高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.2 三角函数的概念学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.2 三角函数的概念学案，共13页。学案主要包含了，k∈Z).等内容，欢迎下载使用。

5.2.2 同角三角函数的基本关系








气象学家洛伦兹1963年提出一种观点：南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯的一场龙卷风.这就是理论界闻名的“蝴蝶效应”，此效应本意是说事物初始条件的微弱变化可能会引起结果的巨大变化.蝴蝶扇翅膀成为龙卷风的导火索.从中我们还可以看出，南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶与北美德克萨斯的龙卷风看来是毫不相干的两种事物，却会有这样的联系，这也正验证了哲学理论中事物是普遍联系的观点.





问题：既然感觉毫不相干的事物都是相互联系的，那么“同一个角”的三角函数一定会有非常密切的关系！到底是什么关系呢？


提示：sin2α＋cs2α＝1，tan α＝eq \f(sin α,cs α) (α≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z).





1．平方关系


(1)公式：sin2α＋cs2α＝1.


(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.


2．商数关系


(1)公式：eq \f(sin α,cs α)＝tan α(α≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z)．


(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切．


思考：对任意的角α，sin22α＋cs22α＝1是否成立？


提示：成立．平方关系中强调的同一个角且是任意的，与角的表达形式无关．





1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)对任意角α，eq \f(sin \f(α,2),cs \f(α,2))＝tan eq \f(α,2)都成立．( )


(2)因为sin2 eq \f(9,4)π＋cs2 eq \f(π,4)＝1，所以sin2α＋cs2β＝1成立，其中α，β为任意角．( )


(3)对任意角α，sin α＝cs α·tan α都成立．( )


[提示] 由同角三角函数的基本关系知(2)错，由正切函数的定义域知α不能取任意角，所以(1)错，(3)错．


[答案] (1)× (2)× (3)×


2．化简eq \r(1－sin2\f(3π,5))的结果是( )


A．cseq \f(3π,5) B．sineq \f(3π,5)


C．－cseq \f(3π,5) D．－sineq \f(3π,5)


C [因为eq \f(3π,5)是第二象限角，


所以cseq \f(3π,5)＜0，


所以eq \r(1－sin2\f(3π,5))＝eq \r(cs2\f(3π,5))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\f(3π,5)))＝－cseq \f(3π,5).]


3．如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是( )


A．tan α＝－eq \f(sin α,cs α)


B．cs α＝－eq \r(1－sin2 α)


C．sin α＝－eq \r(1－cs2 α)


D．tan α＝eq \f(cs α,sin α)


B [由商数关系可知A，D均不正确．当α为第二象限角时，cs α＜0，sin α＞0，故B正确．]


4．已知cs α＝－eq \f(4,5)，且α为第三象限角，则sin α＝ ，tan α＝ .


－eq \f(3,5) eq \f(3,4) [∵cs α＝－eq \f(4,5)，α为第三象限角，


∴sin α＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \r(1－\f(16,25))＝－eq \f(3,5).


tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(－\f(3,5),－\f(4,5))＝eq \f(3,4).]








【例1】 (1)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，tan α＝2，则cs α＝ .


(2)已知cs α＝－eq \f(8,17)，求sin α，tan α的值．


[思路点拨] (1)根据tan α＝2和sin2α＋cs2α＝1列方程组求cs α.


(2)先由已知条件判断角α是第几象限角，再分类讨论求sin α，tan α.


(1)－eq \f(\r(5),5) [由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(sin α,cs α)＝2，①,sin2α＋cs2α＝1，②))


由①得sin α＝2cs α代入②得4cs2α＋cs2α＝1，


所以cs2α＝eq \f(1,5)，又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，所以cs α＜0，


所以cs α＝－eq \f(\r(5),5).]


(2)∵cs α＝－eq \f(8,17)＜0，


∴α是第二或第三象限的角．


如果α是第二象限角，那么


sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8,17)))eq \s\up12(2))＝eq \f(15,17)，


tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(\f(15,17),－\f(8,17))＝－eq \f(15,8).


如果α是第三象限角，同理可得


sin α＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \f(15,17)，tan α＝eq \f(15,8).





利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法：


1已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系.


2若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果.


提醒：应用平方关系求三角函数值时，要注意有关角终边位置的判断，确定所求值的符号.





eq \([跟进训练])


1．已知sin α＋3cs α＝0，求sin α，cs α的值．


[解] ∵sin α＋3cs α＝0，


∴sin α＝－3cs α.


