人教版八年级上册本节综合优质课教案

这是一份人教版八年级上册本节综合优质课教案，共17页。教案主要包含了教学建议，知识导图等内容，欢迎下载使用。



















多边形及其内角和















































概 述











【教学建议】


本节课是探究多边形的概念和性质，是三角形有关知识的拓展，学习四边形的基础. 在学过三角形的内角和的基础上，探索多边形的内角和. 在这个过程中，要引导学生自己去慢慢推理探索.发展学生的说理和简单推理的意识和能力,为以后的学习几何打下基础.











【知识导图】











教学过程








一、复习与预习








1、复习三角形的有关概念，三角形的定义、三角形相关的线、三角形三边的关系.


2、三角形相关的角，三角形内角和定理，三角形外角定理.


3、由几条线段组成；它们不在同一条直线上；首尾顺次相接．


这种在平面内，由一些不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.


多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……、n边形。这就是说，一个多边形由几条线段组成，就叫做几边形，三角形是最简单的多边形.





二、知识讲解








考点1








多边形概念


在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形（p1ygn）.


多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……三角形是最简单的多边形。如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形。如图7.3—2，螺母底面的边缘可以设计为六边形，也可以设计为八边形.





多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。图7.3—3中的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E是五边形ABCDE的5个内角。多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.


图7.3－4中的∠l是五边形ABCDE的一个外角.








考点2








多边形的对角线


连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线（diagnal）.图7.3—5中，AC、AD是五边形ABCDE的两条对角线.


特别提醒：n边形（n≥3）从一个顶点可引出（n－3）条对角线，把n边形分割成（n－2）个三角形，共有对角线条.


例如：十边形有________条对角线。在这里n=10，就可套用对角线条数公式（条）.











考点3








凸多边形与凹多边形





在图（1）中，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形；而图（2）就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画BD所在直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧，我们称它为凹多边形.


注意：今后我们讨论的多边形指的都是凸多边形．





考点4








正多边形


等边三角形、正方形的各个角都相等，各条边都相等，像这样各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.








考点5








多边形的内角和


从四边形的一个顶点出发可以引一条对角线，它们将四边形分成两个三角形，因此，四边形的内角和=△ABD的内角和+△BDC的内角和=2×180°=360°.


A


B


C


D





观察下面的图形





五边形 六边形


从五边形一个顶点出发可以引两条对角线，它们将五边形分成三个三角形，五边形的内角和等于540°；


从六边形一个顶点出发可以引三条对角线，它们将六边形分成四个三角形，六边形的内角和等于720°；


从n边形一个顶点出发，可以引（n-3）对角线，它们将n边形分成（n-2）三角形，n边形的内角和等于（n一2）·180°.


n边形的内角和等于（n一2）·180°．








四、例题精析








【例题1】


下列图形中，不具有稳定性的是（ ）


B． C． D．


【答案】B.


【解析】A、可以看成两个三角形，而三角形具有稳定性，则这个图形一定具有稳定性，故本选项错误；


B、可以看成一个三角形和一个四边形，而四边形不具有稳定性，则这个图形一定不具有稳定性，故本选项正确；


C、可以看成三个三角形，而三角形具有稳定性，则这个图形一定具有稳定性，故本选项错误；


D、可以看成7个三角形，而三角形具有稳定性，则这个图形一定具有稳定性，故本选项错误．


故选B．





【例题2】


一个多边形的内角和是900°，这个多边形的边数是（ ）


A．10 B．9 C．8 D．7


【答案】B.


【解析】设这个多边形是n边形，根据题意得，


（n-2）•180°=900°，


解得n=7．


故选B．





【例题3】


如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角．若∠A=120°，则∠1+∠2+∠3+∠4= ．





【答案】300°


【解析】 由题意得，∠5=180°-∠EAB=60°，


又∵ 多边形的外角和为360°，


∴ ∠1+∠2+∠3+∠4=360°-∠5=300°．


故答案为：300°





【例题4】


若一个多边形截去一个角后，变成十五边形，则原来的多边形的边数可能为（ ）


A．14或15或16 B．15或16 C．14或16 D．15或16或17


【答案】A.


【解析】一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，则多边形的边数是14，15或16．故选A．


【例题5】


若两个多边形的边数之比是1：2，内角和度数之和为1440°，求这两个多边形的边数．


【答案】4，8．


【解析】 解：设多边形较少的边数为n，则


（n﹣2）•180°+（2n﹣2）•180°=1440°，


解得n=4．


2n=8．


故这两个多边形的边数分别为4，8．








五、课堂应用








基础








若一个多边形的边数增加1，它的内角和（ ）


A．不变 B．增加1 C．增加180° D．增加360°


如果一个多边形的内角和是720°，那么这个多边形的对角线的条数是（ ）


A．6 B．9 C．14 D．20





答案与解析


1.【答案】C.


【解析】 解：n边形的内角和是（n﹣2）•180°，边数增加1，则新的多边形的内角和是（n+1﹣2）•180°．


则（n+1﹣2）•180°﹣（n﹣2）•180°=180°．故选C．


2. 【答案】B.


