这是一份人教A版 (2019)必修第一册2.2 基本不等式课时作业，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

课时分层作业(十) 基本不等式

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是( )

A．s≥t B．s>t

C．s≤t D．s

A [∵b2＋1≥2b，∴a＋2b≤a＋b2＋1.]

2．下列不等式中正确的是( )

A．a＋eq \f(4,a)≥4 B．a2＋b2≥4ab

C.eq \r(ab)≥eq \f(a＋b,2) D．x2＋eq \f(3,x2)≥2eq \r(3)

D [a＜0，则a＋eq \f(4,a)≥4不成立，故A错；

a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B错；

a＝4，b＝16，则eq \r(ab)＜eq \f(a＋b,2)，故C错；

由基本不等式可知D项正确．]

3．已知a>0，b>0，则下列不等式中错误的是( )

A．ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2 ) B．ab≤eq \f(a2＋b2,2)

C.eq \f(1,ab)≥eq \f(2,a2＋b2) D．eq \f(1,ab)≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a＋b)))eq \s\up12(2)

D [由基本不等式知A，C正确，由重要不等式知B正确，由eq \f(a2＋b2,2)≥ab得，ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)，∴eq \f(1,ab)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a＋b)))eq \s\up12(2)，故选D.]

4．若a＞b＞0，则下列不等式成立的是( )

A．a＞b＞eq \f(a＋b,2)＞eq \r(ab)

B．a＞eq \f(a＋b,2)＞eq \r(ab)＞b

C．a＞eq \f(a＋b,2)＞b＞eq \r(ab)

D.a＞eq \r(ab)＞eq \f(a＋b,2)＞b

B [a＝eq \f(a＋a,2)＞eq \f(a＋b,2)＞eq \r(ab)＞eq \r(b·b)＝b，因此只有B项正确．]

5．若a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是( )

A.eq \f(1,ab)＞eq \f(1,2) B.eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)≤1

C.eq \r(ab)≥2 D．eq \f(1,a2＋b2)≤eq \f(1,8)

D [由eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)＝2得ab≤4，

∴eq \f(1,ab)≥eq \f(1,4)，故A错；

B中，eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(a＋b,ab)＝eq \f(4,ab)≥1，故B错；

由a＋b＝4，得eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)＝eq \f(4,2)＝2，故C错；

由eq \f(a2＋b2,2)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)得a2＋b2≥2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,2)))eq \s\up12(2)＝8，

∴eq \f(1,a2＋b2)≤eq \f(1,8)，D正确．]

二、填空题

6．已知a＞b＞c，则eq \r(a－bb－c)与eq \f(a－c,2)的大小关系是________．

eq \r(a－bb－c)≤eq \f(a－c,2) [∵a＞b＞c，

∴a－b＞0，b－c＞0，

∴eq \r(a－bb－c)≤eq \f(a－b＋b－c,2)＝eq \f(a－c,2).]

7．已知a，b是不相等的正数，x＝eq \f(\r(a)＋\r(b),\r(2))，y＝eq \r(a＋b)，则x，y的大小关系是________．

x

∵a＋b>2eq \r(ab)(a≠b)，∴x20，∴x

8．若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式：①ab≤1；②eq \r(a)＋eq \r(b)≤eq \r(2)；③a2＋b2≥2；④eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)≥2，对满足条件的a，b恒成立的是________(填序号)．

①③④ [因为a＞0，b＞0，a＋b＝2，所以a＋b＝2≥2eq \r(ab)，所以eq \r(ab)≤1，即ab≤1，所以①正确；因为(eq \r(a)＋eq \r(b))2＝a＋b＋2eq \r(ab)＝2＋2eq \r(ab)≤2＋a＋b＝4，故②不正确；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥2，所以③正确；eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))(a＋b)＝1＋eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＋\f(a,b)))≥2，所以④正确．]

三、解答题

9．已知a，b，c为正实数，且a＋b＝1.求证：eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)≥4.

[证明] eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(a＋b,a)＋eq \f(a＋b,b)

＝1＋eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)＋1

＝2＋eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2＋2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4.

