27．（10分）设二次函数y1，y2的图象的顶点分别为（a，b）、（c，d），当a=-c，b=2d，且开口方向相同时，则称y1是y2的“反倍顶二次函数”．
（1）请写出二次函数y=x2+x+1的一个“反倍顶二次函数”；
（2）已知关于x的二次函数y1=x2+nx和二次函数y2=nx2+x，函数y1+y2恰是y1-y2的“反倍顶二次函数”，求n．
28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=–x2+bx+c过A（3，0），B（0，2）两点．点N为第一象限内抛物线上一动点，点N的横坐标为m，过点N作NM⊥x轴于M，交直线AB于点P．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若PN=2PM，求此时点N的坐标；
（3）连接AN，设△ANB的面积为S．求S关于m的函数关系式．
1．【答案】C
【解析】A、v=，是反比例函数，错误；B、y=m（1+1%）x，不是二次函数，错误；C、S=-x2+cx，是二次函数，正确；D、C=2πr，是正比例函数，错误，故选C．
2．【答案】C
【解析】当x=0时，y=–x2+4x–4=–4，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，–4），
当y=0时，–x2+4x–4=0，解得x1=x2=2，抛物线与x轴的交点坐标为（2，0），
所以抛物线与坐标轴有2个交点．故选C．
【名师点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，分为两种情况：与x轴的交点，与y轴的交点．与x轴的交点可以转化为解关于x的一元二次方程；与y轴的交点取x=0时即可．
3．【答案】B
【解析】y=4x中y随x的增大而增大，故选项A不符题意，
y=–4x中y随x的增大而减小，故选项B符合题意，
y=x–4中y随x的增大而增大，故选项C不符题意，
y=x2中，当x>0时，y随x的增大而增大，当x<0时，y随x的增大而减小，故选项D不符合题意，
故选B．
【名师点睛】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、正比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数和二次函数的性质解答．
4．【答案】C
【解析】∵向左平移1个单位，再向下平移3个单位，∴y=（x–1+1）2+3–3．故得到的抛物线的函数关系式为：y=x2．故选C．
5．【答案】B
【解析】∵抛物线y=ax2+3x+（a-2），a是常数且a<0，∴图象开口向下，a-2<0，∴图象与y轴交于负半轴，∵a<0，b=3，∴抛物线对称轴在y轴右侧．故选B．
6．【答案】B
【解析】由抛物线的开口向下和其顶点坐标为（3，-5），根据抛物线的性质，可以知该抛物线有最大值-5．故选B．
7．【答案】D
【解析】∵抛物线开口向下，∴a<0，∵对称轴x=，∴b<0，抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c>0，∴bc<0，抛物线与x轴有两个交点，∴Δ>0．故选D．
8．【答案】B
【解析】令y=−x2+x−=0，解得x=，∵当自变量x取m时对应的值大于0，∴
∵点（m+1，0）与（m-1，0）之间的距离为2，大于二次函数与x轴两交点之间的距离，∴m-1的最大值在左边交点之左，m+1的最小值在右边交点之右．∴点（m+1，0）与（m-1，0）均在交点之外，∴y1<0，y2<0．故选B．
9．【答案】A
【解析】方法一：由题意可知点（0，–3），（1，–4），（2，–3）在二次函数y=ax2+bx+c的图象上，则，解得，所以一元二次方程ax2+bx+c–5=0可化为：x2–2x–3–5=0，解得x1=–2，x2=4，故选A．
方法二：因为二次函数的图象具有对称性，观察表格可知当x=0和x=2时对应的y值相等，所以二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，又由表格可知当x=4时y=5，所以当x=–2时y的值也为5，所以ax2+bx+c–5=0的解应该为x1=–2，x2=4，故选A．
10．【答案】A
【解析】二次函数y=–x2+4x–k顶点坐标为（2，4–k），C（0，–k），
∵△ABC与△ABD的面积比为1：3，∴＝，
∵k>0，∴＝，∴k=1；故选A．
