高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质本章综合与测试学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质本章综合与测试学案，共8页。




[巩固层·知识整合]





[提升层·题型探究]





【例1】 (1)求函数y＝eq \r(5－x)＋eq \r(x－1)－eq \f(1,x2－9)的定义域．


(2)将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的解析式，并写出此函数的定义域．


[解] (1)解不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5－x≥0，,x－1≥0，,x2－9≠0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤5，,x≥1，,x≠±3，))


故函数的定义域是{x|1≤x≤5且x≠3}．


(2)设矩形的一边长为x，则另一边长为eq \f(1,2)(a－2x)，


所以y＝x·eq \f(1,2)(a－2x)＝－x2＋eq \f(1,2)ax，定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(0




1．已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．


2．实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义．





eq \([跟进训练])


1．函数f(x)＝eq \f(3x2,\r(1－x))＋(3x－1)0的定义域是( )


A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,3))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1))


C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(1,3))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1))


D [由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x>0，,3x－1≠0，))得x<1且x≠eq \f(1,3)，故选D.]





【例2】 (1)函数f(x)在R上为奇函数，当x>0时，f(x)＝eq \r(x)＋1，则f(x)的解析式为______．


(2)已知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋x,x)))＝eq \f(1＋x2,x2)＋eq \f(1,x)，则f(x)的解析式为________．


(1)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋\r(x)，x>0,0，x＝0,－\r(－x)－1，x<0))


(2)f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞) [(1)设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝eq \r(－x)＋1.∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，


即－f(x)＝eq \r(－x)＋1，∴f(x)＝－eq \r(－x)－1.


∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，


∴f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋\r(x)，x>0，,0，x＝0，,－\r(－x)－1，x<0.))


(2)令t＝eq \f(1＋x,x)＝eq \f(1,x)＋1，则t≠1.把x＝eq \f(1,t－1)代入feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋x,x)))＝eq \f(1＋x2,x2)＋eq \f(1,x)，得f(t)＝eq \f(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t－1)))eq \s\up24(2),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t－1)))eq \s\up24(2))＋eq \f(1,\f(1,t－1))


＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1.


所以所求函数的解析式为


f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．]





求函数解析式的题型与相应的解法


1已知形如fgx的解析式求fx的解析式，使用换元法或配凑法.


2已知函数的类型往往是一次函数或二次函数，使用待定系数法.


3含fx与f－x或fx与feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))，使用解方程组法.,4已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法.





eq \([跟进训练])


2．(1)已知f(x)－3f(－x)＝2x－1，则f(x)＝________.


(2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b∈R，a≠0)满足条件：①当x∈R时，f(x)的图象关于直线x＝－1对称；②f(1)＝1；③f(x)在R上的最小值为0.求函数f(x)的解析式．


(1)eq \f(1,2)x＋eq \f(1,2) [因为f(x)－3f(－x)＝2x－1，以－x代替x得f(－x)－3f(x)＝－2x－1，两式联立得f(x)＝eq \f(1,2)x＋eq \f(1,2).]


(2)[解] 因为f(x)的对称轴为x＝－1，


所以－eq \f(b,2a)＝－1即b＝2a，


又f(1)＝1，即a＋b＋c＝1，


由条件③知：a>0，且eq \f(4ac－b2,4a)＝0，


即b2＝4ac，由上可求得a＝eq \f(1,4)，b＝eq \f(1,2)，c＝eq \f(1,4)，


所以f(x)＝eq \f(1,4)x2＋eq \f(1,2)x＋eq \f(1,4).





【例3】 已知函数f(x)＝eq \f(ax＋b,1＋x2)是定义在(－1,1)上的奇函数，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(2,5).


(1)确定函数f(x)的解析式；


(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数．


[思路点拨] (1)用f(0)＝0及feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(2,5)求a，b的值；


(2)用单调性的定义求解．


[解] (1)由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f0＝0，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝\f(2,5)，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝0，))


故f(x)＝eq \f(x,1＋x2).


(2)任取－1

则f(x1)－f(x2)＝eq \f(x1,1＋x\\al(2,1))－eq \f(x2,1＋x\\al(2,2))＝eq \f(x1－x21－x1x2,1＋x\\al(2,1)1＋x\\al(2,2)).


∵－10,1＋xeq \\al(2,2)>0.


又－10，


∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x)在(－1,1)上是增函数．





(变条件)把本例条件“奇函数”改为“偶函数”，求f(x)的解析式．


[解] 由题意可知，f(－x)＝f(x)，即eq \f(－ax＋b,1＋x2)＝eq \f(ax＋b,1＋x2)，∴a＝0，


又feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(2,5)，∴b＝eq \f(1,2)，∴f(x)＝eq \f(1,2＋2x2).





巧用奇偶性及单调性解不等式


1利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为fx1fx2的形式.


2根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式求解.








【例4】 某通信公司为了配合客户的不同需要，现设计A，B两种优惠方案，这两种方案的应付话费y(元)与通话时间x(分钟)之间的关系如图所示(实线部分)．(注：图中MN∥CD)





(1)若通话时间为2小时，则按方案A，B各付话费多少元？


(2)方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？


(3)通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠？


[思路点拨] 两种方案都是由线性函数组成的分段函数，结合图形可求出函数的解析式，然后再根据题意解题．


[解] 由图可知M(60,98)，N(500,230)，C(500,168)，MN∥CD.


