高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换第2课时同步练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换第2课时同步练习题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

课时分层作业(四十六) 两角和与差的正弦、余弦公式


(建议用时：40分钟)





一、选择题


1．化简sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＝( )


A．－sin x B．sin x


C．－cs x D．cs x


B [sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))


＝eq \f(1,2)sin x＋eq \f(\r(3),2)cs x＋eq \f(1,2)sin x－eq \f(\r(3),2)cs x


＝sin x．]


2．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17π,4)))－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17π,4)))的值是( )


A.eq \r(2) B．－eq \r(2)


C．0 D．eq \f(\r(2),2)


A [cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17π,4)))－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17π,4)))


＝eq \r(2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\f(π,4)cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17π,4)))－sin\f(π,4)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17π,4)))))


＝eq \r(2)cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17π,4)))))


＝eq \r(2)cs(－4π)＝eq \r(2).]


3．已知cs α＝eq \f(3,5)，cs(α－β)＝eq \f(7\r(2),10)，且0＜β＜α＜eq \f(π,2)，那么β＝( )


A.eq \f(π,12) B.eq \f(π,6)


C.eq \f(π,4) D．eq \f(π,3)


C [∵0＜β＜α＜eq \f(π,2)，


∴0＜α－β＜eq \f(π,2)，


由cs α＝eq \f(3,5)得sin α＝eq \f(4,5)，


由cs(α－β)＝eq \f(7\r(2),10)得sin(α－β)＝eq \f(\r(2),10)，


∴sin β＝sin[α－(α－β)]


＝sin αcs(α－β)－cs αsin(α－β)


＝eq \f(4,5)×eq \f(7\r(2),10)－eq \f(3,5)×eq \f(\r(2),10)


＝eq \f(25\r(2),50)＝eq \f(\r(2),2)，


∴β＝eq \f(π,4).]


4．如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC，ED，则sin∠CED等于( )





A.eq \f(3\r(10),10) B.eq \f(\r(10),10)


C.eq \f(\r(5),10) D．eq \f(\r(5),15)


B [由题意知sin∠BEC＝eq \f(1,\r(5))，


cs∠BEC＝eq \f(2,\r(5))，


又∠CED＝eq \f(π,4)－∠BEC，


所以sin∠CED＝sineq \f(π,4)cs∠BEC－cseq \f(π,4)sin∠BEC＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(2,\r(5))－eq \f(\r(2),2)×eq \f(1,\r(5))＝eq \f(\r(10),10).]


5．函数f(x)＝sin x－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))的值域为( )


A．[－2,2] B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\r(3)，\r(3)))


C．[－1,1] D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(\r(3),2)))


B [f(x)＝sin x－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))


＝sin x－eq \f(\r(3),2)cs x＋eq \f(1,2)sin x


＝eq \f(3,2)sin x－eq \f(\r(3),2)cs x


＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))，


所以函数f(x)的值域为[－eq \r(3)，eq \r(3)]．


故选B.]


二、填空题


6．若cs α＝－eq \f(1,3)，sin β＝－eq \f(\r(3),3)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，则sin(α＋β)的值为 ．


eq \f(5\r(3),9) [∵cs α＝－eq \f(1,3)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，


∴sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(2\r(2),3).


∵sin β＝－eq \f(\r(3),3)，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，


∴cs β＝eq \r(1－sin2β)＝eq \f(\r(6),3)，


∴sin(α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β


＝eq \f(2\r(2),3)×eq \f(\r(6),3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)))＝eq \f(5\r(3),9).]


7．在△ABC中，3sin A＋4cs B＝6,4sin B＋3cs A＝1，则角C等于 ．


30° [已知两式两边分别平方相加，得


25＋24(sin Acs B＋cs Asin B)＝37，


即25＋24sin(A＋B)＝37，


∴sin C＝sin(A＋B)＝eq \f(1,2)，


∴C＝30°或150°.


当C＝150°时，A＋B＝30°，


此时3sin A＋4cs B＜3sin 30°＋4cs 0°＝eq \f(11,2)与已知矛盾，∴C＝30°.]


8．设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cs x取得最大值，则cs θ＝ .


－eq \f(2\r(5),5) [f(x)＝eq \r(5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)sin x－\f(2\r(5),5)cs x))＝eq \r(5)sin(x－φ)，其中sin φ＝eq \f(2\r(5),5)，cs φ＝eq \f(\r(5),5).


由已知得sin(θ－φ)＝1，


∴cs(θ－φ)＝0，


∴cs θ＝cs[(θ－φ)＋φ]＝cs(θ－φ)cs φ－sin(θ－φ)sin φ＝－sin φ＝－eq \f(2\r(5),5).]


