人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质第2课时学案设计

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质第2课时学案设计，共9页。学案主要包含了性质1等内容，欢迎下载使用。

第2课时 等式性质与不等式性质








在日常生活中，糖水中加些糖后就会变的更甜，也可以用不等式来表示这一现象．





问题：你能利用这一事实表示出糖水浓度不等式吗？


提示：糖水变甜这一现象对应的不等式为eq \f(a,b)＜eq \f(a＋c,b＋c)，其中a＜b，c＞0.





1．等式的性质


(1) 性质1：如果a＝b，那么b＝a；


(2) 性质2：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；


(3) 性质3：如果a＝b，那么a±c＝b±c；


(4) 性质4：如果a＝b，那么ac＝bc；


(5) 性质5：如果a＝b，c≠0，那么eq \f(a,c)＝eq \f(b,c).


2．不等式的基本性质


(1)性质1：a＞b⇔b＜a.


(2)性质2：a＞b，b＞c⇒a＞c.


(3)性质3：a＞b⇔a＋c＞b＋c.


(4)性质4：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc.


(5)性质5：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d.


(6)性质6：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd.


(7)性质7：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥2)．





1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)若a>b，则ac>bc一定成立．( )


(2)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d.( )


[提示] (1)错误．由不等式的可乘性知，当不等式两端同乘以一个正数时，不等号方向不变，因此若a>b，则ac>bc不一定成立．


(2)错误．取a＝4，c＝5，b＝6，d＝2.满足a＋c>b＋d，但不满足a>b.


[答案] (1)× (2)×


2．若a＞b，c＞d，则下列不等关系中不一定成立的是( )


A．a－b＞d－c B．a＋d＞b＋c


C．a－c＞b－c D．a－c＜a－d


B [根据不等式的性质．]


3．与a>b等价的不等式是( )


A．|a|>|b| B．a2>b2


C.eq \f(a,b)>1 D．a3>b3


D [可利用赋值法．令a＝－5，b＝0，则A、B正确而不满足a>b.再令a＝－3，b＝－1，则C正确而不满足a>b，故选D.]


4．用不等号“＞”或“＜”填空


(1)如果a＞b＞0，c＜d＜0，那么ac________bd；


(2)如果a＞b＞0，那么eq \f(1,a2)________eq \f(1,b2)；


(3)如果a＞b＞c＞0，那么eq \f(c,a)________eq \f(c,b).


(1)＜ (2)＜ (3)＜ [(1)∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.


又a＞b＞0，∴－ac＞－bd，即ac＜bd.


(2)∵a＞b＞0，∴a2＞b2＞0，


∴eq \f(1,a2)＜eq \f(1,b2).


(3)∵a＞b＞0，∴0＜eq \f(1,a)＜eq \f(1,b).


又∵c＞0，∴eq \f(c,a)＜eq \f(c,b).]








【例1】 对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是( )


A．若a＞b，则ac2＞bc2


B．若a＞b＞0，则eq \f(1,a)＞eq \f(1,b)


C．若a＜b＜0，则eq \f(b,a)＞eq \f(a,b)


D．若a＞b，eq \f(1,a)＞eq \f(1,b)，则a＞0，b＜0


[思路点拨] 本题可以利用不等式的性质直接判断命题的真假，也可以采用特殊值法判断．


D [法一：∵c2≥0，∴c＝0时，


有ac2＝bc2，故A为假命题；


由a＞b＞0，有ab＞0⇒eq \f(a,ab)＞eq \f(b,ab)⇒eq \f(1,b)＞eq \f(1,a)，


故B为假命题；


eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a＜b＜0⇒－a＞－b＞0⇒－\f(1,b)＞－\f(1,a)＞0,a＜b＜0⇒－a＞－b＞0))⇒eq \f(a,b)＞eq \f(b,a)，


故C为假命题；


eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a＞b⇒b－a＜0,\f(1,a)＞\f(1,b)⇒\f(1,a)－\f(1,b)＞0⇒\f(b－a,ab)＞0))ab＜0.


