高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用精练

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用精练，共7页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

课时分层作业(五十一) 三角函数的应用


(建议用时：40分钟)





一、选择题1．如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s＝6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2πt＋\f(π,6)))，那么单摆摆动一个周期所需的时间为( )





A．2π s B．π s


C．0.5 s D．1 s


D [依题意是求函数s＝6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2πt＋\f(π,6)))的周期，T＝eq \f(2π,2π)＝1，故选D.]


2．函数f(x)的部分图象如图所示，则下列选项正确的是( )





A．f(x)＝x＋sin x


B．f(x)＝eq \f(cs x,x)


C．f(x)＝xcs x


D．f(x)＝xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3π,2)))


C [观察图象知函数为奇函数，排除D项；又函数在x＝0处有意义，排除B项；取x＝eq \f(π,2)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝0，A项不合适，故选C.]


3．下表是某市近30年来月平均气温(℃)的数据统计表：


则适合这组数据的函数模型是( )


A．y＝acseq \f(πx,6)


B．y＝acseq \f(x－1π,6)＋k(a＞0，k＞0)


C．y＝－acseq \f(x－1π,6)＋k(a＞0，k＞0)


D．y＝acseq \f(πx,6)－3


C [当x＝1时图象处于最低点，且易知a＝eq \f(－5.9＋22.8,2)＞0.故选C.]


4．如图，为一半径为3 m的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮自点A开始1 min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有( )





A．ω＝eq \f(2π,15)，A＝3 B．ω＝eq \f(15,2π)，A＝3


C．ω＝eq \f(2π,15)，A＝5 D．ω＝eq \f(15,2π)，A＝5


A [由题目可知最大值为5，∴5＝A×1＋2⇒A＝3.


T＝15，则ω＝eq \f(2π,15).故选A.]


5．如图是函数y＝sin x(0≤x≤π)的图象，A(x，y)是图象上任意一点，过点A作x轴的平行线，交其图象于另一点B(A，B可重合)．设线段AB的长为f(x)，则函数f(x)的图象是( )








A [当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，f(x)＝π－2x；当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))时，f(x)＝2x－π，故选A.]


二、填空题


6．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x－6))(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为 ℃.


20.5 [由题意可知A＝eq \f(28－18,2)＝5，a＝eq \f(28＋18,2)＝23.从而y＝5cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x－6))＋23.故10月份的平均气温值为y＝5cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)×4))＋23＝20.5.]


7．如图是弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动的函数解析式是 ．





y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)t＋\f(π,4))) [由题图可设y＝Asin(ωt＋φ)，则A＝2，


又T＝2(0.5－0.1)＝0.8，


所以ω＝eq \f(2π,0.8)＝eq \f(5,2)π，


所以y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)πt＋φ))，


将点(0.1,2)代入y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)t＋φ))中，


得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(φ＋\f(π,4)))＝1，


所以φ＋eq \f(π,4)＝2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，


即φ＝2kπ＋eq \f(π,4)，k∈Z，


令k＝0，得φ＝eq \f(π,4)，


所以y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)t＋\f(π,4))).]


8．一种波的波形为函数y＝－sineq \f(π,2)x的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t的最小值是 ．


7 [函数y＝－sineq \f(π,2)x的周期T＝4.且x＝3时y＝1取得最大值，因此t≥7.所以正整数t的最小值是7.]


三、解答题


9．已知某地一天从4时到16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＋20，x∈[4,16]．


(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差；


(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？


[解] (1)由函数易知，当x＝14时函数取最大值，即最高温度为30 ℃；当x＝6时函数取最小值，即最低温度为10 ℃.所以，最大温差为30 ℃－10 ℃＝20 ℃.


(2)令10sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＋20＝15，


可得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＝－eq \f(1,2).


而x∈[4,16]，所以x＝eq \f(26,3).


令10sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＋20＝25，


可得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＝eq \f(1,2)，而x∈[4,16]，


所以x＝eq \f(34,3).故该细菌的存活时间为eq \f(34,3)－eq \f(26,3)＝eq \f(8,3)小时．


10．如图所示，摩天轮的半径为40 m，O点距地面的高度为50 m，摩天轮作匀速转动，每2 min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最高点．





(1)试确定在时刻t min时P点距离地面的高度；


(2)在摩天轮转动一圈内，有多长时间P点距离地面超过70 m.


