高中人教A版 (2019)第四章指数函数与对数函数本章综合与测试复习练习题

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这是一份高中人教A版 (2019)第四章指数函数与对数函数本章综合与测试复习练习题，共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

章末综合测评(四) 指数函数与对数函数

(满分：150分时间：120分钟)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若a

A.eq \r(2a－1) B．－eq \r(2a－1)

C.eq \r(1－2a) D．－eq \r(1－2a)

C [∵a

于是，原式＝eq \r(4,1－2a2)＝eq \r(1－2a).]

2．函数y＝eq \r(x－1)·ln(2－x)的定义域为( )

A．(1,2) B．[1,2)

C．(1,2] D．[1,2]

B [要使解析式有意义，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1≥0，,2－x>0，))解得1≤x<2，所以所求函数的定义域为[1,2)．]

3．下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是( )

A．y＝xeq \s\up12(eq \f(1,2)) B．y＝x4

C．y＝x－2 D．y＝xeq \s\up12(eq \f(1,3))

B [对A，y＝xeq \s\up12(eq \f(1,2))的定义域为[0，＋∞)，不是偶函数；C中，y＝x－2不过(0,0)点，D中，y＝xeq \s\up12(eq \f(1,3))是奇函数，B中，y＝x4满足条件．]

4．函数f(x)＝xeq \s\up12(eq \f(1,2))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)的零点个数为( )

A．0 B．1

C．2 D．3

B [令f(x)＝0，可得xeq \s\up12(eq \f(1,2))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)，在同一平面直角坐标系中分别画出幂函数y＝xeq \s\up12(eq \f(1,2))和指数函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)的图象，如图所示，可得交点只有一个，所以函数f(x)的零点只有一个．

]

5．若lga3＝m，lga5＝n，则a2m＋n的值是( )

A．15 B．75

C．45 D．225

C [由lga3＝m，得am＝3，由lga5＝n，得an＝5，

∴a2m＋n＝(am)2·an＝32×5＝45.]

6．已知a＝5eq \s\up12(lg23.4)，b＝5eq \s\up12(lg43.6)，c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))eq \s\up12(lg30.3)，则( )

A．a>b>c B．b>a>c

C．a>c>b D．c>a>b

C [c＝5eq \s\up12(lg3eq \f(10,3))，只需比较lg23.4，lg43.6，lg3eq \f(10,3)的大小，又0lg33.4>lg3eq \f(10,3)>1，所以a>c>b.]

7．函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的关系是( )

A．f(－4)＝f(1) B．f(－4)>f(1)

C．f(－4)

B [因为函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a>1，又函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的图象关于直线x＝－1对称，所以f(－4)>f(1)．]

8．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－2x，x≥2，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－1，x<2，))满足对任意的实数x1≠x2都有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)<0成立，则实数a的取值范围为( )

A．(－∞，2) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(13,8)))

C．(－∞，2] D．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,8)，2))

B [由题意知函数f(x)是R上的减函数，于是有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－2<0，,a－2×2≤\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)－1，))由此解得a≤eq \f(13,8)，即实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(13,8)))，选B.]

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．

9．关于函数f(x)＝eq \f(4x＋1,2x)说法正确的是( )

A．关于原点对称 B．关于直线y＝x对称

C．关于x轴对称 D．关于y轴对称

AD [易知f(x)的定义域为R，关于原点对称．

∵f(－x)＝eq \f(4－x＋1,2－x)＝eq \f(1＋4x,2x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称．]

10．定义域和值域均为[－a，a](常数a>0)的函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象如图所示，下列四个命题中正确的结论是( )

A．方程f[g(x)]＝0有且仅有三个解

B．方程g[f(x)]＝0有且仅有三个解

C．方程f[f(x)]＝0有且仅有九个解

D．方程g[g(x)]＝0有且仅有一个解

AD [根据函数的图象，函数f(x)的图象与x轴有3个交点，

所以，方程f[g(x)]＝0有且仅有三个解；

函数g(x)在区间上单调递减，

所以，方程g[g(x)]＝0有且仅有一个解．故选AD.]