∵a＞b，∴a＞0且b＜0，故D为真命题．


法二：特殊值排除法．


取c＝0，则ac2＝bc2，故A错．


取a＝2，b＝1，则eq \f(1,a)＝eq \f(1,2)，eq \f(1,b)＝1.


有eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)，故B错．


取a＝－2，b＝－1，


则eq \f(b,a)＝eq \f(1,2)，eq \f(a,b)＝2，有eq \f(b,a)＜eq \f(a,b)，故C错．


故D为真命题．]





运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质.解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算.





eq \([跟进训练])


1．下列命题正确的是( )


A．若a2＞b2，则a＞b


B．若eq \f(1,a)＞eq \f(1,b)，则a＜b


C．若ac＞bc，则a＞b


D．若eq \r(a)＜eq \r(b)，则a＜b


D [A错，例如(－3)2＞22；B错，例如eq \f(1,2)＞eq \f(1,－3)；C错，例如当c＝－2，a＝－3，b＝2时，有ac＞bc，但a＜b.故D正确．]





【例2】 若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：eq \f(e,a－c2)＞eq \f(e,b－d2).


[思路点拨] 可结合不等式的基本性质，分析所证不等式的结构，有理有据地导出证明结果．


[证明] ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.


又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0.


∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.


两边同乘以eq \f(1,a－c2b－d2)，


得eq \f(1,a－c2)＜eq \f(1,b－d2).


又e＜0，∴eq \f(e,a－c2)＞eq \f(e,b－d2).





利用不等式的性质证明不等式的注意事项


1利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.


2应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.





eq \([跟进训练])


2．已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac

[证明] ∵a>b，c>0，∴ac>bc.


又∵e>f，∴e＋ac>f＋bc，


∴e－bc>f－ac，∴f－ac




[探究问题]


1．小明同学做题时进行如下变形：


∵2

∴eq \f(1,3)

又∵－6

∴－2

你认为正确吗？为什么？


提示：不正确．因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，但同乘以一个负数，不等号方向改变，在本题中只知道－6

2．由－6

提示：不正确．因为同向不等式具有可加性，但不能相减，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变形，而不可随意“创造”性质．


3．你知道下面的推理、变形错在哪儿吗？


∵2

∴－4

又∵－2

∴0

∴－3

这怎么与－2

提示：利用几个不等式的范围来确定某不等式的范围要注意：同向不等式两边可以相加(相乘)，这种转化不是等价变形．本题中将2

【例3】 已知1＜a＜4,2＜b＜8，试求a－b与eq \f(a,b)的取值范围．


[思路点拨] 依据不等式的性质，找到－b与eq \f(1,b)的范围，进而求出a－b与eq \f(a,b)的取值范围．


[解] 因为1＜a＜4,2＜b＜8，


所以－8＜－b＜－2.


所以1－8＜a－b＜4－2，


即－7＜a－b＜2.


又因为eq \f(1,8)＜eq \f(1,b)＜eq \f(1,2)，所以eq \f(1,8)＜eq \f(a,b)＜eq \f(4,2)＝2，


即eq \f(1,8)＜eq \f(a,b)＜2.





求含字母的数或式子的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘不可除.





eq \([跟进训练])


3．已知－eq \f(π,2)≤α＜β≤eq \f(π,2)，求eq \f(α＋β,2)，eq \f(α－β,2)的取值范围．


[解] ∵－eq \f(π,2)≤α＜β≤eq \f(π,2)，


∴－eq \f(π,4)≤eq \f(α,2)＜eq \f(π,4)，－eq \f(π,4)＜eq \f(β,2)≤eq \f(π,4)，


两式相加，得－eq \f(π,2)＜eq \f(α＋β,2)＜eq \f(π,2).


