人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质第1课时学案设计

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3.2 函数的基本性质


3.2.1 单调性与最大(小)值


第1课时 函数的单调性








德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究．他经过测试，得到了以下一些数据：


以上数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数．艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”，如图．





问题：(1)当时间间隔t逐渐增大，你能看出对应的函数值y有什么变化趋势？通过这个试验，你打算以后如何对待刚学过的知识？


(2)“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？


提示：(1)随着时间间隔t逐渐增大，函数值y逐渐变小，这个试验告诉我们，在以后的学习中，我们应及时复习刚学习过的知识．


(2)“艾宾浩斯遗忘曲线”是减函数曲线．





1．增函数与减函数的定义


思考1：增(减)函数定义中的x1，x2有什么特征？


提示：定义中的x1，x2有以下3个特征：


(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；


(2)有大小，通常规定x1

(3)属于同一个单调区间．


2．函数的单调性与单调区间


如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．


思考2：函数y＝eq \f(1,x)在定义域上是减函数吗？


提示：不是．y＝eq \f(1,x)在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上也递减，但不能说y＝eq \f(1,x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减．





1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性．( )


(2)若函数y＝f(x)在区间[1,3]上是减函数，则函数y＝f(x)的单调递减区间是[1,3]．( )


(3)函数f(x)为R上的减函数，则f(－3)>f(3)．( )


(4)若函数y＝f(x)在定义域上有f(1)

( )


(5)若函数f(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，则f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．( )


[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×


2．函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是( )





A．[－4,4]


B．[－4，－3]∪[1,4]


C．[－3,1]


D．[－3,4]


C [由图可知，函数y＝f(x)的单调递增区间为[－3,1]，选C.]


3．已知函数f(x)＝kx＋b，当k＞0时，f(x)在R上为________函数；当k＜0时，f(x)在R上为________函数．(填“增”或“减”)


[答案] 增 减


4．函数f(x)＝x2－2x＋3的单调减区间是________．


(－∞，1] [因为f(x)＝x2－2x＋3是图象开口向上的二次函数，其对称轴为x＝1，所以函数f(x)的单调减区间是(－∞，1]．]





【例1】 求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．


(1)f(x)＝－eq \f(1,x)；(2)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋1，x≥1，,5－x，x<1；))


(3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.


[解] (1)函数f(x)＝－eq \f(1,x)的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数．


(2)当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．


(3)因为f(x)＝－x2＋2|x|＋3＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋2x＋3，x≥0，,－x2－2x＋3，x<0.))


根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，


函数f(x)的单调区间为(－∞，－1]，(－1,0)，[0,1)，[1，＋∞)．


f(x)在(－∞，－1]，[0,1)上是增函数，在(－1,0)，[1，＋∞)上是减函数．








求函数单调区间的方法


(1)利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解；


(2)利用函数的图象，如本例(3)．


提醒：若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开，如本例(3)．





eq \([跟进训练])


1．(1)根据如图所示，写出函数在每一单调区间上函数是增函数还是减函数；





(2)写出y＝|x2－2x－3|的单调区间．


[解] (1)函数在[－1,0]，[2,4]上是减函数，在[0,2]，[4,5]上是增函数．


(2)先画出


f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x－3，x<－1或x>3，,－x2－2x－3，－1≤x≤3))的图象，如图．





所以y＝|x2－2x－3|的单调减区间为(－∞，－1]，[1,3]；单调增区间为[－1,1]，[3，＋∞)．





【例2】 (教材P79例3改编)证明函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)在(0,1)上是减函数．


[思路点拨] eq \x(设元0

eq \(――→,\s\up14(变形))eq \x(判号：fx1>fx2)eq \(――→,\s\up14(结论))eq \x(减函数)


[证明] 设x1，x2是区间(0,1)上的任意两个实数，且x1

∵0

∴x1－x2<0,0

∴eq \f(x1－x2－1＋x1x2,x1x2)>0，即f(x1)>f(x2)，


∴f(x)＝x＋eq \f(1,x)在(0,1)上是减函数．





利用定义证明函数单调性的步骤


1取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1

2作差变形：作差fx1－fx2，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子.


3定号：确定fx1－fx2的符号.


4结论：根据fx1－fx2的符号及定义判断单调性.


提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式乘积的形式.





eq \([跟进训练])


2．试用函数单调性的定义证明：f(x)＝eq \f(2x,x－1)在(1，＋∞)上是减函数．


[证明] f(x)＝2＋eq \f(2,x－1)，


设x1>x2>1，


则f(x1)－f(x2)＝eq \f(2,x1－1)－eq \f(2,x2－1)＝eq \f(2x2－x1,x1－1x2－1)，


因为x1>x2>1，


所以x2－x1<0，x1－1>0，x2－1>0，


所以f(x1)

所以f(x)在(1，＋∞)上是减函数．





[探究问题]