又sin2α＋cs2α＝1，


∴(－3cs α)2＋cs2α＝1，


即10cs2α＝1，


∴cs α＝±eq \f(\r(10),10).


又由sin α＝－3cs α，


可知sin α与cs α异号，


∴角α的终边在第二或第四象限．


当角α的终边在第二象限时，cs α＝－eq \f(\r(10),10)，sin α＝eq \f(3,10)eq \r(10)；


当角α的终边在第四象限时，cs α＝eq \f(\r(10),10)，sin α＝－eq \f(3,10)eq \r(10).


【例2】 (1)已知sin α＋cs α＝eq \f(7,13)，α∈(0，π)，则tan α＝ .


(2)已知eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)＝2，计算下列各式的值．


①eq \f(3sin α－cs α,2sin α＋3cs α)；


②sin2α－2sin αcs α＋1.


[思路点拨] (1)法一：eq \x(求sin αcs α)→eq \x(求sin α－cs α)→eq \x(求sin α和cs α)→eq \x(求tan α)


法二：eq \x(求sin αcs α)→eq \x(弦化切构建关于tan α的方程)→eq \x(求tan α)


(2)eq \x(求tan α)→eq \x(换元或弦化切求值)


(1)－eq \f(12,5) [法一：(构建方程组)


因为sin α＋cs α＝eq \f(7,13)，①


所以sin2α＋cs2α＋2sin αcs α＝eq \f(49,169)，


即2sin αcs α＝－eq \f(120,169).


因为α∈(0，π)，所以sin α＞0，cs α＜0.


所以sin α－cs α＝eq \r(sin α－cs α2)＝eq \r(1－2sin αcs α)＝eq \f(17,13).②


由①②解得sin α＝eq \f(12,13)，cs α＝－eq \f(5,13)，


所以tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(12,5).


法二：(弦化切)


同法一求出sin αcs α＝－eq \f(60,169)，eq \f(sin αcs α,sin2α＋cs2α)＝－eq \f(60,169)，eq \f(tan α,tan2α＋1)＝－eq \f(60,169)，


整理得60tan2α＋169tan α＋60＝0，


解得tan α＝－eq \f(5,12)或tan α＝－eq \f(12,5).


由sin α＋cs α＝eq \f(7,13)＞0知|sin α|＞|cs α|，


故tan α＝－eq \f(12,5).]


(2)[解] 由eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)＝2，化简，


得sin α＝3cs α，


所以tan α＝3.


①法一(换元)原式＝eq \f(3×3cs α－cs α,2×3cs α＋3cs α)＝eq \f(8cs α,9cs α)＝eq \f(8,9).


法二(弦化切)原式＝eq \f(3tan α－1,2tan α＋3)＝eq \f(3×3－1,2×3＋3)＝eq \f(8,9).


②原式＝eq \f(sin2α－2sin αcs α,sin2α＋cs2α)＋1


＝eq \f(tan2α－2tan α,tan2α＋1)＋1＝eq \f(32－2×3,32＋1)＋1＝eq \f(13,10).





1．将本例(1)条件“α∈(0，π)”改为“α∈(－π，0)”其他条件不变，结果又如何？


[解] 由例(1)求出2sin αcs α＝－eq \f(120,169)，


因为α∈(－π，0)，


所以sin α＜0，cs α＞0，


所以sin α－cs α＝－eq \r(sin α－cs α2)


＝－eq \r(1－2sin αcs α)＝－eq \f(17,13).


与sin α＋cs α＝eq \f(7,13)联立解得


sin α＝－eq \f(5,13)，cs α＝eq \f(12,13)，


所以tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(5,12).


2．将本例(1)的条件“sin α＋cs α＝eq \f(7,13)”改为“sin α·cs α＝－eq \f(1,8)”其他条件不变，求cs α－sin α.


[解] 因为sin αcs α＝－eq \f(1,8)＜0，所以α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以cs α－sin α＜0，


cs α－sin α＝－eq \r(1－2sin αcs α)


＝－eq \r(1－2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,8))))＝－eq \f(\r(5),2).





1．sin α＋cs α，sin α－cs α，sin αcs α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α.


2．已知tan α＝m，求关于sin α，cs α的齐次式的值


解决这类问题需注意以下两点：(1)一定是关于sin α，cs α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式；(2)因为cs α≠0，所以可除以cs α，这样可将被求式化为关于tan α的表示式，然后代入tan α＝m的值，从而完成被求式的求值．


提醒：求sin α＋cs α或sin α－cs α的值，要注意根据角的终边位置，利用三角函数线判断它们的符号．








【例3】 (1)化简eq \f(2sin2α－1,1－2cs2α)＝ .


