高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）导学案及答案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）导学案及答案，共8页。

4.5 函数的应用(二)


4.5.1 函数的零点与方程的解








路边有一条河，小明从A点走到了B点．观察下列两组画面，并推断哪一组能说明小明的行程一定渡过河？





(1) (2)


将这个实际问题抽象成数学模型．


问题：如图，若将河看成x轴，建立平面直角坐标系，A，B是人的起点和终点，则点A，B应该满足什么条件就能说明小明的行程一定渡过河？





提示：只要满足点A与点B分布在x轴的两侧即可，即图中A处的函数值与B处的函数值符号相反，这也是我们将要学习的零点的相关知识．





1．函数的零点


对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．


思考1：函数的零点是函数与x轴的交点吗？


提示：不是．函数的零点不是一点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点的横坐标．


2．方程、函数、函数图象之间的关系


方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点⇔函数y＝f(x)有零点．


3．函数零点存在定理


如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．


思考2：该定理具备哪些条件？


提示：定理要求具备两条：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0.





1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)f(x)＝x2的零点是0.( )


(2)若f(a)·f(b)>0，则f(x)在[a，b]内无零点．( )


(3)若f(x)在[a，b]上为单调函数，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．( )


(4)若f(x)在(a，b)内有且只有一个零点，则f(a)·f(b)<0.( )


[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×


2．下列各图象表示的函数中没有零点的是( )





A B C D


D [结合函数零点的定义可知选项D没有零点．]


3．函数y＝2x－1的零点是( )


A.eq \f(1,2) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))


C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) D．2


A [由2x－1＝0得x＝eq \f(1,2).]


4．函数f(x)＝3x－4的零点所在区间为( )


A．(0,1) B．(－1,0)


C．(2,3) D．(1,2)


D [由f(－1)＝－eq \f(11,3)<0，f(0)＝－3<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝5>0，f(3)＝23>0，得f(x)的零点所在区间为(1,2)．]








【例1】 (1)求函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x－3，x≤0，,－2＋ln x，x>0))的零点；


(2)已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点．


[解] (1)当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；


当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2.


所以函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x－3，x≤0,－2＋ln x，x>0))的零点为－3和e2.


(2)由已知得f(3)＝0即3a－b＝0，即b＝3a.


故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1)．


令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0，


解得x＝0或x＝－eq \f(1,3).


所以函数g(x)的零点为0和－eq \f(1,3).





函数零点的求法


1代数法：求方程fx＝0的实数根.


2几何法：对于不能用求根公式的方程fx＝0，可以将它与函数y＝fx的图象联系起来.图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.





eq \([跟进训练])


1．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出；否则，请说明理由．


(1)f(x)＝x2＋7x＋6；


(2)f(x)＝1－lg2(x＋3)；


(3)f(x)＝2x－1－3；


(4)f(x)＝eq \f(x2＋4x－12,x－2).


[解] (1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，


得x＝－1或x＝－6，


所以函数的零点是－1，－6.


(2)解方程f(x)＝1－lg2(x＋3)＝0，得x＝－1，所以函数的零点是－1.


(3)解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝lg26，所以函数的零点是lg26.


(4)解方程f(x)＝eq \f(x2＋4x－12,x－2)＝0，得x＝－6，所以函数的零点为－6.





【例2】 (1)函数f(x)＝ln(x＋1)－eq \f(2,x)的零点所在的大致区间是( )


A．(3,4) B．(2，e)


C．(1,2) D．(0,1)


(2)根据表格内的数据，可以断定方程ex－x－3＝0的一个根所在区间是( )


A.(－1,0) B．(0,1)


C．(1,2) D．(2,3)


(1)C (2)C [(1)因为f(1)＝ln 2－eq \f(2,1)<0，f(2)＝ln 3－1>0，且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，


所以函数的零点所在区间为(1,2)．故选C.


(2)构造函数f(x)＝ex－x－3，由上表可得f(－1)＝0.37－2＝－1.63<0，


f(0)＝1－3＝－2<0，


f(1)＝2.72－4＝－1.28<0，


f(2)＝7.39－5＝2.39>0，


f(3)＝20.08－6＝14.08>0，


f(1)·f(2)<0，所以方程的一个根所在区间为(1,2)，故选C.]





判断函数零点所在区间的三个步骤


1代入：将区间端点值代入函数求出函数的值.