当且仅当a＝b时“＝”成立．

10．已知a，b，c为正数，求证：eq \f(b＋c－a,a)＋eq \f(c＋a－b,b)＋eq \f(a＋b－c,c)≥3.

[证明] 左边＝eq \f(b,a)＋eq \f(c,a)－1＋eq \f(c,b)＋eq \f(a,b)－1＋eq \f(a,c)＋eq \f(b,c)－1

＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＋\f(a,b)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)＋\f(a,c)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,b)＋\f(b,c)))－3.

∵a，b，c为正数，

∴eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(当且仅当a＝b时取“＝”)；

eq \f(c,a)＋eq \f(a,c)≥2(当且仅当a＝c时取“＝”)；

eq \f(c,b)＋eq \f(b,c)≥2(当且仅当b＝c时取“＝”)．

从而eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＋\f(a,b)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)＋\f(a,c)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,b)＋\f(b,c)))≥6(当且仅当a＝b＝c时取等号)．

∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＋\f(a,b)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)＋\f(a,c)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,b)＋\f(b,c)))－3≥3，

即eq \f(b＋c－a,a)＋eq \f(c＋a－b,b)＋eq \f(a＋b－c,c)≥3.

11．(多选题)下列不等式不一定成立的是( )

A．x＋eq \f(1,x)≥2 B．eq \f(x2＋2,\r(x2＋2))≥eq \r(2)

C.eq \f(x2＋3,\r(x2＋4))≥2 D．2－3x－eq \f(4,x)≥2

ACD [A项中，当x<0时，x＋eq \f(1,x)<0<2，∴A错误．

B项中，eq \f(x2＋2,\r(x2＋2))＝eq \r(x2＋2)≥eq \r(2)，∴B正确．

C项中，eq \f(x2＋3,\r(x2＋4))＝eq \r(x2＋4)－eq \f(1,\r(x2＋4))，

当x＝0时，eq \f(x2＋3,\r(x2＋4))＝eq \f(3,2)<2，显然选项C不正确．

D项中，取x＝1,2－3x－eq \f(4,x)<2，∴D错误．]

12．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则( )

A．ab≤eq \f(1,2) B．ab≥eq \f(1,2)

C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3

C [∵a≥0，b≥0，且a＋b＝2，∴ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)＝1，

而4＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)，

∴a2＋b2≥2.]

13．(一题两空)当x＝________时，x2＋eq \f(1,x2)取得最小值________．

±1 2 [∵x2＋eq \f(1,x2)≥2eq \r(x2·\f(1,x2))＝2，

当且仅当x2＝eq \f(1,x2)，即x＝±1时，等号成立．]

14．设a，b为非零实数，给出不等式：

①eq \f(a2＋b2,2)≥ab；②eq \f(a2＋b2,2)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2；

③eq \f(a＋b,2)≥eq \f(ab,a＋b)；④eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)≥2.

其中恒成立的不等式是________．

①② [由重要不等式a2＋b2≥2ab可知①正确；

eq \f(a2＋b2,2)＝eq \f(2a2＋b2,4)＝eq \f(a2＋b2＋a2＋b2,4)≥eq \f(a2＋b2＋2ab,4)

＝eq \f(a＋b2,4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)，故②正确；当a＝b＝－1时，不等式的左边为eq \f(a＋b,2)＝－1，右边为eq \f(ab,a＋b)＝－eq \f(1,2)，可知③不正确；令a＝1，b＝－1可知④不正确．]

15．已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c＞eq \r(ab)＋eq \r(bc)＋eq \r(ca).

[证明] ∵a＞0，b＞0，c＞0，

∴eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)，eq \f(b＋c,2)≥eq \r(bc)，eq \f(c＋a,2)≥eq \r(ca)，

∴eq \f(a＋b,2)＋eq \f(b＋c,2)＋eq \f(c＋a,2)≥eq \r(ab)＋eq \r(bc)＋eq \r(ca)，

即a＋b＋c≥eq \r(ab)＋eq \r(bc)＋eq \r(ca).

由于a，b，c不全相等，

∴等号不成立，

∴a＋b＋c＞eq \r(ab)＋eq \r(bc)＋eq \r(ca).

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