数学必修第一册2.2 基本不等式综合训练题

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这是一份数学必修第一册2.2 基本不等式综合训练题，共8页。

《基本不等式》

、选择题

LISTNUM OutlineDefault \l 3 不等式(x-2y)＋eq \f(1,x－2y)≥2成立的条件为( )

A.x≥2y，当且仅当x-2y=1时取等号

B.x>2y，当且仅当x-2y=1时取等号

C.x≤2y，当且仅当x-2y=1时取等号

D.x<2y，当且仅当x-2y=1时取等号

LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知不等式(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(a,y)))≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( )

A.2 B.4 C.6 D.8

LISTNUM OutlineDefault \l 3 若2x＋2y=1，则x＋y的取值范围是( )

A.[0，2] B.[－2，0] C.[－2，＋∞) D.(－∞，－2]

LISTNUM OutlineDefault \l 3 设M=eq \f(3x＋3y,2)，N=(eq \r(3))x＋y，P=3eq \r(xy)(x，y＞0，且x≠y)，则M，N，P大小关系为( )

A.M＜N＜P B.N＜P＜M C.P＜M＜N D.P＜N＜M

LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知a，b都是正数，设M=eq \f(a,\r(b))＋eq \f(b,\r(a))，N=eq \r(a)＋eq \r(b)，则( )

A.M>N B.M

LISTNUM OutlineDefault \l 3 将一根铁丝切割成三段，做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )

A.6.5 m B.6.8 m C.7 m D.7.2 m

LISTNUM OutlineDefault \l 3 点P(x，y)是直线x＋3y－2=0上的动点，则代数式3x＋27y有( )

A.最大值8 B.最小值8 C.最小值6 D.最大值6

LISTNUM OutlineDefault \l 3 若x>4，则函数y=x＋eq \f(1,x－4)( )

A.有最大值－6 B.有最小值6

C.有最大值－2 D.有最小值2

LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知a，b∈R，且a2＋b2=4，那么ab( )

A.有最大值2，有最小值－2

B.有最大值2，但无最小值

C.有最小值2，但无最大值

D.有最大值2，有最小值0

LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知0

A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(3,4) D.eq \f(2,3)

LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知a>0，b>0，eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)=eq \f(1,6)，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则实数m的最大值为( )

A.8 B.7 C.6 D.5

LISTNUM OutlineDefault \l 3 若实数x，y满足xy>0，则eq \f(x,x＋y)＋eq \f(2y,x＋2y)的最大值为( )

A．2-eq \r(2) B．2＋eq \r(2) C．4＋2eq \r(2) D．4-2eq \r(2)

、填空题

LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知点P(x，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，则2x＋4y的最小值为________.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知x≥eq \f(5,2)，则f(x)=eq \f(x2－4x＋5,2x－4)的最小值为________.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 若不等式x2－ax＋1≥0对一切x∈(0,1]恒成立，则a的取值范围是________.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 若正实数x，y满足2x＋y＋6=xy，则xy的最小值是________.

、解答题

LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知a，b为正实数，且a＋b=1，求eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)的最小值.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知x≥eq \f(5,2)，求f(x)=eq \f(x2－4x＋5,x－2)的最小值.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知a＞0，b＞0，c＞0，d＞0，求证：eq \f(ad＋bc,bd)＋eq \f(bc＋ad,ac)≥4.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c>eq \r(ab)＋eq \r(bc)＋eq \r(ca).

LISTNUM OutlineDefault \l 3 围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示.已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙的长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元).

(1)将y表示为x的函数；

(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最少，并求出最少总费用.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知a>0，b>0，a＋b=1，求证：

(1)eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,ab)≥8；

(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,b)))≥9.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c=1，求证eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,c)－1))≥8.

答案解析

LISTNUM OutlineDefault \l 3 \s 1 答案为：B.

解析：因为不等式成立的前提条件是各项均为正，

所以x-2y>0，即x>2y，且等号成立时(x-2y)2=1，即x-2y=1，故选B.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：B；

解析：(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(a,y)))=1＋eq \f(ax,y)＋eq \f(y,x)＋a≥1＋2eq \r(a)＋a=(1＋eq \r(a))2.

由(1＋eq \r(a))2=9，解得a=4.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D.

解析：因为2x＋2y≥2eq \r(2x＋y)，2x＋2y=1，

所以2eq \r(2x＋y)≤1，所以2x＋y≤eq \f(1,4)=2－2，所以x＋y≤－2，

即(x＋y)∈(－∞，－2].