1．若函数f(x)是其定义域上的增函数，且f(a)>f(b)，则a，b满足什么关系．如果函数f(x)是减函数呢？


提示：若函数f(x)是其定义域上的增函数，那么当f(a)>f(b)时，a>b；若函数f(x)是其定义域上的减函数，那么当f(a)>f(b)时，a

2．决定二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c单调性的因素有哪些？


提示：开口方向和对称轴的位置，即字母a的符号及－eq \f(b,2a)的大小．


【例3】 (1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________．


(2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为________．


[思路点拨] (1)eq \x(分析fx的对称轴与区间的关系) eq \(―――――→,\s\up7(数形结合))eq \x(建立关于a的不等式)eq \(――→,\s\up14( ))eq \x(求a的范围)


(2)eq \x(f2x－3>f5x－6) eq \(――――――――――――――――→,\s\up7(f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数))eq \x(建立关于x的不等式)eq \(――→,\s\up14( ))eq \x(求x的范围)


(1)(－∞，－4] (2)(－∞，1) [(1)∵f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的开口向下，要使f(x)在(－∞，3]上是增函数，


只需－(a＋1)≥3，即a≤－4.


∴实数a的取值范围为(－∞，－4]．


(2)∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，


∴2x－3>5x－6，


即x<1.


∴实数x的取值范围为(－∞，1)．]





1．(变条件)若本例(1)的函数f(x)在(1,2)上是单调函数，求a的取值范围．


[解] 由题意可知－(a＋1)≤1或－(a＋1)≥2，即a≤－3或a≥－2.


所以a的取值范围为(－∞，－3]∪[－2，＋∞)．


2．(变条件)若本例(2)的函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，求x的范围．


[解] 由题意可知，


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－3>0，,5x－6>0，,2x－3<5x－6，))解得x>eq \f(3,2).


∴x的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞)).





函数单调性的应用


1函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.


2若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的.











1．理解1个概念——函数的单调性


定义单调性时应强调x1，x2在其定义域内的任意性，其本质是把区间上无限多个函数值的大小比较转化为两个任意值的大小比较．


2．掌握1个步骤——证明函数的单调性


证明函数的单调性(利用定义)一定要严格遵循设元、作差、变形、 定号、结论的步骤，特别在变形上，一定要注意因式分解、配方等技巧的运用，直到符号判定水到渠成才可．


3．树立2种意识——等价转化、数形结合


已知函数单调性求参数的范围时，要树立两种意识：一是等价转化意识， 如f(x)在D上递增，则f(x1)

4．规避1个易错——单调区间的记法


函数的单调区间不能用并集．





1．如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是( )





A．函数在区间[－5，－3]上单调递增


B．函数在区间[1,4]上单调递增


C．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减


D．函数在区间[－5,5]上没有单调性


C [由图可知，f(x)在区间[－3,1]，[4,5]上单调递减，单调区间不可以用并集“∪”连接，故选C.]


2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是减函数的是( )


A．y＝－eq \f(1,x) B．y＝x


C．y＝x2 D．y＝1－x


D [函数y＝1－x在区间(0，＋∞)上是减函数，其余函数在(0，＋∞)上均为增函数，故选D.]


3．设(a，b)，(c，d)都是f(x)的单调增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1＜x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系为( )


A．f(x1)＜f(x2) B．f(x1)＞f(x2)


C．f(x1)＝f(x2) D．不能确定


D [根据函数单调性的定义知，所取两个自变量必须是同一单调区间内的值时，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中的x1，x2不在同一单调区间内，故f(x1)与f(x2)的大小不能确定．]


4．如果函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b的取值范围为________．


b≤3 [函数f(x)＝x2－2bx＋2的图象是开口向上，且以直线x＝b为对称轴的抛物线，


若函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b≤3.]


5．证明：函数y＝eq \f(x,x＋1)在(－1，＋∞)上是增函数．


[证明] 设x1>x2>－1，则


y1－y2＝eq \f(x1,x1＋1)－eq \f(x2,x2＋1)＝eq \f(x1－x2,x1＋1x2＋1).


∵x1>x2>－1，∴x1－x2>0，x1＋1>0，x2＋1>0，


∴eq \f(x1－x2,x1＋1x2＋1)>0，


即y1－y2>0，y1>y2，


∴y＝eq \f(x,x＋1)在(－1，＋∞)上是增函数．


学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图象理解和研究函数的单调性．(重点、难点)


2．会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性．(难点)


3．会求一些具体函数的单调区间．(重点)
1.借助单调性的证明，培养逻辑推理素养．


2．利用求单调区间及应用单调性解题，培养直观想象和数学运算素养．
时间间隔t
刚记忆完毕
20分钟后
60分钟后
8～9小时后
1天后
2天后
6天后
一个月后
记忆量y (百分比)
100
58.2
44.2
35.8
33.7
27.8
25.4
21.1
条件
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1，x2∈D，当x1＜x2时
都有f(x1)＜f(x2)
都有f(x1)＞f(x2)
结论
那么就称函数f(x)在区间D上是增函数
那么就称函数f(x)在区间D上是减函数
图示
求函数的单调区间
函数单调性的判定与证明
函数单调性的应用