人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换第3课时学案设计

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第3课时 两角和与差的正切公式








根据同角三角函数的商数关系tan θ＝eq \f(sin θ,cs θ)，怎样由sin(α＋β)以及cs(α＋β)的公式将tan(α＋β)用tan α，tan β来表示？如何将tan(α－β)用tan α，tan β来表示？


提示：tan(α＋β)＝eq \f(sinα＋β,csα＋β)＝eq \f(sin αcs β＋cs αsin β,cs αcs β－sin αsin β)＝eq \f(\f(sin αcs β＋cs αsin β,cs αcs β),\f(cs αcs β－sin αsin β,cs αcs β))＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)，


tan(α－β)＝tan[α＋(－β)]


＝eq \f(tan α＋tan －β,1－tan αtan －β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β).





两角和与差的正切公式





1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．( )


(2)对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)都成立．( )


(3)tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)等价于tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)．( )


[提示] (1)√.当α＝0，β＝eq \f(π,3)时，tan(α＋β)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0＋\f(π,3)))＝tan 0＋tan eq \f(π,3)，但一般情况下不成立．


(2)×.两角和的正切公式的适用范围是α，β，α＋β≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)．


(3)√.当α≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，β≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，α＋β≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)时，由前一个式子两边同乘以1－tan αtan β可得后一个式子．


[答案] (1)√ (2)× (3)√


2．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan αtan β等于( )


A．2 B．1


C.eq \f(1,2) D．4


C [∵tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝4，且tan α＋tan β＝2，


∴eq \f(2,1－tan αtan β)＝4，解得tan αtan β＝eq \f(1,2).]


3．求值：taneq \f(11π,12)＝ .


－2＋eq \r(3) [taneq \f(11π,12)＝－taneq \f(π,12)＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(π,6)))


＝－eq \f(tan\f(π,4)－tan\f(π,6),1＋tan\f(π,4)tan\f(π,6))＝－eq \f(1－\f(\r(3),3),1＋\f(\r(3),3))


＝－2＋eq \r(3).]


4．已知tan α＝3，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝ .


－2 [taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(tan α＋tan\f(π,4),1－tan αtan\f(π,4))＝eq \f(3＋1,1－3×1)＝－2.]





【例1】 (1)已知α，β均为锐角，tan α＝eq \f(1,2)，tan β＝eq \f(1,3)，则α＋β＝ .


(2)如图，在△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，AD在△ABC的外部，且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，则tan∠BAC＝ .





[思路点拨] (1)先用公式T(α＋β)求tan(α＋β)，再求α＋β.


(2)先求∠CAD，∠BAD的正切值，再依据tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)求值．


(1)eq \f(π,4) (2)eq \f(1,7) [(1)∵tan α＝eq \f(1,2)，tan β＝eq \f(1,3)，


∴tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \f(\f(1,2)＋\f(1,3),1－\f(1,2)×\f(1,3))＝1.


∵α，β均为锐角，


∴α＋β∈(0，π)，


∴α＋β＝eq \f(π,4).


(2)∵AD⊥BC且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，


∴tan∠BAD＝eq \f(BD,AD)＝eq \f(1,3)，


tan∠CAD＝eq \f(CD,AD)＝eq \f(1,2)，


tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)


＝eq \f(tan∠CAD－tan∠BAD,1＋tan∠CADtan∠BAD)


＝eq \f(\f(1,2)－\f(1,3),1＋\f(1,2)×\f(1,3))


＝eq \f(1,7).]





1．公式T(α±β)的结构特征和符号规律：


(1)结构特征：公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．


(2)符号规律：分子同，分母反．


2．利用公式T(α＋β)求角的步骤：


(1)计算待求角的正切值．


(2)缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息．


(3)根据角的范围及三角函数值确定角．





eq \([跟进训练])


1．(1)已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(5π,4)))＝eq \f(1,5)，则tan α＝ .


(2)已知角α，β均为锐角，且cs α＝eq \f(3,5)，tan(α－β)＝－eq \f(1,3)，则tan β＝ .


(1)eq \f(3,2) (2)3 [(1)因为taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(5π,4)))＝eq \f(1,5)，


所以tan α＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(5π,4)＋\f(5π,4)))


＝eq \f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(5π,4)))＋tan \f(5π,4),1－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(5π,4)))tan \f(5π,4))＝eq \f(\f(1,5)＋1,1－\f(1,5)×1)＝eq \f(3,2).