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D.

解析：由基本不等式可知eq \f(3x＋3y,2)≥eq \r(3x3y)=(eq \r(3))x＋y=3eq \s\up6(\f(x＋y,2))≥3eq \r(xy)，因为x≠y，

所以等号不成立，故P＜N＜M.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D.

解析：∵a>0，b>0，∴eq \r(b)>0，eq \f(a,\r(b))＋eq \r(b)≥2eq \r(a)，eq \f(b,\r(a))＋eq \r(a)≥2eq \r(b).

于是eq \f(a,\r(b))＋eq \r(b)＋eq \f(b,\r(a))＋eq \r(a)≥2eq \r(a)＋2eq \r(b).故eq \f(a,\r(b))＋eq \f(b,\r(a))≥eq \r(a)＋eq \r(b)，即M≥N.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C.

解析：设两直角边分别为a、b，直角三角形的框架的周长为l，

则eq \f(1,2)ab=2，l=a＋b＋eq \r(a2＋b2)≥2eq \r(ab)＋eq \r(2ab)=4＋2eq \r(2)≈6.828(m).故选C.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C.

解析：∵点P(x，y)在直线x＋3y－2=0上，∴x＋3y=2.

∴3x＋27y=3x＋33y≥2eq \r(3x·33y)=2eq \r(3x＋3y)=2eq \r(32)=6.

当且仅当x=3y，即x=1，y=eq \f(1,3)时，等号成立.∴代数式3x＋27y有最小值6.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：B.

解析：∵x>4，∴x－4>0，∴y=x＋eq \f(1,x－4)=(x－4)＋eq \f(1,x－4)＋4≥2＋4=6.

当且仅当x－4=eq \f(1,x－4)，即x=5时，取“=”号.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：A.

这里没有限制a，b的正负，则由a2＋b2=4，a2＋b2≥2|ab|，得|ab|≤2，

所以－2≤ab≤2，可知ab的最大值为2，最小值为－2.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：B；

解析：由x(3-3x)=eq \f(1,3)×3x(3-3x)≤eq \f(1,3)×eq \f(9,4)=eq \f(3,4)，当且仅当3x=3-3x，即x=eq \f(1,2)时等号成立．

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C.

解析：由已知，可得6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)＋\f(1,b)))=1，

所以2a＋b=6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)＋\f(1,b)))·(2a＋b)=6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5＋\f(2a,b)＋\f(2b,a)))≥6×(5＋4)=54，

当且仅当eq \f(2a,b)=eq \f(2b,a)时等号成立，所以9m≤54，即m≤6，故选C.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D；

解析：

eq \f(x,x＋y)＋eq \f(2y,x＋2y)=eq \f(x,x＋y)＋eq \f(x＋2y－x,x＋2y)=1＋eq \f(x,x＋y)-eq \f(x,x＋2y)=1＋eq \f(xy,x＋yx＋2y)

=1＋eq \f(xy,x2＋3xy＋2y2)=1＋eq \f(1,3＋\f(x,y)＋\f(2y,x))，因为xy>0，所以eq \f(x,y)>0，eq \f(y,x)>0.由基本不等式可知eq \f(x,y)＋eq \f(2y,x)≥2eq \r(2)，

当且仅当x=eq \r(2)y时等号成立，所以1＋eq \f(1,3＋\f(x,y)＋\f(2y,x))≤1＋eq \f(1,3＋2\r(2))=4-2eq \r(2).

、填空题

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：4eq \r(2)；

解析：∵点P(x，y)在直线AB上，

∴x＋2y=3，∴2x＋4y≥2eq \r(2x·4y)=2eq \r(2x＋2y)=4eq \r(2).

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：1；

解析：f(x)=eq \f(x2－4x＋5,2x－4)=eq \f(x－22＋1,2x－2)=eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x－2＋\f(1,x－2)))≥1.

当且仅当x－2=eq \f(1,x－2)，即x=3时等号成立.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：(－∞，2]；

解析：x2－ax＋1≥0，x∈(0,1]恒成立⇔ax≤x2＋1，

x∈(0,1]恒成立⇔a≤x＋eq \f(1,x)，x∈(0,1]恒成立.