11．设函数f(x)＝lgeq \s\d7(eq \f(1,2))x，下列四个命题正确的是( )

A．函数f(|x|)为偶函数

B．若f(a)＝|f(b)|其中a>0，b>0，a≠0，则ab＝1

C．函数f(－x2＋2x)在(1,3)上为单调递增函数

D．若0

ABD [f(x)＝lgeq \s\d7(eq \f(1,2))x，x>0.

函数f(|x|)＝lgeq \s\d7(eq \f(1,2))|x|，∵f(|－x|)＝f(|x|)，

∴f(|x|)为偶函数，A正确；

若f(a)＝|f(b)|其中a>0，b>0，∵a≠b，

∴f(a)＝|f(b)|＝－f|b|，

∴lgeq \s\d7(eq \f(1,2))a＋lgeq \s\d7(eq \f(1,2))b＝lgeq \s\d7(eq \f(1,2)) (ab)＝0，∴ab＝1.因此B正确．

函数f(－x2＋2x)＝lgeq \s\d7(eq \f(1,2)) (－x2＋2x)＝lgeq \s\d7(eq \f(1,2)) [－(x－1)2＋1]，由－x2＋2x>0，解得0

∴函数的定义域为(0,2)，因此在(1,3)上不具有单调性，C不正确；

若01－a，∴f(1＋a)<0

12．关于函数f(x)＝|ln|2－x||下列描述正确的有( )

A．函数f(x)在区间(1,2)上单调递增

B．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称

C．若x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝4

D．函数f(x)有且仅有两个零点

ABD [函数f(x)＝|ln|2－x||的图象如下图所示：

由图可得：

函数f(x)在区间(1,2)上单调递增，A正确；

函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，B正确；

若x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝4，C错误；

函数f(x)有且仅有两个零点，D正确．

故选ABD.]

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．

13．若f(x)＝eq \f(a·2x＋2a－1,2x＋1)为R上的奇函数，则实数a的值为________．

eq \f(1,3) [因为f(x)＝eq \f(a·2x＋2a－1,2x＋1)为R上的奇函数，所以f(0)＝0，即eq \f(a·20＋2a－1,20＋1)＝0，所以a＝eq \f(1,3).]

14．已知125x＝12.5y＝1 000，则eq \f(y－x,xy)＝________.

eq \f(1,3) [因为125x＝12.5y＝1 000，所以x＝lg125 1 000，y＝lg12.5 1 000，eq \f(y－x,xy)＝eq \f(1,x)－eq \f(1,y)＝lg1 000 125－lg1 000 12.5＝lg1 000eq \f(125,12.5)＝lg1 000 10＝eq \f(1,3).]

15．将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个．若每个涨价1元，则日销售量减少10个．为获得最大利润，则此商品日销售价应定为每个________元．

14 [设每个涨价x元，则实际销售价为10＋x元，销售的个数为100－10x，

则利润为y＝(10＋x)(100－10x)－8(100－10x)＝－10(x－4)2＋360(0≤x<10，x∈N)．因此，当x＝4，即售价定为每个14元时，利润最大．]

16．已知幂函数y＝f(x)的图象过点(8，m)和(9,3)．

(1)实数m的值为________；

(2)若函数g(x)＝af(x)(a>0，a≠1)在区间[16,36]上的最大值等于最小值的两倍，则实数a的值为________．(本题第一空2分，第二空3分)

(1)2eq \r(2) (2)eq \f(\r(2),2)或eq \r(2) [(1)设f(x)＝xα，依题意可得9α＝3，

∴α＝eq \f(1,2)，f(x)＝xeq \s\up12(eq \f(1,2))，

∴m＝f(8)＝8eq \s\up12(eq \f(1,2))＝2eq \r(2).

(2)g(x)＝aeq \r(x)，∵x∈[16,36]，

∴eq \r(x)∈[4,6]，

当0

由题意得a4＝2a6，解得a＝eq \f(\r(2),2)；

当a>1时，g(x)max＝a6，g(x)min＝a4，

由题意得a6＝2a4，解得a＝eq \r(2).

综上，所求实数a的值为eq \f(\r(2),2)或eq \r(2).]

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分10分)求值：

(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(1,4)))eq \s\up12(eq \f(1,2))－(－9.6)0－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\f(3,8)))eq \s\up12(－eq \f(2,3))＋(1.5)－2；

(2)lg25eq \f(1,2)·lg45－lgeq \s\d7(eq \f(1,3))3－lg24＋5lg52.