(2)因为cs α＝eq \f(3,5)，α为锐角，所以sin α＝eq \f(4,5)，tan α＝eq \f(4,3)，


所以tan β＝tan[α－(α－β)]＝eq \f(tan α－tanα－β,1＋tan αtanα－β)＝eq \f(\f(4,3)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3))),1＋\f(4,3)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3))))＝3.]


【例2】 (1)eq \f(1＋tan 15°,1－tan 15°)＝ .


(2)eq \f(1－\r(3)tan 75°,\r(3)＋tan 75°)＝ .


[思路点拨] 注意特殊角的正切值和公式T(α±β)的结构，适当变形后逆用公式求值．


(1)eq \r(3) (2)－1 [(1)原式＝eq \f(tan 45°＋tan 15°,1－tan 45°tan 15°)


＝tan(45°＋15°)


＝tan 60°＝eq \r(3).


(2)原式＝eq \f(\f(\r(3),3)－tan 75°,1＋\f(\r(3),3)tan 75°)


＝eq \f(tan 30°－tan 75°,1＋tan 30°tan 75°)


＝tan(30°－75°)＝－tan 45°＝－1.]





公式Tα±β的逆用


一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换.


如等.


要特别注意





eq \([跟进训练])


2．已知α、β均为锐角，且sin 2α＝2sin 2β，则( )


A．tan(α＋β)＝3tan(α－β)


B．tan(α＋β)＝2tan(α－β)


C．3tan(α＋β)＝tan(α－β)


D．3tan(α＋β)＝2tan(α－β)


A [∵sin 2α＝2sin 2β，


∴sin[(α＋β)＋(α－β)]＝2sin[(α＋β)－(α－β)]，


∴sin(α＋β)cs(α－β)＋cs(α＋β)sin(α－β)


＝2sin(α＋β)cs(α－β)－2cs(α＋β)sin(α－β)，


∴sin(α＋β)cs(α－β)＝3cs(α＋β)sin(α－β)，


两边同除以cs(α－β)cs(α＋β)得


tan(α＋β)＝3tan(α－β)．]


[探究问题]


1．两角和与差的正切公式揭示了tan αtan β与哪些式子的关系？


提示：揭示了tan αtan β与tan α＋tan β，tan αtan β与tan α－tan β之间的关系．


2．若tan α、tan β是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的两个根，则如何用a、b、c表示tan(α＋β)?


提示：tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \f(－\f(b,a),1－\f(c,a))＝－eq \f(b,a－c).


【例3】 (1)tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22°＝ .


(2)已知△ABC中，tan B＋tan C＋eq \r(3)tan Btan C＝eq \r(3)，且eq \r(3)tan A＋eq \r(3)tan B＝tan Atan B－1，试判断△ABC的形状．


[思路点拨] (1)看到tan 67°－tan 22°与tan 67°tan 22°想到将tan(67°－22°)展开变形，寻找解题思路．


(2)先由关于角A，B的等式求出tan(A＋B)得角A＋B，然后求角C并代入关于角B，C的等式求角B，最后求角A，判断△ABC的形状．


(1)1 [∵tan 67°－tan 22°


＝tan(67°－22°)(1＋tan 67°tan 22°)


＝tan 45°(1＋tan 67°tan 22°)


＝1＋tan 67°tan 22°，


∴tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22°


＝1＋tan 67°tan 22°－tan 67°tan 22°＝1.]


(2)[解] ∵eq \r(3)tan A＋eq \r(3)tan B＝tan Atan B－1，


∴eq \r(3)(tan A＋tan B)＝tan Atan B－1，


∴eq \f(tan A＋tan B,1－tan Atan B)＝－eq \f(\r(3),3)，


∴tan(A＋B)＝－eq \f(\r(3),3).


又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝eq \f(5π,6)，∴C＝eq \f(π,6).


∵tan B＋tan C＋eq \r(3)tan Btan C＝eq \r(3)，tan C＝eq \f(\r(3),3)，


∴tan B＋eq \f(\r(3),3)＋tan B＝eq \r(3)，tan B＝eq \f(\r(3),3)，


∴B＝eq \f(π,6)，∴A＝eq \f(2π,3)，


∴△ABC为等腰钝角三角形．





1．将例3(1)中的角同时增加1°结果又如何？


[解] ∵tan 45°＝tan(68°－23°)


＝eq \f(tan 68°－tan 23°,1＋tan 68°tan 23°)，


∴1＋tan 68°tan 23°＝tan 68°－tan 23°，


即tan 68°－tan 23°－tan 68°tan 23°＝1.


