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数学必修 第一册3.4 函数的应用（一）练习
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这是一份数学必修 第一册3.4 函数的应用（一）练习，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
课时分层作业(二十二) 函数的应用(一)
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．某厂日产手套的总成本y(元)与日产量x(双)之间的关系为y＝5x＋40 000.而手套出厂价格为每双10元，要使该厂不亏本至少日产手套( )
A．2 000双 B．4 000双
C．6 000双 D．8 000双
D [由5x＋40 000≤10x，得x≥8 000，即日产手套至少8 000双才不亏本．]
2．甲、乙、丙、丁四辆玩具赛车同时从起点出发并做匀速直线运动，丙车最先到达终点．丁车最后到达终点．若甲、乙两车的图象如图所示，则对于丙、丁两车的图象所在区域，判断正确的是( )
A．丙在Ⅲ区域，丁在Ⅰ区域
B．丙在Ⅰ区城，丁在Ⅲ区域
C．丙在Ⅱ区域，丁在Ⅰ区域
D．丙在Ⅲ区域，丁在Ⅱ区域
A [由图象，可得相同时间内丙车行驶路程最远，丁车行驶路程最近，即丙在Ⅲ区域，丁在Ⅰ区域，故选A.]
3．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x，1≤x<10，x∈N*，,2x＋10， 10≤x<100，x∈N*,1.5x，x≥100，x∈N*.))其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数．若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )
A．15 B．40
C．25 D．130
C [令y＝60.
若4x＝60，则x＝15>10，不合题意；
若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；
若1.5x＝60，则x＝40<100，不合题意．
故拟录用25人．]
4．商店某种货物的进价下降了8%，但销售价不变，于是这种货物的销售利润率eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(销售价－进价,进价)×100%))由原来的r%增加到(r＋10)%，则r的值等于( )
A．12 B．15
C．25 D．50
B [设原销售价为a，原进价为x，可以列出方程组：
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a－x,x)×100%＝\f(r,100)，,\f(a－x1－8%,x1－8%)×100%＝\f(10＋r,100)，))
解这个方程组，消去a，x，可得r＝15.]
5．一个人以6 m/s的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25 m时，交通灯由红变绿，汽车以1 m/s2的加速度匀加速开走，那么( )
A．此人可在7 s内追上汽车
B．此人可在10 s内追上汽车
C．此人追不上汽车，其间距最少为5 m
D．此人追不上汽车，其间距最少为7 m
D [设汽车经过t s行驶的路程为s m，则s＝eq \f(1,2)t2，车与人的间距d＝(s＋25)－6t＝eq \f(1,2)t2－6t＋25＝eq \f(1,2)(t－6)2＋7.当t＝6时，d取得最小值7.]
二、填空题
6．经市场调查，某商品的日销售量(单位：件)和价格(单位：元/件)均为时间t(单位：天)的函数．日销售量为f(t)＝2t＋100，价格为g(t)＝t＋4，则该种商品的日销售额S(单位：元)与时间t的函数解析式为S(t)＝________.
2t2＋108t＋400，t∈N [日销售额＝日销售量×价格，故S＝f(t)×g(t)＝(2t＋100)×(t＋4)＝2t2＋108t＋400，t∈N.]
7．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是________cm2.
2eq \r(3) [设一个三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为(4－x)cm，两个三角形的面积和为S＝eq \f(\r(3),4)x2＋eq \f(\r(3),4)(4－x)2＝eq \f(\r(3),2)(x－2)2＋2eq \r(3)≥2eq \r(3)，
这两个正三角形面积之和的最小值是2eq \r(3)cm2.]