[解] (1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(1,4)))eq \s\up12(eq \f(1,2))－(－9.6)0－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\f(3,8)))eq \s\up12(－eq \f(2,3))＋(1.5)－2

＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)))eq \s\up12(eq \f(1,2))－1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(27,8)))eq \s\up12(－eq \f(2,3))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))－2

＝eq \f(3,2)－1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up12(－2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(2)＝eq \f(3,2)－1－eq \f(4,9)＋eq \f(4,9)＝eq \f(1,2).

(2)lg25eq \f(1,2)·lg45－lgeq \f(1,3)3－lg24＋5eq \s\up12(lg52)＝－eq \f(1,4)＋1－2＋2＝eq \f(3,4).

18．(本小题满分12分)已知指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)过点(－2,9)．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若f(2m－1)－f(m＋3)<0，求实数m的取值范围．

[解] (1)将点(－2,9)代入f(x)＝ax(a>0，a≠1)得a－2＝9，解得a＝eq \f(1,3)，∴f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x).

(2)∵f(2m－1)－f(m＋3)<0，

∴f(2m－1)

∵f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)为减函数，

∴2m－1>m＋3，解得m>4，

∴实数m的取值范围为(4，＋∞)．

19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x，x＞0，,3x，x≤0，))且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，求实数a的取值范围．

[解] 如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上的截距，由图可知，当a＞1时，直线y＝－x＋a与y＝lg2x只有一个交点．所以实数a的取值范围是(1，＋∞)．

20．(本小题满分12分)已知1≤x≤4，求函数f(x)＝lg2eq \f(x,4)·lg2eq \f(x,2)的最大值与最小值．

[解] ∵f(x)＝lg2eq \f(x,4)·lg2eq \f(x,2)

＝(lg2x－2)(lg2x－1)

＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg2x－\f(3,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(1,4)，

又∵1≤x≤4，∴0≤lg2x≤2，

∴当lg2x＝eq \f(3,2)，即x＝2eq \s\up12(eq \f(3,2))＝2eq \r(2)时，f(x)有最小值－eq \f(1,4).

当lg2x＝0时，f(x)有最大值2，此时x＝1.

即函数f(x)的最大值是2，最小值是－eq \f(1,4).

21．(本小题满分12分)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过15万元时，按销售利润的10%进行奖励；当销售利润超过15万元时，若超过部分为A万元，则超出部分按2lg5(A＋1)进行奖励，没超出部分仍按销售利润的10%进行奖励．记奖金总额为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．

(1)写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式；

(2)如果业务员老张获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？

[解] (1)由题意，得

y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0.1x，015.))

(2)∵当x∈(0,15]时，0.1x≤1.5，

又y＝5.5>1.5，∴x>15，

∴1.5＋2lg5(x－14)＝5.5，解得x＝39.

答：老张的销售利润是39万元．

22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－x,1＋x))).

(1)求证：f(x)是奇函数；

(2)求证：f(x)＋f(y)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋y,1＋xy)))；

(3)若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,1＋ab)))＝1，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a－b,1－ab)))＝2，求f(a)，f(b)的值．

[解] (1)证明：由函数f(x)＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－x,1＋x)))，可得eq \f(1－x,1＋x)>0，即eq \f(x－1,1＋x)<0，解得－1

(2)证明：f(x)＋f(y)＝lgeq \f(1－x,1＋x)＋lg eq \f(1－y,1＋y)＝lg eq \f(1－x1－y,1＋x1＋y)，

而feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋y,1＋xy)))＝lg eq \f(1－\f(x＋y,1＋xy),1＋\f(x＋y,1＋xy))

＝lgeq \f(1＋xy－x－y,1＋xy＋x＋y)＝lgeq \f(1－x1－y,1＋x1＋y)，

∴f(x)＋f(y)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋y,1＋xy)))成立．

(3)若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,1＋ab)))＝1，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a－b,1－ab)))＝2，

则由(2)可得f(a)＋f(b)＝1，f(a)－f(b)＝2，

解得f(a)＝eq \f(3,2)，f(b)＝－eq \f(1,2).