设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为fA(x)，fB(x)，


则fA(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(98，0≤x≤60，,\f(3,10)x＋80，x>60，))


fB(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(168，0≤x≤500，,\f(3,10)x＋18，x>500.))


(1)易知，通话2小时，两种方案的话费分别为116元，168元．


(2)因为fB(n＋1)－fB(n)＝eq \f(3,10)(n＋1)＋18－eq \f(3,10)n－18＝0.3，(n>500)，


所以方案B从500分钟以后，每分钟收费0.3元．


(3)由图可知，当0≤x≤60时，有fA(x)

当x>500时，fA(x)>fB(x)．


当60

当60fA(x)；当eq \f(880,3)≤x≤500时，fA(x)>fB(x)．


即当通话时间在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(880,3)，＋∞))时，方案B才会比方案A优惠．





1．对于给出图象的应用性问题，首先我们可以根据函数图象用待定系数法求出解析式，然后再用函数解析式来解决问题，最后再转化成具体问题，作出解答．


2．对于借助函数图象表达题目信息的问题，读懂图象是解题的关键．





eq \([跟进训练])


3．在对口扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型残疾人企业乙，并约定该店经营的利润，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料中有：


①这种消费品的进价每件14元；②该店月销售量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示；③每月需各种开支2 000元．





(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？求最大余额；


(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？


[解] 设该店月利润余额为L，则由题设得


L＝Q(P－14)×100－3 600－2 000，①


由销售图易得：


Q＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2P＋50，14≤P≤20，,－\f(3,2)P＋40，20

代入①式得


L＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2P＋50·P－14×100－5 600，14≤P≤20，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)P＋40))·P－14×100－5 600，20

(1)当14≤P≤20时，L最大值＝450元，这时P＝19.5元，


当20

故当P＝19.5元，月利润余额最大为450元．


(2)设可在n年内脱贫，


依题意有


12n×450－50 000－58 000≥0.


解得n≥20.


即最早可望在20年后脱贫．


[培优层·素养升华]


【例】 已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝eq \f(x＋1,x)与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则eq \i\su(i＝1,m, )(xi＋yi)＝( )


A．0 B．m


C．2m D．4m


B [由f(－x)＝2－f(x)可得eq \f(fx＋f－x,2)＝1.


则函数y＝f(x)图象上的点A(x，f(x))关于点M(0,1)的对称点A′(－x，f(－x))也在y＝f(x)的图象上．


又由y＝eq \f(x＋1,x)＝1＋eq \f(1,x)可知，函数y＝eq \f(x＋1,x)的图象也关于点M对称．因此，函数y＝eq \f(x＋1,x)与y＝f(x)的图象的交点关于点M对称．


不妨设x1

则eq \i\su(i＝1,m,x)i＝eq \f(x1＋xm,2)＋eq \f(x2＋xm－1,2)＋…＋eq \f(xm＋x1,2)＝0，


eq \i\su(i＝1,m,y)i＝eq \f(y1＋ym,2)＋eq \f(y2＋ym－1,2)＋…＋eq \f(ym＋y1,2)＝m，


所以eq \i\su(i＝1,m, )(xi＋yi)＝m.]





1．数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养．主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言予以表征．数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学产生、发展、应用的过程中．数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统．


2．本题的表述比较抽象，要求考生读懂条件中抽象函数y＝f(x)的图象关于点(0,1)对称，进而利用对称性求出eq \i\su(i＝1,m, )(xi＋yi)，对考生抽象数学符号语言的能力提出了较高的要求．同时，用具体函数y＝eq \f(x＋1,x)“暗示”了分析、理解这些抽象表述的方向——关注抽象函数y＝f(x)图象的对称性，这也进一步考查了考生是否可以从纷繁的信息中识别出对解决问题最有价值的信息，并正确选择、应用解决问题的方法的能力．





eq \([素养提升])


函数f：R→R，对任意的实数x，y，只要x＋y≠0，就有f(xy)＝eq \f(fx＋fy,x＋y)成立，则函数f(x)(x∈R)( )


A．一定是奇函数


B．一定是偶函数


C．既是奇函数又是偶函数


D．既不是奇函数也不是偶函数


C [令y＝x，则f(x2)＝eq \f(fx＋fx,x＋x)＝eq \f(fx,x).


又f(x2)＝f((－x)2)＝eq \f(f－x＋f－x,－x＋－x)＝－eq \f(f－x,x)，∴eq \f(fx,x)＝－eq \f(f－x,x)，即f(－x)＝－f(x)，其中x≠0.又f(0)＝f(0×1)＝eq \f(f0＋f1,0＋1)，∴f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0.又f(0)＝f(0×(－1))＝eq \f(f0＋f－1,0－1)＝－f(0)，∴f(0)＝0.∵f(x)＝f(1·x)＝eq \f(f1＋fx,1＋x)＝eq \f(fx,1＋x)(x≠0，x≠－1)，∴f(x)＝0(x≠0，x≠－1)．


综上，f(x)＝0(x∈R)，∴函数f(x)(x∈R)既是奇函数又是偶函数．


故选C.]


求函数的定义域
求函数的解析式
函数的性质及应用
函数的应用