2判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断.


3结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数， 则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点.





eq \([跟进训练])


2．若函数f(x)＝x＋eq \f(a,x)(a∈R)在区间(1,2)上有零点，则a的值可能是( )


A．－2 B．0


C．1 D．3


A [f(x)＝x＋eq \f(a,x)(a∈R)的图象在(1,2)上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a＝－2时，f(1)＝1－2＝－1<0，f(2)＝2－1＝1>0.故f(x)在区间(1,2)上有零点，同理，其他选项不符合，选A.]





[探究问题]


1．方程f(x)＝a的根的个数与函数y＝f(x)及y＝a的图象交点个数什么关系？


提示：相等．


2．若函数g(x)＝f(x)－a有零点，如何求实数a的范围？


提示：法一：g(x)＝f(x)－a有零点可知方程


f(x)－a＝0有解，即a＝f(x)有解．


故a的范围为y＝f(x)的值域．


法二：g(x)＝f(x)－a有零点，等价于函数y＝a与函数y＝f(x)的图象有交点，故可在同一坐标系中分别画出两函数的图象，观察交点情况即可．


【例3】 已知0

A．1 B．2


C．3 D．4


[思路点拨]


B [函数y＝a|x|－|lgax|(0




画出函数f(x)＝a|x|(0




1．把本例函数“y＝a|x|－|lgax|”改为“y＝2x|lgax|－1”，再判断其零点个数．


[解] 由2x|lgax|－1＝0得|lgax|＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up24(x)，作出y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up24(x)及y＝|lgax|(0




由图可知，两函数的图象有两个交点，


所以函数y＝2x|lgax|－1有两个零点．


2．若把本例条件换成“函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点”，求实数b的取值范围．


[解] 由f(x)＝|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b.


在同一平面直角坐标系中分别画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示．





则当0







1．理解2个知识点——零点的含义、零点存在定理


(1)在函数零点存在定理中，要注意三点：①函数是连续的；②定理不可逆；③至少存在一个零点．


(2)方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标．


2．掌握2种方法


(1)转化法：函数的零点转化为方程的根还可转化为函数图象与x轴的交点的横坐标．


(2)数形结合思想：借助图象交点确定零点及方程根的问题．


3．规避1个误区


零点不是点， 而是数，是图象与x轴交点的横坐标．





1．函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是( )


A．－eq \f(1,2)，－1 B．eq \f(1,2)，1


C.eq \f(1,2)，－1 D．－eq \f(1,2)，1


B [方程2x2－3x＋1＝0的两根分别为x1＝1，x2＝eq \f(1,2)，所以函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是eq \f(1,2)，1.]


2．函数f(x)＝2x－3的零点所在的区间是( )


A．(0,1) B．(1,2)


C．(2,3) D．(3,4)


B [∵f(1)＝2－3＝－1<0，f(2)＝4－3＝1>0，


∴f(1)·f(2)<0，即f(x)的零点所在的区间为(1,2)．]


3．对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)<0，则( )


A．方程f(x)＝0一定有实数解


B．方程f(x)＝0一定无实数解


C．方程f(x)＝0一定有两实根


D．方程f(x)＝0可能无实数解


D [∵函数f(x)的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)<0，但方程f(x)＝0在(－1,3)上可能无实数解．]


4．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数有________个零点．


2 [由Δ＝b2－4ac>0得二次函数y＝ax2＋bx＋c有两个零点．]


5．已知函数f(x)＝x2－x－2a.


(1)若a＝1，求函数f(x)的零点；


(2)若f(x)有零点，求实数a的取值范围．


[解] (1)当a＝1时，f(x)＝x2－x－2.


令f(x)＝x2－x－2＝0，得x＝－1或x＝2.


即函数f(x)的零点为－1和2.


(2)要使f(x)有零点，则Δ＝1＋8a≥0，解得a≥－eq \f(1,8)，


所以a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,8)，＋∞)).


学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系．(易混点)


2．会求函数的零点．(重点)


3．掌握函数零点存在定理并会判断函数零点的个数．(难点)
1.借助零点的求法培养数学运算和逻辑推理的素养．


2．借助函数的零点同方程根的关系，培养直观想象的数学素养.
求函数的零点
判断函数零点所在的区间
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.08
x＋3
2
3
4
5
6
函数零点的个数