三、解答题


9．已知sin(α－β)cs α－cs(β－α)sin α＝eq \f(4,5)，β是第三象限角，求sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,4)))的值．


[解] ∵sin(α－β)cs α－cs(β－α)sin α


＝sin(α－β)cs α－cs(α－β)sin α


＝sin(α－β－α)＝sin(－β)＝－sin β＝eq \f(4,5)，


∴sin β＝－eq \f(4,5)，又β是第三象限角，


∴cs β＝－eq \r(1－sin2β)＝－eq \f(3,5)，


∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,4)))


＝sin βcseq \f(π,4)＋cs βsineq \f(π,4)


＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))×eq \f(\r(2),2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))×eq \f(\r(2),2)


＝－eq \f(7\r(2),10).


10．若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋α))＝eq \f(5,13)，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－β))＝eq \f(3,5)，且0＜α＜eq \f(π,4)＜β＜eq \f(3π,4)，求cs(α＋β)的值．


[解] ∵0＜α＜eq \f(π,4)＜β＜eq \f(3π,4)，


∴eq \f(3π,4)＜eq \f(3π,4)＋α＜π，－eq \f(π,2)＜eq \f(π,4)－β＜0.


又sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋α))＝eq \f(5,13)，


cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－β))＝eq \f(3,5)，


∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋α))＝－eq \f(12,13)，


sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－β))＝－eq \f(4,5)，


∴cs(α＋β)＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α＋β))


＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋α))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－β))))


＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋α))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－β))－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋α))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－β))


＝eq \f(5,13)×eq \f(3,5)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,13)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))


＝－eq \f(33,65).





11．在△ABC中，若sin(A－B)＝1＋2cs(B＋C)sin(A＋C)，则△ABC的形状一定是( )


A．等边三角形 B．不含60°的等腰三角形


C．钝角三角形 D．直角三角形


D [∵A＋B＋C＝180°，∴cs(B＋C)＝cs(180°－A)＝－cs A，sin(A＋C)＝sin(180°－B)＝sin B，


由sin(A－B)＝1＋2cs(B＋C)sin(A＋C)


得sin Acs B－cs Asin B＝1－2cs Asin B，


∴sin(A＋B)＝1，即sin C＝1，


∴C＝eq \f(π,2)，即△ABC是直角三角形．]


12．若tan α＝2taneq \f(π,5)，则eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,10))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,5))))等于( )


A．2 B．3


C．－eq \f(1,2) D．4


B [eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,10))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,5))))＝eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,5)－\f(π,2))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,5))))＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,5))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,5))))


＝eq \f(sin αcs\f(π,5)＋sin\f(π,5)cs α,sin αcs\f(π,5)－sin\f(π,5)cs α)＝eq \f(tan α＋tan\f(π,5),tan α－tan\f(π,5))


＝eq \f(2tan\f(π,5)＋tan\f(π,5),2tan\f(π,5)－tan\f(π,5))＝3.]


13．若cs(α－β)＝eq \f(1,3)，则(sin α＋sin β)2＋(cs α＋cs β)2＝ .


eq \f(8,3) [(sin α＋sin β)2＋(cs α＋cs β)2＝2＋2sin αsin β＋2cs αcs β＝2＋2cs(α－β)＝2＋eq \f(2,3)＝eq \f(8,3).]


14．(一题两空)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＋sin α＝－eq \f(4\r(3),5)，－eq \f(π,2)＜α＜0，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝ ，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(2π,3)))＝ .


－eq \f(4,5) eq \f(4,5) [∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＋sin α＝eq \f(1,2)sin α＋eq \f(\r(3),2)cs α＋sin α


＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin α＋\f(1,2)cs α))＝eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝－eq \f(4\r(3),5)，


∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝－eq \f(4,5)，


∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(2π,3)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝eq \f(4,5).]





15．已知函数f(x)＝eq \r(3)sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω＞0，－\f(π,2)≤φ＜\f(π,2)))的图象关于直线x＝eq \f(π,3)对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.


(1)求ω和φ的值．


(2)若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)))＝eq \f(\r(3),4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＜α＜\f(2π,3)))，求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2)))的值．


[解] (1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝eq \f(2π,T)＝2.


又因为f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,3)对称，


所以2·eq \f(π,3)＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)，k＝0，±1，±2，….


由－eq \f(π,2)≤φ＜eq \f(π,2)，得k＝0，


所以φ＝eq \f(π,2)－eq \f(2π,3)＝－eq \f(π,6).


(2)由(1)得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)))


＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2·\f(α,2)－\f(π,6)))＝eq \f(\r(3),4)，


所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝eq \f(1,4).


由eq \f(π,6)＜α＜eq \f(2π,3)得0＜α－eq \f(π,6)＜eq \f(π,2)，


所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6))))


＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(2))＝eq \f(\r(15),4).


因此cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2)))＝sin α


＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＋\f(π,6)))


＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))cseq \f(π,6)＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))sineq \f(π,6)


＝eq \f(1,4)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(\r(15),4)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(3)＋\r(15),8).