高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语本章综合与测试课时作业

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语本章综合与测试课时作业，共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

章末综合测评(一) 集合与常用逻辑用语


(满分：150分 时间：120分钟)


一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．


1．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∪(∁RB)＝( )


A．{x|x>1} B．{x|x≥－1}


C．{x|1

B [由A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}可知∁RB＝{x|x≥1}，∴A∪(∁RB)＝{x|x≥－1}．]


2．满足{1}⊆X{1,2,3,4}的集合X有( )


A．4个 B．5个


C．6个 D．7个


D [集合X可以是{1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，共7个．]


3．命题“对任意x∈R，都有x2≥1”的否定是( )


A．对任意x∈R，都有x2＜1


B．不存在x∈R，使得x2＜1


C．存在x∈R，使得x2≥1


D.存在x∈R，使得x2＜1


D [因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“对任意x∈R，都有x2≥1”的否定是：存在x∈R，使得x2＜1.故选D.]


4．命题“∃x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( )


A．∃x∈R，x3－x2＋1<0


B．∃x∈R，x3－x2＋1≥0


C．∀x∈R，x3－x2＋1>0


D．∀x∈R，x3－x2＋1≤0


C [由存在量词命题的否定可得，所给命题的否定为“∀x∈R，x3－x2＋1>0”．故选C.]


5. “a＝－1”是“函数y＝ax2＋2x－1与x轴只有一个交点”的( )


A．充要条件


B．充分不必要条件


C．必要不充分条件


D.既不充分也不必要条件


B [当a＝－1时，函数y＝ax2＋2x－1＝－x2＋2x－1与x轴只有一个交点；但若函数y＝ax2＋2x－1与x轴只有一个交点，则a＝－1或a＝0，所以“a＝－1”是“函数y＝ax2＋2x－1与x轴只有一个交点”的充分不必要条件．]


6．a2＞b2的一个充分条件是( )


A．a＞b B．a＜b


C．a＝b D．a＝2，b＝1


D [A中，当a＝0，b＝－2时，a2＝0，b2＝4，不能推出a2＞b2；B中，当a＝－1，b＝1时，a2＝b2，不能推出a2＞b2；C中，当a＝b时，a2＝b2，不能推出a2＞b2；D中，a2＝4，b2＝1，能推出a2＞b2，故选D.]


7．一元二次方程ax2＋4x＋3＝0 (a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )


A．a<0 B．a>0


C．a<－1 D．a>1


C [方程有一个正根和一个负根时，根据根与系数的关系知eq \f(3,a)＜0，即a＜0，a<－1可以推出a＜0，但a＜0不一定推出a<－1，故选C.]


8．若集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|5≤x≤16}，则能使A⊆B成立的所有a组成的集合为( )


A．{a|2≤a≤7} B．{a|6≤a≤7}


C．{a|a≤7} D．∅


C [当3a－5<2a＋1，即a<6时，A＝∅⊆B；


当3a－5≥2a＋1，即a≥6时，A≠∅，





要使A⊆B，需有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a－5≤16，,2a＋1≥5，))解得2≤a≤7.


综上可知，a≤7.]


二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．


9．下列命题中，假命题是( )


A．若x，y∈R且x＋y＞2，则x，y至少有一个大于1


B．∀x∈R,2x＞x2


C．a＋b＝0的充要条件是eq \f(a,b)＝－1


D．∃x∈R，x2＋2≤0


BCD [当x＝2时，2x＝x2，故B错误；当a＝b＝0时，满足a＋b＝0，但eq \f(a,b)＝－1不成立，故C错误；∀x∈R，x2＋2＞0，故∃x∈R，x2＋2≤0，故D错误，故选BCD.]


10．已知集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|x＜2m}，且A⊆∁RB，那么m的值可以是( )


A．0 B．1


C．2 D．3


AB [根据补集的概念，∁RB＝{x|x≥2m}．


又∵A⊆∁RB，∴2m≤2.


解得m≤1，故m的值可以是0,1.]