【名师点睛】本题考查二次函数图象及性质，三角形的面积与坐标的关系；熟练掌握二次函数顶点和与坐标轴上点的求法，将三角形面积转化为点坐标的关系是解题的关键．
11．【答案】y=2（x–2）2+1
【解析】y=2x2–8x+9=2（x2–4x）+9=2（x–2）2+1．所以y=2（x–2）2+1．
故答案为：y=2（x–2）2+1．
【名师点睛】本题考查了二次函数的三种形式，利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
12．【答案】（–2，3）
【解析】二次函数y=（x+2）2+3的图象的顶点坐标是（–2，3）．故答案为：（–2，3）．
【名师点睛】本题考查了二次函数的性质，要熟悉顶点式的意义，并明确：y=a（x–h）2+k（a≠0）的顶点坐标为（h，k），注意符号问题．
13．【答案】m<2
【解析】由二次函数的图象的开口方向，知m-2<0，确定m的取值范围m<2．故答案为：m<2．
14．【答案】–2
【解析】∵二次函数y=mxm2−2（m为常数）的图象有最高点，则图象开口向下，
∴，解得m=–2，故答案为：–2．
【名师点睛】本题考查了二次函数的最值，解题的关键是根据二次函数的定义及开口方向确定m的值，难度不大．
15．【答案】y=2（x+1）2-2
【解析】将抛物线y=2x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得新抛物线的解析式为：y=
2（x+1）2-2．故答案为：y=2（x+1）2-2．
16．【答案】<
【解析】∵抛物线y=ax2+bx+c（a>0）的对称轴为直线x=1，且经过点（-1，y1），（-2，y2），∴点（-1，y1）直线x=1最近，点（-2，y2）离直线x=1最远，∵抛物线开口向上，∴y1
17．【答案】4或-8
【解析】根据函数解析式可得函数的对称轴为直线x=2；当a>0，则当x=2时函数的最小值为5，即，解得：a=4或a=-2（舍去）；当a<0时，则当x=-1时函数的最小为5，即，解得：a=-8或x=1（舍去）．综上所述a=4或a=-8．故答案为：4或-8．
18．【答案】8
【解析】当点C横坐标为−3时，抛物线顶点为A（1，4），对称轴为x=1，此时D点横坐标为5，则CD=8；当抛物线顶点为B（4，4）时，抛物线对称轴为x=4，且CD=8，故C（0，0），D（8，0）；由于此时D点横坐标最大，故点D的横坐标最大值为8．故选D．
19．【答案】直线x=–
【解析】如图可知，当x=2时，2a+m=2b+n，得2a–2b=n–m；
当x=3时，y1=3a+m①，当x=6时，y2=6b+n②，且y1=y2；
②–①得n–m=3a–6b，
∴2a–2b=3a–6b，∴a=4b．
由二次函数的性质可知，其对称轴为直线x=–=–．
故答案为：直线x=–．
【名师点睛】本题主要考查二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是根据一次函数图象建立方程组，求出a、b的等量关系式．
20．【答案】–3
【解析】令y=–2x2–8x–6=0，即x2+4x+3=0，解得x=–1或–3，
则点A（–1，0），B（–3，0），
由于将C1向左平移2个长度单位得C2，
则C2解析式为y=–2（x+4）2+2（–5≤x≤–3），
当y=–x+m1与C2相切时，
令y=–x+m1=–2（x+4）2+2，
即2x2+15x+30+m1=0，
△=–8m1–15=0，解得m1=–，
当y=–x+m2过点B时，即0=3+m2，m2=–3，
当–3
故答案为：–3
【名师点睛】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度．
21．【解析】（1）由m2-4≠0，解得m≠±2．故当m≠±2时，y是x的二次函数．（2分）
（2）由m2-4=0，解得m=±2．
由m2-3m+2≠0，解得m≠1，m≠2．
所以m=-2．因此，当m=-2时，y是x的一次函数．（6分）
22．【解析】（1）二次函数y=mx2+（2m+4）x+8，
Δ=（2m+4）2–32m=4m2–32m+16=（2m–4）2≥0，
∴函数与x轴一定有交点；（3分）
（2）函数的对称轴为x=–1–，
当m>0时，–1+>–1>–1–，
∴y随x的增大而增大，∴y1>y2；
当m<0时，–1–>–1>–1+，
∴y随x的增大而增大，∴y2>y1．（6分）
【名师点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数对称轴与函数值之间的关系是解题的关键．