[解] 建立如图所示的平面直角坐标系





(1)设φ(0≤φ≤2π)是以Ox为始边，OP0为终边的角，OP在t min内转过的角为eq \f(2π,2)t，即πt.∴以Ox为始边，OP为终边的角为(πt＋φ)，即P点纵坐标为40sin(πt＋φ)，∴P点距地面的高度为z＝50＋40sin(πt＋φ)，(0≤φ≤2π)，


由题可知，φ＝eq \f(π,2)，∴z＝50＋40sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(πt＋\f(π,2)))＝50＋40csπt.


(2)当50＋40csπt≥70时，解之得，2k－eq \f(1,3)≤t≤2k＋eq \f(1,3)，持续时间为eq \f(2,3)min.


即在摩天轮转动一圈内，有eq \f(2,3)minP点距离地面超过70 m.





11．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)＝50＋4sineq \f(t,2)(0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的( )


A．[0,5] B．[5,10]


C．[10,15] D．[15,20]


C [当10≤t≤15时，有eq \f(3,2)π<5≤eq \f(t,2)≤eq \f(15,2)

12．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧eq \x\t(AP)的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是( )








A B C D


C [令AP所对圆心角为θ，由|OA|＝1，得l＝θ，sineq \f(θ,2)＝eq \f(d,2)，∴d＝2sineq \f(θ,2)＝2sineq \f(l,2)，


即d＝f(l)＝2sineq \f(l,2)(0≤l≤2π)，它的图象为C.]


13．国际油价在某一时间内呈现正弦波动规律：P＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωπt＋\f(π,4)))＋60(美元)(t(天)，A＞0，ω＞0)，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150(天)时达到最低油价，则ω的最小值为 ．


eq \f(1,120) [因为Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωπt＋\f(π,4)))＋60＝80，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωπt＋\f(π,4)))≤1，


所以A＝20，当t＝150(天)时达到最低油价，即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(150ωπ＋\f(π,4)))＝－1，此时150ωπ＋eq \f(π,4)＝2kπ－eq \f(π,2)，k∈Z，因为ω＞0，所以当k＝1时，ω取最小值，


所以150ωπ＋eq \f(π,4)＝eq \f(3,2)π，解得ω＝eq \f(1,120).]


14．已知角φ的终边经过点P(1，－1)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)图象上的任意两点，若|f(x1)－f(x2)|＝2时，|x1－x2|的最小值为eq \f(π,3)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝ .


－eq \f(\r(2),2) [由条件|f(x1)－f(x2)|＝2时，|x1－x2|的最小值为eq \f(π,3)，结合图象(略)可知函数f(x)的最小正周期为eq \f(2π,3)，则由T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,3)，得ω＝3.又因为角φ的终边经过点P(1，－1)，所以不妨取φ＝－eq \f(π,4)，则f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,4)))，于是feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝sineq \f(5π,4)＝－eq \f(\r(2),2).]





15．心脏跳动时，血压在增加或减少．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin 160πt，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：


(1)求函数p(t)的周期；


(2)求此人每分钟心跳的次数；


(3)画出函数p(t)的草图；


(4)求出此人的血压在血压计上的读数．


[解] (1)由于ω＝160π，代入周期公式T＝eq \f(2π,|ω|)，可得T＝eq \f(2π,160π)＝eq \f(1,80)(min)，所以函数p(t)的周期为eq \f(1,80) min.


(2)每分钟心跳的次数即为函数的频率f＝eq \f(1,T)＝80(次)．


(3)列表：


描点、连线并向左右扩展得到函数p(t)的简图如图所示：





(4)由图可知此人的收缩压为140 mmHg，舒张压为90 mmHg.


月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
平均温度
－5.9
－3.3
2.2
9.3
15.1
20.3
22.8
22.2
18.2
11.9
4.3
－2.4
t
0
eq \f(1,320)
eq \f(1,160)
eq \f(3,320)
eq \f(1,80)
p(t)
115
140
115
90
115