高中人教A版 (2019)3.1 函数的概念及其表示第2课时导学案

这是一份高中人教A版 (2019)3.1 函数的概念及其表示第2课时导学案，共9页。

第2课时 分段函数








教材P68－例6，求得函数M(x)的解析式为M(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋12，x≤－1，,x＋1，－1＜x≤0，,x＋12，x＞0.))


问题：(1)函数M(x)的解析式的个数是几？


(2)函数M(x)有什么特点？


提示：(1)函数M(x)只有1个解析式．


(2)当x≤－1，－1＜x≤0，x＞0时，函数M(x)的表达式不相同．





分段函数


如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．


思考：分段函数是一个函数还是几个函数？


提示：分段函数是一个函数，而不是几个函数．





1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)分段函数由几个函数构成．( )


(2)函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，x≤1，,－x＋3，x>1))是分段函数．( )


[答案] (1)× (2)√


2．下列给出的式子是分段函数的是( )


①f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋1，1≤x≤5，,2x，x<1.))


②f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，x∈R，,x2，x≥2.))


③f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3，1≤x≤5，,x2，x≤1.))


④f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋3，x<0，,x－1，x≥5.))


A．①② B．①④


C．②④ D．③④


B [结合分段函数的定义可知①④是分段函数，②③中不同对应关系的定义域有重叠部分，故选B.]


3．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，x≤1，,－x＋3，x>1，))则f(f(4))＝________.


0 [∵f(4)＝－4＋3＝－1，f(－1)＝－1＋1＝0，


∴f(f(4))＝f(－1)＝0.]


4．函数r＝f(p)的图象如图所示，则它的定义域为________，值域为________．





(图中，曲线l与直线m无限接近，但永不相交)


[答案] [－5,0]∪[2,6) [0，＋∞)








【例1】 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，x≤－2，,x2＋2x，－2

(1)求f(－5)，f(－eq \r(3))，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)))))的值；


(2)若f(a)＝3，求实数a的值．


[解] (1)由－5∈(－∞，－2]，－eq \r(3)∈(－2,2)，－eq \f(5,2)∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，


f(－eq \r(3))＝(－eq \r(3))2＋2×(－eq \r(3))＝3－2eq \r(3).


∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)))＝－eq \f(5,2)＋1＝－eq \f(3,2)，


而－2<－eq \f(3,2)<2，


∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)))))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))eq \s\up12(2)＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝eq \f(9,4)－3＝－eq \f(3,4).


(2)当a≤－2时，a＋1＝3，


即a＝2>－2，不合题意，舍去．


当－2

即a2＋2a－3＝0.


∴(a－1)(a＋3)＝0，


解得a＝1或a＝－3.


∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，


∴a＝1符合题意．


当a≥2时，2a－1＝3，即a＝2符合题意．


综上可得，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2.





1．分段函数求函数值的方法：


(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．


(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．


2．已知函数值求字母取值的步骤：


(1)先对字母的取值范围分类讨论．


(2)然后代入不同的解析式中．


(3)通过解方程求出字母的值．


(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．


提醒：求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．





eq \([跟进训练])


1．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－3，x≥10，,ffx＋5，x<10，))则f(7)＝________.


8 [∵函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－3，x≥10，,ffx＋5，x<10，))


∴f(7)＝f(f(12))＝f(9)＝f(f(14))＝f(11)＝8.]





【例2】 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：


(1)5公里以内(含5公里)，票价2元；


(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)．


如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．


[解] 设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0,20]．


由题意得函数的解析式如下：


y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2，0

函数图象如图所示：








1．当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．


2．通过本例让学生初步尝试用分段函数解决实际问题的意识，培养学生的建模素养．





eq \([跟进训练])


2.如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2eq \r(2) cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象．





[解] 过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H.





因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝2eq \r(2) cm，


所以BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm，


又BC＝7 cm，所以AD＝GH＝3 cm.