2．能否为例3(1)和探究1归纳出一个一般结论？若能，试证明．


[解] 一般结论：若α－β＝45°(α，β≠k×180°＋90°，k∈Z)，


则tan α－tan β－tan αtan β＝1.


证明：∵tan 45°＝tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)，


∴1＋tan αtan β＝tan α－tan β，


即tan α－tan β－tan αtan β＝1.





1．整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．


2．熟知变形：两角和的正切公式的常见四种变形：


(1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；


(2)1－tan αtan β＝eq \f(tan α＋tan β,tanα＋β)；


(3)tan α＋tan β＋tan α·tan β·tan(α＋β)＝tan(α＋β)；


(4)tan α·tan β＝1－eq \f(tan α＋tan β,tanα＋β).


提醒：当一个式子中出现两角正切的和或差时，常考虑使用两角和或差的正切公式．











1．牢记2个公式——T(α＋β)、T(α－β)


公式T(α±β)与S(α±β)、C(α±β)的一个重要区别，就是前者角α、β、α±β都不能取kπ＋eq \f(π,2) (k∈Z)，而后两者α、β∈R，应用时要特别注意这一点．


2．关注4个变形


注意公式的变形应用．


如：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，1－tan αtan β＝eq \f(tan α＋tan β,tanα＋β)，tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)，1＋tan αtan β＝eq \f(tan α－tan β,tanα－β)等．


3．规避1个易错


注意公式中的符号．





1．若tan α＝3，tan β＝eq \f(4,3)，则tan(α－β)等于( )


A．3 B．－3


C.eq \f(1,3) D．－eq \f(1,3)


C [tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)＝eq \f(3－\f(4,3),1＋3×\f(4,3))＝eq \f(1,3).]


2．若tan β＝3，tan(α－β)＝－2，则tan α＝( )


A.eq \f(1,7) B．－eq \f(1,7)


C．1 D．－1


A [tan α＝tan[(α－β)＋β]＝eq \f(tanα－β＋tan β,1－tanα－βtan β)＝eq \f(－2＋3,1－－2×3)＝eq \f(1,7).]


3．若taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝3，则tan α的值为 ．


eq \f(6－5\r(3),13) [tan α＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))))


＝eq \f(tan\f(π,3)－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α)),1＋tan\f(π,3)tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α)))


＝eq \f(\r(3)－3,1＋\r(3)×3)


＝eq \f(\r(3)－33\r(3)－1,3\r(3)2－1)


＝eq \f(12－10\r(3),26)


＝eq \f(6－5\r(3),13).]


4．已知tan(α＋β)＝eq \f(3,5)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,3)))＝eq \f(1,3)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝ .


eq \f(2,9) [taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(α＋β－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,3)))))


＝eq \f(tanα＋β－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,3))),1＋tanα＋βtan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,3))))


＝eq \f(\f(3,5)－\f(1,3),1＋\f(3,5)×\f(1,3))


＝eq \f(2,9).]


5．已知cs α＝eq \f(\r(5),5)，cs β＝eq \f(3,5)，其中α，β都是锐角，求tan(α＋β)的值．


[解] 因为α，β都是锐角，


所以sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(2\r(5),5)，


sin β＝eq \r(1－cs2β)＝eq \f(4,5)，


tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝2，tan β＝eq \f(sin β,cs β)＝eq \f(4,3)，


所以tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝－2.


学 习 目 标
核 心 素 养
1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.


2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明．(重点)


3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．(难点)
1.通过利用公式进行化简、证明等问题，培养逻辑推理素养.


2.借助公式进行求值，提升数学运算素养.
名称
简记符号
公式
使用条件
两角和的正切
T(α＋β)
tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)
α，β，α＋β≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z) 且tan α·tan β≠1
两角差的正切
T(α－β)
tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)
α，β，α－β≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z) 且tan α·tan β≠－1
两角和与差的正切公式的正用
两角和与差的正切公式的逆用
两角和与差的正切公式的变形运用