8．国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超出800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全稿酬的11.2%纳税．某人出版了一书共纳税420元，这个人的稿费为________元．
3 800 [若这个人的稿费为4 000元时，应纳税(4 000－800)×14%＝448(元)．
又∵420＜448，∴此人的稿费应在800到4 000之间，设为x，∴(x－800)×14%＝420，解得x＝3 800元．]
三、解答题
9．某校校长暑假将带领该校市级三好学生去北京旅游．甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠”．乙旅行社说：“包括校长在内，全部按票价的6折(即按全票价的60%收费)优惠”．若全票价为240元．
(1)设学生数为x人，甲旅行社收费为y甲元，乙旅行社收费为y乙元，分别写出两家旅行社的收费y甲，y乙与学生数x之间的解析式；
(2)当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样？
(3)就学生人数讨论哪家旅行社更优惠？
[解] (1)y甲＝120x＋240(x∈N＋)，
y乙＝(x＋1)×240×60%＝144(x＋1)(x∈N＋)．
(2)由120x＋240＝144x＋144，解得x＝4，即当学生数为4人时，两家旅行社的收费一样．
(3)当x<4时，乙旅行社更优惠；当x>4时，甲旅行社更优惠．
10．一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别是40 cm与60 cm，现在将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，问怎样剪才能使剩下的残料最少？并求出此时残料的面积．
[解] 设直角三角形为△ABC，AC＝40，BC＝60，矩形为CDEF，如图所示，设CD＝x，CF＝y，则由Rt△AFE∽Rt△EDB得eq \f(AF,ED)＝eq \f(FE,BD)，即eq \f(40－y,y)＝eq \f(x,60－x)，解得y＝40－eq \f(2,3)x，
记剩下的残料面积为S，则
S＝eq \f(1,2)×60×40－xy＝eq \f(2,3)x2－40x＋1 200＝eq \f(2,3)(x－30)2＋600(0＜x＜60)，
故当x＝30时，S最小值＝600，此时y＝20，
所以当x＝30，y＝20时，剩下的残料面积最小为600 cm2.
11．在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时价格曲线y＝f(x)，另一种是平均价格曲线y＝g(x)，如f(2)＝3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g(2)＝3表示2小时内的平均价格为3元．下面给出了四个图象，实线表示y＝f(x)，虚线表示y＝g(x)，其中可能正确的是( )
C [根据即时价格与平均价格的相互依赖关系，可知，当即时价格升高时，对应平均价格也升高；反之，当即时价格降低时，对应平均价格也降低，故选项C中的图象可能正确．]
12．一个体户有一批货，如果月初售出可获利100元，再将本利都存入银行，已知银行月息为2.4%.如果月末售出，可获利120元，但要付保管费5元．这位个体户为获利最大，则这批货( )
A．月初售出好
B．月末售出好
C．月初或月末售出一样
D．由成本费的大小确定
D [设这批货物成本费为x元，若月初售出时，到月末共获利为100＋(x＋100)×2.4%；
若月末售出时，可获利为120－5＝115(元)．
可得100＋(x＋100)×2.4%－115＝2.4%×(x－525)．
∴当成本费大于525元时，月初售出好；当成本费小于525元时，月末售出好；当成本费等于525元时，月初或月末售出均可．]
13．已知直角梯形ABCD，如图(1)所示，动点P从点B出发，由B→C→D→A沿边运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为f(x)．如果函数y＝f(x)的图象如图(2)所示，则△ABC的面积为________．
图(1) 图(2)
16 [由题中图象可知BC＝4，CD＝5，DA＝5，
所以AB＝5＋eq \r(52－42)＝5＋3＝8.
所以S△ABC＝eq \f(1,2)×8×4＝16.]
14．(一题两空)如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝13，BC＝3，在AB，AD，CD，CB上分别截取AE，AH，CG，CF，且AE＝AH＝CG＝CF＝x，则x＝________时，四边形EFGH的面积最大，最大面积为________．
3 30 [设四边形EFGH的面积为S，则
S＝13×3－2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x2＋\f(1,2)13－x3－x))
＝－2x2＋16x＝－2(x－4)2＋32，x∈(0,3]．
因为S＝－2(x－4)2＋32在(0,3]上是增函数，
所以当x＝3时，S有最大值为30.]
15．通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲座开始时，学生兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f(x)表示学生接受概念的能力(f(x)的值愈大，表示接受的能力愈强)，x表示提出和讲授概念的时间(单位：分)，可有以下的公式
f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－0.1x2＋2.6x＋43，0
(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？
(2)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？
[解] (1)当0
由f(x)的图象(图略)可知，当0＜x≤10时递增，f(x)最大值＝f(10)＝59；
当10
当16
因此，开讲后10分钟，学生的接受能力最强，并能持续6分钟．
(2)∵f(5)＝－0.1×(5－13)2＋59.9＝53.5，
f(20)＝－3×20＋107＝47<53.5，
∴开讲后5分钟学生的接受能力比开讲后20分钟强.