23．【解析】（1）将A（0，3）和B（4，3）代入y=ax2+bx+c中得，∴4a+b=0，
故答案为：4a+b=0；（2分）
（2）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3）和B（4，3），∴对称轴为直线x=2，
∵x=2时，y=4a+2b+c=b+3，∴顶点坐标为（2，b+3），
∵抛物线的顶点在x轴上，∴b+3=0，∴b=–3，∴a=；（4分）
（3）y=ax2–4ax+3，∴其对称轴是x=2．
①当抛物线开口向上时，
∵抛物线与线段MN只有一个公共点，∴抛物线与x轴只有一个交点，
此时，Δ=0或，解得a=或a>1；（6分）
②当抛物线开口向下时，，解得a≤–，
综上，抛物线与线段MN只有一个公共点时，a的取值范围是a≤–或a>1或a=．（8分）
【名师点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点坐标与对称轴的求解，二次函数的性质，求出函数解析式是解题的关键．
24．【解析】（1）根据题意得B（0，4），C（3，），
把B（0，4），C（3，）代入y=–x2+bx+c，
得，解得．
所以抛物线解析式为y=–x2+2x+4，
则y=–（x–6）2+10，所以D（6，10），
所以拱顶D到地面OA的距离为10m；（4分）
（2）由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0），
当x=2或x=10时，y=>6，
所以这辆货车能安全通过．（8分）
【名师点睛】本题考查了二次函数的应用：构建二次函数模型解决实际问题，利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
25．【解析】（1）平移的抛物线解析式为==，
所以顶点P的坐标为（-3，）．（3分）
（2）把抛物线先向左平移3个单位，再向下平移个单位即可得到抛物线．（6分）
（3）图中阴影部分的面积=．（8分）
26．【解析】（1）设y=kx+b，由图象可得：，解得，
故函数解析式为：y=-x+260（100≤x≤150）．（4分）
（2）设公司第一个月的盈利为w元，
由题意得，w=y（x-40）-12500=-x2+300x-10400-12500=-（x-150）2-400，
∴第一个月公司亏损了，最小亏损为400元，此时商品售价定为150元/件．（7分）
（3）由题意，两个月共盈利10800元，得：-x2+300x-10400-400=10800，
解得x1=120，x2=180，又∵100≤x≤150，∴x=120，
∴每件商品售价定为120元时，公司两个月可盈利10800元．（10分）
27．【解析】（1）∵y=x2+x+1，∴y=，
∴二次函数y=x2+x+1的顶点坐标为（-，），
∴二次函数y=x2+x+1的一个“反倍顶二次函数”的顶点坐标为（，），
∴反倍顶二次函数的解析式为y=x2-x+．（5分）
（2）y1+y2=x2+nx+nx2+x=（n+1）x2+（n+1）x，
y1+y2=（n+1）（x2+x+）-，
顶点坐标为（-，-），（7分）
y1-y2=x2+nx-nx2-x=（1-n）x2+（n-1）x，
y1-y2=（1-n）（x2-x+）-，顶点坐标为（，-），
由于函数y1+y2恰是y1-y2的“反倍顶二次函数”，则-2×=-，
解得n=．（10分）
28．【解析】（1）抛物线过点B（0，2），∴c=2，
把点A坐标（3，0）代入二次函数表达式得：
0=–×9+3b+2，解得：b=，
故抛物线的表达式为：y=–x2+x+2；（4分）
（2）设直线AB的表达式为：y=kx+2，
将点A坐标（3，0）代入上式得：0=3k+2，解得：k=–，
则直线AB的表达式为：y=–x+2，
点N的横坐标为m，则点N坐标为（m，–m2+m+2）、点P坐标为（m，–m+2）、点M坐标为（m，0），
则PM=–m+2，PN=–m2+m+2–（–m+2）=–m2+4m，
由PN=2PM，解得：m=3或1（舍去m=3），
故点N的坐标为（1，4）；（8分）
（3）由（2）得：PN=–m2+4m，
则S=•PN•xA=–2m2+6m（0
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
–3
–4
–3
0
5
…
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