(1)当点F在BG上，即x∈[0,2]时，y＝eq \f(1,2)x2；


(2)当点F在GH上，即x∈(2,5]时，y＝eq \f(x＋x－2,2)×2＝2x－2；


(3)当点F在HC上，即x∈(5,7]时，y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF＝eq \f(1,2)(7＋3)×2－eq \f(1,2)(7－x)2


＝－eq \f(1,2)(x－7)2＋10.


综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为


y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x2，x∈[0，2]，,2x－2，x∈2，5]，,－\f(1,2)x－72＋10，x∈5，7].))


图象如图所示．








[探究问题]


1．函数f(x)＝|x－2|能用分段函数的形式表示吗？能否作出其图象？


提示：能．f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2，x≥2，,2－x，x<2.))


函数f(x)的图象如图所示．





2．结合探究点1，你能说一下画含有绝对值的函数图象的方法吗？


提示：含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．


【例3】 已知函数f(x)＝1＋eq \f(|x|－x,2)(－2

(1)用分段函数的形式表示f(x)；


(2)画出f(x)的图象；


(3)写出函数f(x)的值域．


[思路点拨] (1)分－2

(2)利用(1)的结论可画出图象；


(3)由(2)中得到的图象，找到图象最高点和最低点的纵坐标，可得值域．


[解] (1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋eq \f(x－x,2)＝1，


当－2

f(x)＝1＋eq \f(－x－x,2)＝1－x，


∴f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，0≤x≤2，,1－x，－2

(2)函数f(x)的图象如图所示．





(3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．





把本例条件改为“f(x)＝|x|－2”，再求本例的3个问题．


[解] (1)f(x)＝|x|－2＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2，x≥0，,－x－2，x<0.))


(2)函数的图象如图所示．





(3)由图可知，f(x)的值域为[－2，＋∞)．





分段函数图象的画法


作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.











1．掌握1个概念——分段函数


(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数．


(2)分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．


(3)分段函数的图象


分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据分段函数每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意确定每段图象的端点是空心点还是实心点，各段函数图象组合到一起就可得到整个分段函数的图象．


2．规避1个误区


作分段函数图象时要注意街接点的虚实．





1．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋1，x≤1，,\f(2,x)，x>1，))则f(f(3))＝( )


A.eq \f(1,5) B．3


C.eq \f(2,3) D．eq \f(13,9)


D [∵f(3)＝eq \f(2,3)≤1，


∴f(f(3))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(2)＋1＝eq \f(13,9).]


2．已知函数y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋1，x≤0，,－2x，x＞0，))则使函数值为5的x的值是( )


A．－2 B．2或－eq \f(5,2)


C．2或－2 D．2或－2或－eq \f(5,2)


A [当x≤0时，


x2＋1＝5，x＝－2.


当x＞0时，－2x＜0，不合题意．


故x＝－2.]


3．函数y＝x＋eq \f(|x|,x)的图象是( )





A B C D


C [对于y＝x＋eq \f(|x|,x)，当x＞0时，y＝x＋1；当x＜0时，y＝x－1.


即y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，x＞0，,x－1，x＜0，))故其图象应为C.]


4．函数y＝f(x)的图象如图所示，则其解析式为________．





f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，0≤x≤1，,2，1

当1

综上f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，0≤x≤1，,2，1

5．已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，－1≤x≤1，,1，x>1或x<－1.))


(1)画出f(x)的图象；


(2)求f(x)的定义域和值域．


[解] (1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示．





(2)由条件知，函数f(x)的定义域为R.由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]，


当x>1或x<－1时，f(x)＝1，


所以f(x)的值域为[0,1]．


学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象．(重点，难点)


2．能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题．(重点、难点)


3．通过本节内容的学习，使学生了解分段函数的含义，提高学生数学建模、数学运算的能力．(重点)
1.通过分段函数求值问题培养数学运算素养．


2．利用分段函数解决实际问题，培养数学建模素养．



分段函数的求值问题
分段函数的解析式
分段函数的图象及应用