(2)化简eq \f(sin α,1－cs α)·eq \r(\f(tan α－sin α,tan α＋sin α)).(其中α是第三象限角)


[思路点拨] (1)将cs2α＝1－sin2α代入即可化简．


(2)首先将tan α化为eq \f(sin α,cs α)，然后化简根式，最后约分．


(1)1 [原式＝eq \f(2sin2α－1,1－21－sin2α)＝eq \f(2sin2α－1,2sin2α－1)＝1.]


(2)[解] 原式＝eq \f(sin α,1－cs α)·eq \r(\f(\f(sin α,cs α)－sin α,\f(sin α,cs α)＋sin α))


＝eq \f(sin α,1－cs α)·eq \r(\f(1－cs α,1＋cs α))


＝eq \f(sin α,1－cs α)·eq \r(\f(1－cs α2,1－cs2α))


＝eq \f(sin α,1－cs α)·eq \f(1－cs α,|sin α|).


又因为α是第三象限角，


所以sin α＜0.


所以原式＝eq \f(sin α,1－cs α)·eq \f(1－cs α,－sin α)＝－1.





三角函数式化简的常用方法


1化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的.


2对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.


3对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cs2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.


提醒：在应用平方关系式求sin α或cs α时，其正负号是由角α所在的象限决定，不可凭空想象.





eq \([跟进训练])


2．化简tan αeq \r(\f(1,sin2α)－1)，其中α是第二象限角．


[解] 因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cs α＜0.


故tan αeq \r(\f(1,sin2α)－1)＝tan αeq \r(\f(1－sin2α,sin2α))＝tan αeq \r(\f(cs2α,sin2α))＝eq \f(sin α,cs α)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(cs α,sin α)))＝eq \f(sin α,cs α)·eq \f(－cs α,sin α)＝－1.


[探究问题]


1．证明三角恒等式常用哪些方法？


提示：(1)从右证到左．


(2)从左证到右．


(3)证明左右归一．


(4)变更命题法．如：欲证明eq \f(M,N)＝eq \f(P,Q)，则可证MQ＝NP，或证eq \f(Q,N)＝eq \f(P,M)等．


2．在证明eq \f(1＋sin α＋cs α＋2sin αcs α,1＋sin α＋cs α)＝sin α＋cs α时如何巧用“1”的代换．


提示：在求证eq \f(1＋sin α＋cs α＋2sin αcs α,1＋sin α＋cs α)＝sin α＋cs α时，观察等式左边有2sin αcs α，它和1相加应该想到“1”的代换，即1＝sin2α＋cs2α，


所以等式左边


＝eq \f(sin2α＋cs2α＋2sin αcs α＋sin α＋cs α,1＋sin α＋cs α)


＝eq \f(sin α＋cs α2＋sin α＋cs α,1＋sin α＋cs α)


＝eq \f(sin α＋cs αsin α＋cs α＋1,sin α＋cs α＋1)


＝sin α＋cs α＝右边．


【例4】 求证：eq \f(tan αsin α,tan α－sin α)＝eq \f(tan α＋sin α,tan αsin α).


[思路点拨] 解答本题可由关系式tan α＝eq \f(sin α,cs α)将两边“切”化“弦”来证明，也可由右至左或由左至右直接证明．


[证明] 法一：(切化弦)


左边＝eq \f(sin2α,sin α－sin αcs α)＝eq \f(sin α,1－cs α)，


右边＝eq \f(sin α＋sin αcs α,sin2α)＝eq \f(1＋cs α,sin α).


因为sin2α＝1－cs2α＝(1＋cs α)(1－cs α)，


所以eq \f(sin α,1－cs α)＝eq \f(1＋cs α,sin α)，所以左边＝右边．


所以原等式成立．


法二：(由右至左)


因为右边＝eq \f(tan2α－sin2α,tan α－sin αtan αsin α)


＝eq \f(tan2α－tan2αcs2α,tan α－sin αtan αsin α)


＝eq \f(tan2α1－cs2α,tan α－sin αtan αsin α)


＝eq \f(tan2αsin2α,tan α－sin αtan αsin α)


＝eq \f(tan αsin α,tan α－sin α)


＝左边，


所以原等式成立．





1．证明恒等式常用的思路是：(1)从一边证到另一边，一般由繁到简；(2)左右开弓，即证左边、右边都等于第三者；(3)比较法(作差，作比法)．


2．技巧感悟：朝目标奔．常用的技巧有：(1)巧用“1”的代换；(2)化切为弦；(3)多项式运算技巧的应用(分解因式)．


提醒：解决此类问题要有整体代换思想．





eq \([跟进训练])


3．求证：(1)eq \f(sin α－cs α＋1,sin α＋cs α－1)＝eq \f(1＋sin α,cs α)；


(2)2(sin6 θ＋cs6 θ)－3(sin4 θ＋cs4 θ)＋1＝0.