11．设集合A＝{x|x2－(a＋2)x＋2a＝0}，B＝{x|x2－5x＋4＝0}，集合A∪B中所有元素之和为7，则实数a的值为( )


A．0 B．1 C．2 D．4


ABCD [x2－(a＋2)x＋2a＝(x－2)(x－a)＝0，解得x＝2或x＝a，则A＝{2，a}．x2－5x＋4＝(x－1)(x－4)＝0，解得x＝1或x＝4，则B＝{1,4}．当a＝0时，A＝{0,2}，B＝{1,4}，A∪B＝{0,1,2,4}，其元素之和为0＋1＋2＋4＝7；当a＝1时，A＝{1,2}，B＝{1,4}，A∪B＝{1,2,4}，其元素之和为1＋2＋4＝7；当a＝2时，A＝{2}，B＝{1,4}，A∪B＝{1,2,4}，其元素之和为1＋2＋4＝7；当a＝4时，A＝{2,4}，B＝{1,4}，A∪B＝{1,2,4}，其元素之和为1＋2＋4＝7.则实数a的取值集合为{0,1,2,4}．]


12．设S为实数集R的非空子集．若对任意x，y∈S，都有x＋y∈S，x－y∈S，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题是真命题的是( )


A．集合S＝{a＋beq \r(3)|a，b为整数}为封闭集


B．若S为封闭集，则一定有0∈S


C．封闭集一定是无限集


D．若S为封闭集，则满足S⊆T⊆R的任意集合T也是封闭集


AB [对于任意整数a1，b1，a2，b2，有a1＋b1eq \r(3)＋a2＋b2eq \r(3)＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)eq \r(3)∈S，a1＋b1eq \r(3)－(a2＋b2eq \r(3))＝(a1－a2)＋(b1－b2)eq \r(3)∈S，(a1＋b1eq \r(3))(a2＋b2eq \r(3))＝(a1a2＋3b1b2)＋(a1b2＋a2b1)eq \r(3)∈S，所以A正确．若S为封闭集，且存在元素x∈S，则有x－x＝0∈S，即一定有0∈S，所以B正确．当S＝{0}时，S为封闭集，所以C错误．取S＝{0}，T＝{0,1,2,3}时，显然2×3＝6∉T，所以D错误．]


三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．


13．设全集U＝R，集合A＝{x|x＜0}，B＝{x|x＞1}，则A∪(∁UB)＝________.


{x|x≤1} [∵B＝{x|x＞1}，∴∁UB＝{x|x≤1}，则A∪(∁UB)＝{x|x≤1}．]


14．命题“∀x∈{x|1≤x≤2}，使x2－a≥0”是真命题，则a的取值范围是________．


{a|a≤1} [命题p：a≤x2在1≤x≤2上恒成立，y＝x2在1≤x≤2上的最小值为1，∴a≤1.]


15．设集合A＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜3}，那么“m∈A”是“m∈B”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)．


充分不必要 [由于A＝{x|0＜x＜1}，所以AB，所以“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件．]


16．某学校三好学生的评定标准为：


(1)各学科成绩等级均不低于等级B，且达A及以上等级的学科的比例不低于85%；


(2)无违反学校规定行为，且老师同学对其品德投票评定为优秀的比例不低于85%；


(3)体育学科综合成绩不低于85分．


设学生达A及以上等级的学科比例为x%，学生的品德被投票评定为优秀的比例为y%，学生的体育学科综合成绩为z(0≤x，y，z≤100)．用(x，y，z)表示学生的评定数据．


已知参评候选人各学业成绩均不低于B，且无违反学校规定行为．则：


(1)下列选项中，是“学生可评为三好学生”的充分不必要条件的有________(填序号)．


①(85,80,100)；②(85,85,100)；③x＋y＋z≥255；④x＋y＋z≥285.


(2)写出一个过往学期某同学的满足评定三好学生的必要条件：________.(本题第一空2分，第二空3分)


②④ x＋y＋z≥200 [(1)对于①，由数据可知，学生的品德被投票评定为优秀的比例是80%，低于85%，不能被评三好学生，充分性不成立；对于②，由数据可知，学生的评定数据均满足被评为三好学生的评定标准，充分性成立，但反之，被评为三好学生，成绩不一定是(85,85,100)，必要性不成立，故②符合题意；对于③，由x≥85，y≥85，z＝85，得x＋y＋z≥255，故x＋y＋z≥255是学生可评为三好学生的必要条件，故③不符合题意；对于④，由0≤x，y，z≤100，故有x≥85，y≥85，z≥85，充分性成立，但被评为三好学生，x＋y＋z≥285不一定成立，故④符合题意．综上所述，“学生可评为三好学生”的充分不必要条件有②④.


