高中4.2 指数函数课时作业

这是一份高中4.2 指数函数课时作业，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

课时分层作业(二十六) 指数函数的性质的应用


(建议用时：40分钟)





一、选择题


1．设a＝40.9，b＝80.48，c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(-1.5)，则( )


A．c>a>b B．b>a>c


C．a>b>c D．a>c>b


D [a＝40.9＝21.8，b＝80.48＝21.44，c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(-1.5)＝21.5，因为函数y＝2x在R上是增函数，且1.8>1.5>1.44，所以21.8>21.5>21.44，即a>c>b.]


2．若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2a＋1)

A．(1，＋∞) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))


C．(－∞，1) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))


B [∵函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)在R上为减函数，∴2a＋1>3－2a，∴a>eq \f(1,2).]


3．若函数f(x)＝3(2a－1)x＋3在R上是减函数，则实数a的取值范围是( )


A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))


C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))∪(1，＋∞) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))


A [由于底数3∈(1，＋∞)，所以函数f(x)＝3(2a－1)x＋3的单调性与y＝(2a－1)x＋3的单调性相同．因为函数f(x)＝3(2a－1)x＋3在R上是减函数，所以y＝(2a－1)x＋3在R上是减函数，所以2a－1<0，即a

4．已知函数f(x)＝3x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)，则f(x)( )


A．是奇函数，且在R上是增函数


B．是偶函数，且在R上是增函数


C．是奇函数，且在R上是减函数


D．是偶函数，且在R上是减函数


A [因为f(x)＝3x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)，定义域为R，所以f(－x)＝3－x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(-x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)－3x＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(3x－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)))＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数．


又y＝3x在R上是增函数，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)在R上是减函数，所以f(x)＝3x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)在R上是增函数．]


5．函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝2ax－1在[0,1]上的最大值是( )


A．6 B．1


C．3 D．eq \f(3,2)


C [函数y＝ax在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a0＋a1＝3，解得a＝2，因此函数y＝2ax－1＝4x－1在[0,1]上是单调递增函数，故x＝1时，ymax＝3.]


二、填空题


6．已知a＝eq \f(\r(5)－1,2)，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为________．


mf(n)，∴m

7．若－1

b1,0.2x>1，又因为0.5x<0.2x，所以b

8．函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(1－x2)的单调递增区间为________．


[0，＋∞) [由于底数eq \f(1,2)∈(0,1)，所以函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(1－x2)的单调性与y＝1－x2的单调性相反，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(1－x2)的单调递增区间就是y＝1－x2的单调递减区间．由y＝1－x2的图象(图略)可知：当x≤0时，y＝1－x2是增函数；当x≥0时，y＝1－x2是减函数，所以函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(1－x2)的单调递增区间为[0，＋∞)．]


三、解答题


9．求下列函数的单调区间：


(1)y＝aeq \s\up5(－x2＋3x＋2) (a>1)；(2)y＝2|x－1|.


[解] (1)设u＝－x2＋3x＋2＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(17,4)，易知u在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,2)))上是增函数，在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞))上是减函数，


∴a>1时，y＝au在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,2)))上是增函数，在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞))上是减函数．


故函数y＝a－x2＋3x＋2(a＞1)增区间为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,2)))，减区间为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞)).


(2)当x∈[1，＋∞)时，函数y＝2x－1，因为t＝x－1为增函数，y＝2t为增函数，


∴y＝2x－1在[1，＋∞)上为增函数；


当x∈(－∞，1)时，函数y＝21－x.


而t＝1－x为减函数，y＝2t为增函数，


∴y＝21－x为减函数．


故函数y＝2|x－1|在(－∞，1)上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数．


10．已知函数f(x)＝a－eq \f(1,2x＋1)(x∈R)．


(1)用定义证明：不论a为何实数，f(x)在R上为增函数；


(2)若f(x)为奇函数，求a的值；


(3)在(2)的条件下，求f(x)在区间[1,5]上的最小值．


[解] (1)证明：∵f(x)的定义域为R，任取x1

∵x1

∴2x1－2x2<0，(1＋2x1)(1＋2x2)>0，


∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)

∴不论a为何实数，f(x)在R上为增函数．


(2)∵f(x)在x∈R上为奇函数，


∴f(0)＝0，即a－eq \f(1,20＋1)＝0，解得a＝eq \f(1,2).


(3)由(2)知，f(x)＝eq \f(1,2)－eq \f(1,2x＋1)，


由(1)知，f(x)为增函数，


∴f(x)在区间[1,5]上的最小值为f(1)．


∵f(1)＝eq \f(1,2)－eq \f(1,3)＝eq \f(1,6)，


∴f(x)在区间[1,5]上的最小值为eq \f(1,6).





11．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)满足f(1)＝eq \f(1,9)，则f(x)的单调递减区间是( )


A．(－∞，2] B．[2，＋∞)


C. [－2，＋∞) D．(－∞，－2]


B [∵f(1)＝a|2－4|＝a2＝eq \f(1,9)，


∴a＝eq \f(1,3)，a＝－eq \f(1,3)(舍去)．


∴f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(|2x－4|).


∴f(x)的单调递减区间为[2，＋∞)．]


12．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－b，x<1，,2x，x≥1.))若feq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6)))))＝4，则b＝( )


A．1 B.eq \f(7,8)


C.eq \f(3,4) D．eq \f(1,2)


D [feq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6)))))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3×\f(5,6)－b))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)－b)).当eq \f(5,2)－b<1，即b>eq \f(3,2)时，3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)－b))－b＝4，解得b＝eq \f(7,8)(舍去)．当eq \f(5,2)－b≥1，即b≤eq \f(3,2)时，2eq \f(5,2)－b＝4＝22，解得b＝eq \f(1,2).]


13．已知函数f(x)＝eq \f(m·2x－1,2x＋1)为奇函数，则m的值等于________．


1 [由题意可知，f(0)＝eq \f(m·20－1,20＋1)＝eq \f(m－1,2)＝0，


∴m＝1.]


14．已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，则x的取值范围是________．


eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)) [∵a2＋a＋2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(7,4)>1，


∴y＝(a2＋a＋2)x为R上的增函数，


∴x>1－x，即x>eq \f(1,2).]





15．已知函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(ax2－4x＋3).


(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调增区间；


(2)如果函数f(x)有最大值3，求实数a的值．


[解] (1)当a＝－1时，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(－x2－4x＋3)，


令g(x)＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7，


由于g(x)在(－2，＋∞)上递减，


y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)在R上是减函数，


∴f(x)在(－2，＋∞)上是增函数，


即f(x)的单调增区间是(－2，＋∞)．


(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(h(x))，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1.


因此必有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,\f(12a－16,4a)＝－1，))


解得a＝1，


即当f(x)有最大值3时，a的值为1.