[证明] (1)左边


＝eq \f(sin α－cs α＋1sin α＋cs α＋1,sin α＋cs α－1sin α＋cs α＋1)


＝eq \f(sin α＋12－cs2 α,sin α＋cs α2－1)


＝eq \f(sin2 α＋2sin α＋1－1－sin2 α,sin2 α＋cs2 α＋2sin αcs α－1)


＝eq \f(2sin2 α＋2sin α,1＋2sin αcs α－1)


＝eq \f(2sin αsin α＋1,2sin αcs α)＝eq \f(1＋sin α, cs α)


＝右边，∴原等式成立．


(2)左边＝2[(sin2 θ)3＋(cs2 θ)3]－3(sin4 θ＋cs4 θ)＋1


＝2(sin2 θ＋cs2 θ)(sin4 θ－sin2 θcs2 θ＋cs4 θ)－3(sin4 θ


＋cs4 θ)＋1


＝(2sin4 θ－2sin2 θcs2 θ＋2cs4 θ)－(3sin4 θ＋3cs4 θ)＋1


＝－(sin4 θ＋2sin2 θcs2 θ＋cs4 θ)＋1


＝－(sin2 θ＋cs2 θ)2＋1＝－1＋1＝0＝右边，


∴原等式成立．








1．掌握2个关系


(1)平方关系：sin2α＋cs2α＝1；


(2)商数关系：tan α＝eq \f(sin α,cs α)(α≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z)．


2．掌握3个应用





3．规避1个误区


求值时注意α的范围，如果无法确定一定要对α所在的象限进行分类讨论．





1．已知sin α＝eq \f(2,3)，tan α＝eq \f(2\r(5),5)，则cs α＝( )


A.eq \f(1,3) B．eq \f(\r(5),3)


C.eq \f(\r(7),3) D．eq \f(\r(5),5)


B [因为tan α＝eq \f(sin α,cs α)，所以cs α＝eq \f(sin α,tan α)＝eq \f(\f(2,3),\f(2\r(5),5))＝eq \f(\r(5),3).]


2．已知tan α＝－eq \f(1,2)，则eq \f(2sin αcs α,sin2α－cs2α)的值是( )


A.eq \f(4,3) B．3


C．－eq \f(4,3) D．－3


A [因为tan α＝－eq \f(1,2)，


所以eq \f(2sin αcs α,sin2α－cs2α)＝eq \f(2tan α,tan2α－1)＝eq \f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))eq \s\up12(2)－1)＝eq \f(4,3).]


3．已知α是第二象限角，tan α＝－eq \f(1,2)，则cs α＝ .


－eq \f(2\r(5),5) [因为eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(1,2)，且sin2α＋cs2α＝1，


又因为α是第二象限角，所以cs α＜0，


所以cs α＝－eq \f(2\r(5),5).]


4．化简eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,sin α)＋\f(1,tan α)))(1－cs α)的结果是 ．


sin α [eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,sin α)＋\f(1,tan α)))(1－cs α)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,sin α)＋\f(cs α,sin α)))(1－cs α)＝eq \f(1－cs2α,sin α)＝eq \f(sin2α,sin α)＝sin α.]


5．(1)化简eq \r(sin2α－sin4α)，其中α是第二象限角．


(2)求证：1＋tan2α＝eq \f(1,cs2α).


[解] (1)因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cs α＜0，


所以sin αcs α＜0，


所以eq \r(sin2α－sin4α)


＝eq \r(sin2α1－sin2α)


＝eq \r(sin2αcs2α)


＝－sin αcs α.


(2)证明：1＋tan2α＝1＋eq \f(sin2α,cs2α)＝eq \f(cs2α＋sin2α,cs2α)＝eq \f(1,cs2α).


学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．(重点)


2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．(难点)
1.通过同角三角函数的基本关系进行运算，培养数学运算素养.


2.借助数学式子的证明，培养逻辑推理素养.
直接应用同角三角函数关系求值
灵活应用同角三角函数关系式求值
应用同角三角函数关系式化简
应用同角三角函数关系式证明