(2)由(1)可知，x＋y＋z≥255是“学生可评为三好学生”的必要条件，故满足评定三好学生的必要条件可以是：x＋y＋z≥200(答案不唯一)．]


四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．


17．(本小题满分10分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出它们的否定：


(1)p：对任意的x∈R，x2＋x＋1＝0都成立；


(2)p：∃x∈R，x2＋2x＋5＞0.


[解] (1)由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称量词命题；


又由于“任意”的否定为“存在一个”，


因此，p：存在一个x∈R，使x2＋x＋1≠0成立，


即“∃x∈R，使x2＋x＋1≠0成立”．


(2)由于“∃x∈R”表示存在一个实数x，即命题中含有存在量词“存在一个”，因而是存在量词命题；


又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，


因此，p：对任意一个x都有x2＋2x＋5≤0，即“∀x∈R，x2＋2x＋5≤0”．


18．(本小题满分12分)已知A＝{x|－2

[解]


结合数轴，由图可知∁RA＝{x|x≤－2或x≥3}，


又∵A∩B＝{x|－2

∴∁R(A∩B)＝∁RA＝{x|x≤－2或x≥3}，


∴(∁RA)∩B＝{x|－3

19．(本小题满分12分)判断下列各题中的条件p是结论q的什么条件．


(1)条件p：a，b∈R，a＋b＞0，结论q：ab＞0；


(2)条件p：AB，结论q：A∪B＝B.


[解] (1)因为a，b∈R，a＋b＞0，


所以a，b至少有一个大于0，所以pq.


反之，若ab＞0，可推出a，b同号．


但推不出a＋b＞0，即qp.


综上所述，p既不是q的充分条件，也不是必要条件．


(2)因为AB⇒A∪B＝B，所以p⇒q.


而当A∪B＝B时，A⊆B，即qp，


所以p为q的充分不必要条件．


20．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|2m＜x＜1－m}．


(1)当m＝－1时，求A∪B；


(2)若A⊆B，求实数m的取值范围．


[解] (1)当m＝－1时，B＝{x|－2＜x＜2}，A∪B＝{x|－2＜x＜3}．


(2)由A⊆B，知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－m＞2m，,2m≤1，,1－m≥3，))解得m≤－2，


即实数m的取值范围为{m|m≤－2}．


21．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|a＜x＜3a}且B≠∅.


(1)若x∈A是x∈B的充分条件，求a的取值范围；


(2)若A∩B＝∅，求a的取值范围．


[解] (1)∵x∈A是x∈B的充分条件，


∴A⊆B.


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≤2，,3a≥4，,a＜3a，))


解得a的取值范围为eq \f(4,3)≤a≤2.


(2)由B＝{x|a＜x＜3a}且B≠∅，


∴a＜3a，


∴a＞0.


若A∩B＝∅，∴a≥4或3a≤2，所以a的取值范围为0＜a≤eq \f(2,3)或a≥4.


22．(本小题满分12分)已知x，y都是非零实数，且x＞y，求证：eq \f(1,x)＜eq \f(1,y)的充要条件是xy＞0.


[证明] 法一：充分性：由xy＞0及x＞y，得eq \f(x,xy)＞eq \f(y,xy)，


即eq \f(1,x)＜eq \f(1,y).


必要性：由eq \f(1,x)＜eq \f(1,y)，得eq \f(1,x)－eq \f(1,y)＜0，即eq \f(y－x,xy)＜0.


因为x＞y，所以y－x＜0，所以xy＞0.


所以eq \f(1,x)＜eq \f(1,y)的充要条件是xy＞0.


法二：eq \f(1,x)＜eq \f(1,y)⇔eq \f(1,x)－eq \f(1,y)＜0⇔eq \f(y－x,xy)＜0.


由条件x＞y⇔y－x＜0，故由eq \f(y－x,xy)<0⇔xy＞0.


所以eq \f(1,x)＜eq \f(1,y)⇔xy＞0，


即eq \f(1,x)＜eq \f(1,y)的充要条件是xy＞0.