课时分层作业(二十二) 函数的应用(一)
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．某厂日产手套的总成本y(元)与日产量x(双)之间的关系为y＝5x＋40 000.而手套出厂价格为每双10元，要使该厂不亏本至少日产手套( )
A．2 000双 B．4 000双
C．6 000双 D．8 000双
D [由5x＋40 000≤10x，得x≥8 000，即日产手套至少8 000双才不亏本．]
2．甲、乙、丙、丁四辆玩具赛车同时从起点出发并做匀速直线运动，丙车最先到达终点．丁车最后到达终点．若甲、乙两车的图象如图所示，则对于丙、丁两车的图象所在区域，判断正确的是( )
A．丙在Ⅲ区域，丁在Ⅰ区域
B．丙在Ⅰ区城，丁在Ⅲ区域
C．丙在Ⅱ区域，丁在Ⅰ区域
D．丙在Ⅲ区域，丁在Ⅱ区域
A [由图象，可得相同时间内丙车行驶路程最远，丁车行驶路程最近，即丙在Ⅲ区域，丁在Ⅰ区域，故选A.]
3．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x，1≤x<10，x∈N*，,2x＋10， 10≤x<100，x∈N*,1.5x，x≥100，x∈N*.))其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数．若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )
A．15 B．40
C．25 D．130
C [令y＝60.
若4x＝60，则x＝15>10，不合题意；
若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；
若1.5x＝60，则x＝40<100，不合题意．
故拟录用25人．]
4．商店某种货物的进价下降了8%，但销售价不变，于是这种货物的销售利润率eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(销售价－进价,进价)×100%))由原来的r%增加到(r＋10)%，则r的值等于( )
A．12 B．15
C．25 D．50
B [设原销售价为a，原进价为x，可以列出方程组：
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a－x,x)×100%＝\f(r,100)，,\f(a－x1－8%,x1－8%)×100%＝\f(10＋r,100)，))
解这个方程组，消去a，x，可得r＝15.]
5．一个人以6 m/s的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25 m时，交通灯由红变绿，汽车以1 m/s2的加速度匀加速开走，那么( )
A．此人可在7 s内追上汽车
B．此人可在10 s内追上汽车
C．此人追不上汽车，其间距最少为5 m
D．此人追不上汽车，其间距最少为7 m
D [设汽车经过t s行驶的路程为s m，则s＝eq \f(1,2)t2，车与人的间距d＝(s＋25)－6t＝eq \f(1,2)t2－6t＋25＝eq \f(1,2)(t－6)2＋7.当t＝6时，d取得最小值7.]
二、填空题
6．经市场调查，某商品的日销售量(单位：件)和价格(单位：元/件)均为时间t(单位：天)的函数．日销售量为f(t)＝2t＋100，价格为g(t)＝t＋4，则该种商品的日销售额S(单位：元)与时间t的函数解析式为S(t)＝________.
2t2＋108t＋400，t∈N [日销售额＝日销售量×价格，故S＝f(t)×g(t)＝(2t＋100)×(t＋4)＝2t2＋108t＋400，t∈N.]
7．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是________cm2.
2eq \r(3) [设一个三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为(4－x)cm，两个三角形的面积和为S＝eq \f(\r(3),4)x2＋eq \f(\r(3),4)(4－x)2＝eq \f(\r(3),2)(x－2)2＋2eq \r(3)≥2eq \r(3)，
这两个正三角形面积之和的最小值是2eq \r(3)cm2.]
