高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换第1课时同步训练题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换第1课时同步训练题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

课时分层作业(四十五) 两角差的余弦公式


(建议用时：40分钟)





一、选择题


1．cs 78°cs 18°＋sin 78°sin 18°＝( )


A.eq \f(\r(2),2) B．eq \f(1,2)


C.eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(1,2)


B [cs 78°cs 18°＋sin 78°sin 18°


＝cs(78°－18°)


＝cs 60°＝eq \f(1,2).]


2．满足cs αcs β＝eq \f(\r(3),2)－sin αsin β的一组α，β的值是( )


A．α＝eq \f(13π,12)，β＝eq \f(3π,4) B．α＝eq \f(π,2)，β＝eq \f(π,3)


C．α＝eq \f(π,2)，β＝eq \f(π,6) D．α＝eq \f(π,3)，β＝eq \f(π,4)


B [由已知得cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β＝eq \f(\r(3),2)，检验知选B.]


3．已知sin α＝eq \f(1,3)，α是第二象限角，则cs(α－60°)＝( )


A.eq \f(－\r(3)－2\r(2),6) B.eq \f(\r(3)－2\r(2),6)


C.eq \f(\r(3)＋2\r(2),6) D．eq \f(－\r(3)＋2\r(2),6)


B [因为sin α＝eq \f(1,3)，α是第二象限角，所以cs α＝－eq \f(2\r(2),3)，故cs(α－60°)＝cs αcs 60°＋sin αsin 60°＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(2),3)))×eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(－2\r(2)＋\r(3),6).]


4．已知点P(1，eq \r(2))是角α终边上一点，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))等于( )


A.eq \f(3＋\r(6),6) B.eq \f(3－\r(6),6)


C．－eq \f(3＋\r(6),6) D．eq \f(\r(6)－3,6)


A [由题意可得sin α＝eq \f(\r(6),3)，cs α＝eq \f(\r(3),3)，


cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝cseq \f(π,6)cs α＋sineq \f(π,6)sin α


＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(3),3)＋eq \f(1,2)×eq \f(\r(6),3)＝eq \f(3＋\r(6),6).]


5．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＝eq \f(5,13)，0＜θ＜eq \f(π,3)，则cs θ等于( )


A.eq \f(5\r(3)＋12,26) B.eq \f(12－5\r(3),13)


C.eq \f(5＋12\r(3),26) D．eq \f(5＋5\r(3),13)


A [∵θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))，


∴θ＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2)))，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))


＝eq \r(1－cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6))))＝eq \f(12,13).


cs θ＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))－\f(π,6)))


＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))cseq \f(π,6)＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))sineq \f(π,6)


＝eq \f(5,13)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(12,13)×eq \f(1,2)＝eq \f(5\r(3)＋12,26).]


二、填空题


6．化简：sin(α－β)sin(β－γ)＋cs(α－β)cs(γ－β)＝ .


cs(α＋γ－2β) [原式＝sin(α－β)sin(β－γ)＋cs(α－β)cs(β－γ)


＝cs(α－β)cs(β－γ)＋sin(α－β)sin(β－γ)


＝cs[(α－β)－(β－γ)]＝cs(α＋γ－2β)．]


7．在△ABC中，sin A＝eq \f(4,5)，cs B＝－eq \f(12,13)，则cs(A－B)＝ .


－eq \f(16,65) [因为cs B＝－eq \f(12,13)，且0

所以eq \f(π,2)

所以sin B＝eq \r(1－cs2 B)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,13)))eq \s\up12(2))＝eq \f(5,13)，且0

所以cs A＝eq \r(1－sin2 A)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))eq \s\up12(2))＝eq \f(3,5)，


所以cs(A－B)＝cs Acs B＋sin Asin B


＝eq \f(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,13)))＋eq \f(4,5)×eq \f(5,13)＝－eq \f(16,65).]


8．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sin α＝eq \f(1,3)，则cs(α－β)＝ .


－eq \f(7,9) [因为角α与角β均以Ox为始边，终边关于y轴对称，


所以sin β＝sin α＝eq \f(1,3)，cs β＝－cs α，


所以cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β


＝－cs2α＋sin2α


＝－(1－sin2α)＋sin2α


＝2sin2α－1


＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(2)－1＝－eq \f(7,9).]


三、解答题


9．已知cs α＝eq \f(1,7)，cs(α＋β)＝－eq \f(11,14)，且α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，求cs β的值．


[解] ∵α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，


∴α＋β∈(0，π)，


又cs α＝eq \f(1,7)，cs(α＋β)＝－eq \f(11,14)，


∴sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(4\r(3),7)，


sin(α＋β)＝eq \r(1－cs2α＋β)＝eq \f(5\r(3),14).