【解析】 解：多边形的边数n=720°÷180°+2=6；


对角线的条数：6×（6﹣3）÷2=9．


故选B．





巩固








如果一个多边形的内角和是它的外角和的n倍，则这个多边形的边数是（ ）


A．n B．2n﹣2 C．2n D．2n+2


2. 一个多边形中，除一个内角外，其余各内角和是120°，则这个角的度数是（ ）


A．60° B．80° C．100° D．120°


3. 若n边形的每个内角都是150°，则n= ．





答案与解析


1.【答案】D.


【解析】 解：设多边形的边数为m，根据题意列方程得，


（m﹣2）•180°=n×360°，


m﹣2=2n， m=2n+2．


故选D．





2.【答案】A.


【解析】 解：∵ 一个内角外，其余各内角和是120°，


∴ 这个角的度数是60°．


故选A．


3.【答案】12


【解析】 解：依题意得，（n﹣2）×180°=n×150°，


解得n=12. 故答案为：12





提高








如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？


如图，已知四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°，求∠B与∠D的关系．











分别画出下列各多边形的对角线，并观察图形完成下列问题：


（1）试写出用n边形的边数n表示对角线总条数S的式子： ．


（2）从十五边形的一个顶点可以引出 条对角线，十五边形共有 对角线.


（3）如果一个多边形对角线的条数与它的边数相等，求这个多边形的边数．








答案与解析


1.【答案】互补.


【解析】 ∵ ∠A+∠B+∠C+∠D=（4－2）×180°=360°


又∠A＋∠C＝180°


∴ ∠B＋∠D= 360°－（∠A＋∠C）=180°


这就是说，如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补.


2.【答案】 解：（1）用n边形的边数n表示对角线总条数S的式子：


（2）十五边形从一个顶点可引出对角线：（条），共有对角线：（条）；


（3）设多边形有n条边，则 ，


解得 n=5或n=0（应舍去）．


故这个多边形的边数是5．


故答案为：； 12， 90．








六、课堂小结








本节课主要学习多边形的定义及多边形内角和与外角和，熟记多边形对角线公式：；多边形内角和公式；以及多边形外交和恒为360°在公式中的应用中注意灵活变化.


本节内容的展开运用了类比、推广的方法，以及把复杂问题转化为简单问题、化未知为已知的思想方法等，教学中应结合具体内容让学生加以体会.





七、课后作业











基础





某学生在计算四个多边形的内角和时，得到下列四个答案，其中错误的是（ ）


A．180° B．540° C．1900° D．1080°


一个多边形的外角中，钝角的个数不可能是（ ）


A．1个 B．2个 C．3个 D．4个





答案与解析


1.【答案】C.


【解析】 解：∵ n（n≥3）边形的内角和是，所以多边形的内角和一定是180的整数倍．


∴ 在这四个选项中不是180的倍数的是1900°．故选C．


2.【答案】D．


【分析】解：∵一个多边形的外角和为360°，


∴外角为钝角的个数最多为3个．


故选D．





巩固








已知一个多边形的内角和与它的外角和正好相等，则这个多边形是 边形．


若从一多边形的一个顶点出发，最多可引10条对角线，则它是（ ）


A．十三边形 B．十二边形 C．十一边形 D．十边形


3. 一个多边形的每一个外角都等于24°，求这个多边形的边数．





答案与解析


1.【答案】四.


【解析】 解：∵ 多边形的外角和为360°，


而一个多边形的内角和与它的外角和正好相等，设这个多边形为n边形，


∴（n﹣2）•180°=360°，


∴ n=4， 故答案为：四．


2.【答案】A．


【分析】解：设这个多边形是n边形．


依题意，得n﹣3=10，


∴n=13．


故这个多边形是13边形．


故选：A．


3.【答案】解：设这个多边形的边数为n，


则根据多边形外角和为360°，可得出：


24×n=360，


解得：n=15．


所以这个多边形的边数为15．


提高








若一个多边形的各内角都相等，则一个内角与一个外角的度数之比不可能是（ ）


A．2：1 B．1：1 C．5：2 D．5：4


2. 一个多边形的每一个内角都相等，一个内角与一个外角的度数之比为m：n，其中m，n是互质的正整数，求这个多边形的边数（用m，n表示）及n的值．


答案与解析


1.【答案】D．


【分析】解：A、外角是：180×=60°，360÷60=6，故可能；


B、外角是：180×=90°，360÷90=4，故可能；


C、外角是：180×=度，360÷=7，故可能；


D、外角是：180×=80°．360÷80=4.5，故不能构成．


故选D．


2.【答案】 解：设多边形的边数为a，多边形内角和为（a﹣2）180度，外角和为360度，


m：n=180（a﹣2）：360


a=，


因为m，n 是互质的正整数，a为整数，


所以n=2，


故答案为：，2．








八、教学反思





适用学科
初中数学
适用年级
初二
适用区域
人教版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
多边形；多边形的内角和与外角和
教学目标
1、了解多边形及有关概念，理解正多边形的概念．


2、区别凸多边形与凹多边形


3、了解多边形的内角、外角等概念；


4、能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会应用它们进行有关计算．
教学重点
多边形及有关概念、正多边形的概念；多边形的内角和与多边形的外角和公式.
教学难点
区别凸多边形与凹多边形；多边形的内角和定理的推导.