8．国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超出800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全稿酬的11.2%纳税．某人出版了一书共纳税420元，这个人的稿费为________元．
3 800 [若这个人的稿费为4 000元时，应纳税(4 000－800)×14%＝448(元)．
又∵420＜448，∴此人的稿费应在800到4 000之间，设为x，∴(x－800)×14%＝420，解得x＝3 800元．]
三、解答题
9．某校校长暑假将带领该校市级三好学生去北京旅游．甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠”．乙旅行社说：“包括校长在内，全部按票价的6折(即按全票价的60%收费)优惠”．若全票价为240元．
(1)设学生数为x人，甲旅行社收费为y甲元，乙旅行社收费为y乙元，分别写出两家旅行社的收费y甲，y乙与学生数x之间的解析式；
(2)当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样？
(3)就学生人数讨论哪家旅行社更优惠？
[解] (1)y甲＝120x＋240(x∈N＋)，
y乙＝(x＋1)×240×60%＝144(x＋1)(x∈N＋)．
(2)由120x＋240＝144x＋144，解得x＝4，即当学生数为4人时，两家旅行社的收费一样．
(3)当x<4时，乙旅行社更优惠；当x>4时，甲旅行社更优惠．
10．一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别是40 cm与60 cm，现在将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，问怎样剪才能使剩下的残料最少？并求出此时残料的面积．
[解] 设直角三角形为△ABC，AC＝40，BC＝60，矩形为CDEF，如图所示，设CD＝x，CF＝y，则由Rt△AFE∽Rt△EDB得eq \f(AF,ED)＝eq \f(FE,BD)，即eq \f(40－y,y)＝eq \f(x,60－x)，解得y＝40－eq \f(2,3)x，
记剩下的残料面积为S，则
S＝eq \f(1,2)×60×40－xy＝eq \f(2,3)x2－40x＋1 200＝eq \f(2,3)(x－30)2＋600(0＜x＜60)，
故当x＝30时，S最小值＝600，此时y＝20，
所以当x＝30，y＝20时，剩下的残料面积最小为600 cm2.
11．在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时价格曲线y＝f(x)，另一种是平均价格曲线y＝g(x)，如f(2)＝3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g(2)＝3表示2小时内的平均价格为3元．下面给出了四个图象，实线表示y＝f(x)，虚线表示y＝g(x)，其中可能正确的是( )
C [根据即时价格与平均价格的相互依赖关系，可知，当即时价格升高时，对应平均价格也升高；反之，当即时价格降低时，对应平均价格也降低，故选项C中的图象可能正确．]
12．一个体户有一批货，如果月初售出可获利100元，再将本利都存入银行，已知银行月息为2.4%.如果月末售出，可获利120元，但要付保管费5元．这位个体户为获利最大，则这批货( )
A．月初售出好
B．月末售出好
C．月初或月末售出一样
D．由成本费的大小确定
D [设这批货物成本费为x元，若月初售出时，到月末共获利为100＋(x＋100)×2.4%；
若月末售出时，可获利为120－5＝115(元)．
可得100＋(x＋100)×2.4%－115＝2.4%×(x－525)．
∴当成本费大于525元时，月初售出好；当成本费小于525元时，月末售出好；当成本费等于525元时，月初或月末售出均可．]
13．已知直角梯形ABCD，如图(1)所示，动点P从点B出发，由B→C→D→A沿边运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为f(x)．如果函数y＝f(x)的图象如图(2)所示，则△ABC的面积为________．
图(1) 图(2)
16 [由题中图象可知BC＝4，CD＝5，DA＝5，
所以AB＝5＋eq \r(52－42)＝5＋3＝8.
所以S△ABC＝eq \f(1,2)×8×4＝16.]
14．(一题两空)如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝13，BC＝3，在AB，AD，CD，CB上分别截取AE，AH，CG，CF，且AE＝AH＝CG＝CF＝x，则x＝________时，四边形EFGH的面积最大，最大面积为________．
3 30 [设四边形EFGH的面积为S，则
S＝13×3－2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x2＋\f(1,2)13－x3－x))
＝－2x2＋16x＝－2(x－4)2＋32，x∈(0,3]．
因为S＝－2(x－4)2＋32在(0,3]上是增函数，
所以当x＝3时，S有最大值为30.]
15．通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲座开始时，学生兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f(x)表示学生接受概念的能力(f(x)的值愈大，表示接受的能力愈强)，x表示提出和讲授概念的时间(单位：分)，可有以下的公式
f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－0.1x2＋2.6x＋43，0
(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？
(2)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？
[解] (1)当0
由f(x)的图象(图略)可知，当0＜x≤10时递增，f(x)最大值＝f(10)＝59；
当10
当16
因此，开讲后10分钟，学生的接受能力最强，并能持续6分钟．
(2)∵f(5)＝－0.1×(5－13)2＋59.9＝53.5，
f(20)＝－3×20＋107＝47<53.5，
∴开讲后5分钟学生的接受能力比开讲后20分钟强.
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