又β＝(α＋β)－α，


∴cs β＝cs[(α＋β)－α]＝cs(α＋β)cs α＋sin(α＋β)sin α


＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11,14)))×eq \f(1,7)＋eq \f(5\r(3),14)×eq \f(4\r(3),7)＝eq \f(1,2).


10．已知cs(α－β)＝－eq \f(4,5)，sin(α＋β)＝－eq \f(3,5)，eq \f(π,2)<α－β<π，eq \f(3π,2)<α＋β<2π，求β的值．


[解] ∵eq \f(π,2)<α－β<π，cs(α－β)＝－eq \f(4,5)，


∴sin(α－β)＝eq \f(3,5).∵eq \f(3π,2)<α＋β<2π，sin(α＋β)＝－eq \f(3,5)，


∴cs(α＋β)＝eq \f(4,5)，


∴cs 2β＝cs[(α＋β)－(α－β)]


＝cs(α＋β)cs(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)


＝eq \f(4,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))×eq \f(3,5)＝－1.


∵eq \f(π,2)<α－β<π，eq \f(3π,2)<α＋β<2π，


∴eq \f(π,2)<2β




11．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝－eq \f(\r(3),3)，则cs x＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＝( )


A．－eq \f(2\r(3),3) B．±eq \f(2\r(3),3)


C．－1 D．±1


C [cs x＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))


＝cs x＋eq \f(1,2)cs x＋eq \f(\r(3),2)sin x


＝eq \f(3,2)cs x＋eq \f(\r(3),2)sin x


＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs x＋\f(1,2)sin x))


＝eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝eq \r(3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)))＝－1.]


12.eq \f(2cs 10°－sin 20°,sin 70°)的值是( )


A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2)


C.eq \r(3) D．eq \r(2)


C [原式＝eq \f(2cs30°－20°－sin 20°,sin 70°)


＝eq \f(2cs 30°·cs 20°＋2sin 30°·sin 20°－sin 20°,sin 70°)


＝eq \f(\r(3)cs 20°,sin 70°)＝eq \f(\r(3)sin 70°,sin 70°)


＝eq \r(3).]


13．若cs αcs β－sin αsin β＝eq \f(1,5)，cs(α－β)＝eq \f(3,5)，则tan α·tan β＝ .


eq \f(1,2) [∵cs αcsβ＋sin αsin β＝cs(α－β)＝eq \f(3,5)，


cs αcs β－sin αsin β＝eq \f(1,5)，


解得cs αcs β＝eq \f(2,5)，sin αsin β＝eq \f(1,5)，


∴tan αtan β＝eq \f(sin αsin β,cs αcs β)＝eq \f(\f(1,5),\f(2,5))＝eq \f(1,2).]


14．(一题两空)若cs(α－β)＝eq \f(\r(5),5)，cs 2α＝eq \f(\r(10),10)，并且α，β均为锐角且α＜β，则cs(α＋β)＝ ，α＋β＝ .


－eq \f(\r(2),2) eq \f(3π,4) [sin(α－β)＝－eq \f(2\r(5),5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＜α－β＜0))，sin 2α＝eq \f(3\r(10),10)，


∴cs(α＋β)＝cs[2α－(α－β)]


＝cs 2αcs(α－β)＋sin 2αsin(α－β)


＝eq \f(\r(10),10)×eq \f(\r(5),5)＋eq \f(3\r(10),10)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)))＝－eq \f(\r(2),2)，


∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝eq \f(3π,4).]





15．已知0＜β＜eq \f(π,4)，eq \f(π,4)＜α＜eq \f(3π,4)，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(3,5)，


sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋β))＝eq \f(5,13)，求sin(α＋β)的值．


[解] ∵eq \f(π,4)＜α＜eq \f(3π,4)，∴－eq \f(π,2)＜eq \f(π,4)－α＜0.


∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝－eq \r(,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))eq \s\up12(2))＝－eq \f(4,5).


又∵0＜β＜eq \f(π,4)，


∴eq \f(3π,4)＜eq \f(3π,4)＋β＜π，


∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋β))＝－eq \r(,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,13)))eq \s\up12(2))＝－eq \f(12,13)，


sin(α＋β)＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α＋β))


＝－cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋β))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))))


＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋β))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋β))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))


＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,13)))×eq \f(3,5)－eq \f(5,13)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))


＝eq \f(56,65).