数学必修 第一册4.2 指数函数第2课时学案

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第2课时 指数函数的性质的应用





【例1】 比较下列各组数的大小：


(1)1.52.5和1.53.2；


(2)0.6－1.2和0.6－1.5；


(3)1.70.2和0.92.1；


(4)a1.1与a0.3(a>0且a≠1)．


[解] (1)1.52.5，1.53.2可看作函数y＝1.5x的两个函数值，由于底数1.5>1，所以函数y＝1.5x在R上是增函数，因为2.5<3.2，所以1.52.5<


(2)0.6－1.2，0.6－1.5可看作函数y＝0.6x的两个函数值，


因为函数y＝0.6x在R上是减函数，


且－1.2>－1.5，所以0.6－1.2<0.6－1.5.


(3)由指数函数性质得，1.70.2>1.70＝1,0.92.1<0.90＝1，


所以1.70.2>


(4)当a>1时，y＝ax在R上是增函数，故a1.1>a0.3；


当0




比较幂的大小的方法


1同底数幂比较大小时构造指数函数，根据函数的单调性比较.


2指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象，当x取相同幂指数时可观察出函数值的大小.


3底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较.


4当底数含参数时，要按底数a>1和0




eq \([跟进训练])


1．比较下列各值的大小：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))eq \s\up12(eq \f(1,3))，2eq \s\up12(eq \f(2,3))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))eq \s\up12(3)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))eq \s\up12(eq \f(1,2)).


[解] 先根据幂的特征，将这4个数分类：


(1)负数：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))eq \s\up12(3)；(2)大于1的数：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))eq \s\up12(eq \f(1,3))，2eq \s\up12(eq \f(2,3))；(3)大于0且小于1的数：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))eq \s\up12(eq \f(1,2)).


(2)中，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))eq \s\up12(eq \f(1,3))<2eq \s\up12(eq \f(1,3))<2eq \s\up12(eq \f(2,3)) (也可在同一平面直角坐标系中，分别作出y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))eq \s\up12(x)，y＝2x的图象，再分别取x＝eq \f(1,3)，x＝eq \f(2,3)，比较对应函数值的大小，如图)，





故有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))eq \s\up12(3)

【例2】 (1)解不等式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(3x－1)≤2；


(2)已知ax2－3x＋10，a≠1)，求x的取值范围．


[解] (1)∵2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(－1)，∴原不等式可以转化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(3x－1)≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(－1).


∵y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)在R上是减函数，


∴3x－1≥－1，∴x≥0，


故原不等式的解集是{x|x≥0}．


(2)分情况讨论：


①当00，a≠1)在R上是减函数，


∴x2－3x＋1>x＋6，


∴x2－4x－5>0，


根据相应二次函数的图象可得x<－1或x>5；


②当a>1时，函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在R上是增函数，


∴x2－3x＋1

∴x2－4x－5<0，


根据相应二次函数的图象可得－1

综上所述，当05；当a>1时，－1




1．利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式．


2．解不等式af(x)>ag(x)(a>0，a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x)⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fx>gx，a>1，,fx




eq \([跟进训练])


2．若ax＋1>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))eq \s\up12(5－3)eq \s\up12(x) (a>0且a≠1)，求x的取值范围．


[解] 因为ax＋1>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))eq \s\up12(5－3x)，所以ax＋1>a3x－5，当a>1时，y＝ax在R上为增函数，可得x＋1>3x－5，所以x<3；


当03.


综上，当a>1时，x的取值范围为(－∞，3)；当0




[探究问题]


1．试结合图象，分析y＝2－x，y＝2|x|，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x＋1)的单调性，并写出相应单调区间．


提示：








2．结合探究1，分析函数y＝2|x|与函数y＝|x|的单调性是否一致？


提示：y＝2|x|的单调性与y＝|x|的单调性一致．


3．函数y＝aeq \s\up5(－x2) (a>0，且a≠1)的单调性与y＝－x2的单调性存在怎样的关系？


提示：分两类：(1)当a>1时，函数y＝aeq \s\up5(－x2)的单调性与y＝－x2的单调性一致；


(2)当0

【例3】 判断f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x2－2x)的单调性，并求其值域．


[思路点拨] eq \x(令u＝x2－2x)―→eq \x(函数ux的单调性)


―→eq \x(函数y＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(u)的单调性)eq \(――――→,\s\up7(同增异减))


[解] 令u＝x2－2x，则原函数变为y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(u).


∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(u)在(－∞，＋∞)上递减，


∴y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x2－2x)在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．


∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，


∴y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(u)，u∈[－1，＋∞)，


∴0

∴原函数的值域为(0,3]．





把本例的函数改为“f(x)＝2eq \s\up5(－x2＋2x)”，求其单调区间．


[解] 函数y＝2eq \s\up5(－x2＋2x)的定义域是R.


令u＝－x2＋2x，则y＝2u.


当x∈(－∞，1]时，函数u＝－x2＋2x为增函数，函数y＝2u是增函数，


所以函数y＝2eq \s\up5(－x2＋2x)在(－∞，1]上是增函数．


当x∈[1，＋∞)时，函数u＝－x2＋2x为减函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝2eq \s\up5(－x2＋2x)在[1，＋∞)上是减函数．


综上，函数y＝2eq \s\up5(－x2＋2x)的单调减区间是[1，＋∞)，单调增区间是(－∞，1]．





函数y＝af(x)(a>0，a≠1)的单调性的处理技巧


(1)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数是a>1还是0

(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调性．











1．掌握2种方法


比较两个指数式值的大小的主要方法


(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性．


(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且c>bn，则am>bn.


2．关注2类易错点


(1)解简单指数不等式问题的注意点


①形如ax>ay的不等式，可借助y＝ax的单调性求解．如果a的值不确定，需分01两种情况进行讨论．


②形如ax>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解．


③形如ax>bx的不等式，可借助图象求解．


(2)函数y＝af(x)的问题的注意点


①研究y＝af(x)型单调区间时，要注意a>1还是0

当a>1时，y＝af(x)与f(x)单调性相同．


当0

②研究y＝f(ax)型单调区间时，要注意ax属于f(u)的增区间还是减区间．





1．若2x＋1<1，则x的取值范围是( )


A．(－1,1) B．(－1，＋∞)


C．(0,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)


D [∵2x＋1<1＝20，且y＝2x是增函数，


∴x＋1<0，∴x<－1.]


2．下列判断正确的是( )


A．1.72.5＞1.73 B．0.82＜0.83


C．π2＜πeq \r(2) D．0.90.3＞0.90.5


D [∵y＝0.9x在定义域上是减函数，0.3＜0.5，∴0.90.3＞]


3．函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(1－x)的单调递增区间为( )


A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞)


C．(1，＋∞) D．(0,1)


A [由已知得，y＝f(x)的定义域为R.


设u＝1－x，


则y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(u).


因为u＝1－x在R上为减函数，


又因为y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(u)在(－∞，＋∞)上为减函数，


所以y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(1－x)在(－∞，＋∞)上为增函数，


所以选A.]


4．若f(x)＝3x＋1，则( )


A．f(x)在[－1,1]上单调递减


B．y＝3x＋1与y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)＋1的图象关于y轴对称


C．f(x)的图象过点(0,1)


D．f(x)的值域为[1，＋∞)


B [f(x)＝3x＋1在R上单调递增，则A错误；y＝3x＋1与y＝3－x＋1的图象关于y轴对称，则B正确；由f(0)＝2，得f(x)的图象过点(0,2)，则C错误；由3x>0，可得f(x)>1，则D错误．故选B.]


5．已知函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,9))).


(1)比较f(2)与f(b2＋2)的大小；


(2)求函数g(x)＝aeq \s\up5(－x2＋2x) (x≥0)的值域．


[解] (1)由已知得a2＝eq \f(1,9)，解得a＝eq \f(1,3)，因为f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)在R上递减，2≤b2＋2，所以f(2)≥f(b2＋2)．


(2)因为x≥0，所以x2－2x≥－1，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x2－2x)≤3，


即函数g(x)＝aeq \s\up5(－x2＋2x) (x≥0)的值域为(0,3]．


学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握指数函数的性质并会应用，能利用指数函数的单调性比较幂的大小及解不等式．(重点)


2．通过本节内容的学习，进一步体会函数图象是研究函数的重要工具，并能运用指数函数研究一些实际问题．(难点)
借助指数函数的性质及应用，培养逻辑推理和数学运算素养.
利用指数函数的单调性比较大小
利用指数函数的单调性解不等式
指数型函数单调性的综合应用