∵x∈(0,1]，x＋eq \f(1,x)≥2，∴a≤2.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：18；

解析：由x＞0，y＞0，2x＋y＋6=xy，得

xy≥2 eq \r(2xy)＋6(当且仅当2x=y时，取“=”)，

即(eq \r(xy))2－2eq \r(2) eq \r(xy)－6≥0，

∴(eq \r(xy)－3eq \r(2))·(eq \r(xy)＋eq \r(2))≥0.

又∵eq \r(xy)＞0，∴eq \r(xy)≥3eq \r(2)，即xy≥18.

∴xy的最小值为18.

、解答题

LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)=eq \f(a＋b,a)＋eq \f(2a＋2b,b)=1＋eq \f(b,a)＋eq \f(2a,b)＋2≥3＋2eq \r(\f(2ba,ab))=3＋2eq \r(2).

当且仅当eq \f(b,a)=eq \f(2a,b)，即a=eq \r(2)－1，b=2－eq \r(2)时取“=”.

故eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)的最小值是3＋2eq \r(2).

LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：因为x≥eq \f(5,2)，所以x－2＞0.

所以f(x)=eq \f(x2－4x＋5,x－2)=eq \f(（x－2）2＋1,x－2)=(x－2)＋eq \f(1,x－2)≥2.

当且仅当x－2=eq \f(1,x－2)，即x=3时，等号成立.

故当x=3时，f(x)min=2.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 证明：eq \f(ad＋bc,bd)＋eq \f(bc＋ad,ac)=eq \f(a,b)＋eq \f(c,d)＋eq \f(b,a)＋eq \f(d,c)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)＋\f(b,a)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,d)＋\f(d,c)))≥2＋2=4，

当且仅当a=b且c=d时取“=”号，

所以eq \f(ad＋bc,bd)＋eq \f(bc＋ad,ac)≥4.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 证明：∵a>0，b>0，c>0，

∴a＋b≥2eq \r(ab)，b＋c≥2eq \r(bc)，c＋a≥2eq \r(ac).

于是2(a＋b＋c)≥2eq \r(ab)＋2eq \r(bc)＋2eq \r(ca)，

即a＋b＋c≥eq \r(ab)＋eq \r(bc)＋eq \r(ca).

∵a，b，c为不全相等的正实数，等号不成立，

∴a＋b＋c>eq \r(ab)＋eq \r(bc)＋eq \r(ca).

LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：(1)设矩形的另一边长为a m，

则y=45x＋180(x－2)＋180·2a=225x＋360a－360.

由已知ax=360，得a=eq \f(360,x)，所以y=225x＋eq \f(3602,x)－360(x＞0).

(2)因为x＞0，所以225x＋eq \f(3602,x)≥2eq \r(225×3602)=10 800.

所以y=225x＋eq \f(3602,x)－360≥10 440，当且仅当225x=eq \f(3602,x)时，等号成立.

即当x=24 m时，修建围墙的总费用最少，最少总费用是10 440元.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 证明：(1)eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,ab)=eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(a＋b,ab)=2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b))).

∵a＋b=1，a>0，b>0，

∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)=eq \f(a＋b,a)＋eq \f(a＋b,b)=2＋eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)≥2＋2=4，

∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,ab)≥8(当且仅当a=b=eq \f(1,2)时等号成立).

(2)法一 ∵a>0，b>0，a＋b=1，

∴1＋eq \f(1,a)=1＋eq \f(a＋b,a)=2＋eq \f(b,a)，同理，1＋eq \f(1,b)=2＋eq \f(a,b)，

∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,b)))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(b,a)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(a,b)))

=5＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＋\f(a,b)))≥5＋4=9，

∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,b)))≥9(当且仅当a=b=eq \f(1,2)时等号成立).

法二 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,b)))=1＋eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,ab).

由(1)知，eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,ab)≥8，

故eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,b)))=1＋eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,ab)≥9.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 证明：∵a，b，c∈R＋，a＋b＋c=1，

∴eq \f(1,a)－1=eq \f(1－a,a)=eq \f(b＋c,a)≥eq \f(2\r(bc),a)，

同理，eq \f(1,b)－1≥eq \f(2\r(ac),b)，eq \f(1,c)－1≥eq \f(2\r(ab),c).

∵上述三个不等式两边均为正，

∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,c)－1))≥eq \f(2\r(bc),a)·eq \f(2\r(ac),b)·eq \f(2\r(ab),c)=8，

当且仅当a=b=c=eq \f(1,3)时取等号．