∵－eq \f(π,4)＜eq \f(β,2)≤eq \f(π,4)，


∴－eq \f(π,4)≤－eq \f(β,2)＜eq \f(π,4).


∴－eq \f(π,2)≤eq \f(α－β,2)＜eq \f(π,2).


又知α＜β，∴eq \f(α－β,2)＜0.


故－eq \f(π,2)≤eq \f(α－β,2)＜0.


即－eq \f(π,2)＜eq \f(α＋β,2)＜eq \f(π,2)，－eq \f(π,2)≤eq \f(α－β,2)＜0.








1．记牢2组性质


(1)等式的5个性质；(2)不等式的7个性质．


2．掌握不等式性质的应用条件


(1)性质1和性质2，分别称为“对称性”与“传递性”，在它们的证明中，要用到比较大小的“定义”等知识．


(2)性质3(即可加性)的依据是移项法则“不等式中任何一项的符号变成相反的符号后，可以把它从一边移到另一边”．


(3)性质4(即可乘性)在使用中要特别注意研究“乘数的符号” .


(4)性质5(即同向可加性)，即“同向不等式只能相加，不等号方向不变，不能相减”．


(5)性质6和性质7(即同向同正可乘性，可乘方性)，即均为正数的同向不等式相乘，得同向不等式，并无相除式．


3．规避1个易错


注意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可逆性．





1．设x

A．x2ax>a2


C．x2a2>ax


B [∵xa2.∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax.又ax－a2＝a(x－a)>0，∴ax>a2.∴x2>ax>a2.]


2．如果a＞b＞0，c＞d＞0，则下列不等式中不正确的是( )


A．a－d＞b－c B．－eq \f(a,d)＜－eq \f(b,c)


C．a＋d＞b＋c D．ac＞bd


C [由已知及不等式的性质可得a＋c＞b＋d，


即a－d＞b－c，所以A正确；


由c＞d＞0，得eq \f(1,d)＞eq \f(1,c)＞0.


又a＞b＞0，所以eq \f(a,d)＞eq \f(b,c)，－eq \f(a,d)＜－eq \f(b,c)，即B正确；


显然D正确，因此不正确的选项是C.]


3．若－1＜α＜β＜1，则下列各式中恒成立的是( )


A．－2＜α－β＜0 B．－2＜α－β＜－1


C．－1＜α－β＜0 D．－1＜α－β＜1


A [由－1＜α＜1，－1＜β＜1，


得－1＜－β＜1.


∴－2＜α－β＜2，但α＜β，


故知－2＜α－β＜0.]


4．下列命题中，真命题是________(填序号)．


①若a＞b＞0，则eq \f(1,a2)＜eq \f(1,b2)；②若a＞b，则c－2a＜c－2b；


③若a＜0，b＞0，则eq \r(－a)＜eq \r(b)；④若a＞b，则2a＞2b.


①②④ [①a＞b＞0⇒0＜eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)⇒eq \f(1,a2)＜eq \f(1,b2)；②a＞b⇒－2a＜－2b⇒c－2a＜c－2b；对③取a＝－2，b＝1，则eq \r(－a)＜eq \r(b)不成立．④正确．]


5．若bc－ad≥0，bd>0.求证：eq \f(a＋b,b)≤eq \f(c＋d,d).


[证明] 因为bc－ad≥0，所以ad≤bc，


因为bd>0，所以eq \f(a,b)≤eq \f(c,d)，


所以eq \f(a,b)＋1≤eq \f(c,d)＋1，


所以eq \f(a＋b,b)≤eq \f(c＋d,d).


学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握不等式的性质．(重点)


2．能利用不等式的性质进行数或式的大小比较或不等式的证明．(难点)


3．通过类比等式与不等式的性质，探索两者之间的共性与差异.
1.通过不等式性质的判断与证明，培养逻辑推理能力．


2．借助不等式性质求范围问题，提升数学运算素养.
利用不等式性质判断命题真假
利用不等式性质证明简单不等式
不等式性质的应用