八年级上册本节综合优秀教学设计

这是一份八年级上册本节综合优秀教学设计，共25页。教案主要包含了知识导图，教学建议等内容，欢迎下载使用。
















与三角形有关的线段和角


















































概 述

















【知识导图】


三角形内角


三角形外角

















教学过程








【教学建议】


建议采用多媒体辅助教学，利用几何画板对三角形三边关系进行直观演示，通过两边之和小于、等于、大于第三边三种情况的演示. 直观、生动地反映三角形三边关系. 还有以及通过在不同的三角形中，各线段（中线、高、角分线）位置差别的比较，形成对基本概念的准确把握.





一、复习与预习





一、复习与预习








1、三角形是我们早已熟悉的图形，例举出日常生活中的三角形物体；


2、根据对三角形的了解画出一个三角形，复习已经学过的关于三角形的相关知识：三角形的面积公式、三角形的稳定性等.





二、知识讲解





二、知识讲解








考点1





考点1








三角形的相关概念


1、不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.


2、组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点.





考点2


3、三角形ABC用符号表示为△ABC. 三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c 表示, 顶点B所对的边AC可用b表示, 顶点A所对的边BC可用a表示.





考点2





三角形的分类








考点3





考点3








三角形三边的关系


三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.





考点4





考点4








三角形的高


从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高，表示为AD⊥BC于点D.


注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线.


再画出这个三角形AB 、AC边上的高，三角形的三条高相交于一点。


现在我们来画钝角三角形三边上的高，如图.


A


B


C


O


D


E


F

















再画出一个直角三角形三边上的高，上面的结论还成立.


请画出下列三角形的高





考点5





（1）


（2）


（3）








考点5








三角形的中线


如图，我们把连结△ABC的顶点A和它的对边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线，表示为BD=DC或BD=DC＝BC或2BD=2DC=BC.


在图中画出△ABC的另两条边上的中线，三角的三条中线相交于一点.





三角形的三条中线相交于一点，交点叫做三角形的重心.


请画出下列三角形的中线





考点6


（1）


（2）


（3）





考点6








三角形的角平分线


如图，画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线,表示为∠BAD=∠CAD或∠BAD=∠CAD＝∠BAC或2∠BAD=2∠CAD＝∠BAC.





三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线，是不一样的. 三角形三个角的平分线相交于一点.


如果三角形是直角三角形、钝角三角形，上面的结论仍然成立.


请画出下列三角形的角平分线





考点7





（1）


（2）


（3）





考点7








三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°


用平行线的性质证明内角和180°


已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°。


证明：过点C作CM∥AB，则∠A=∠ACM，∠B=∠DCM，


又∠ACB+∠ACM+∠DCM=180°


∴∠A+∠B+∠ACB=180°.


即：三角形的内角和等于180°.








考点8








直角三角形的两个锐角互余


由三角形内角和定理容易得到：直角三角形的两个锐角互余，这是直角三角形的一个重要性质，运用它可以解决直角三角形中交的计算问题.





考点9








三角形外角的概念





∠ACD叫做△ABC的外角。也就是，三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.


三角形的外角共有六个.


注意：每个顶点处有两个外角，它们是对顶角。研究与三角形外角有关的问题时，通常每个顶点处取一个外角.








考点10





考点10








三角形外角的性质


三角形的外角∠ACD与相邻的内角∠ACB是邻补角.


如图，这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线，你能就此图说明∠ACD与∠A、∠B的关系吗？





∵CM∥AB， ∴∠A=∠1，∠B=∠2


又∠ACD=∠1+∠2


∴∠ACD=∠A+∠B


三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和.


三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.





四、例题精析








四、例题精析





【例题1】


已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第三边的长可能是（ ）


A．5 B．10 C．11 D．12


【答案】B.


【解析】 根据三角形的三边关系，得第三边大于：8-3=5，而小于：3+8=11． 则此三角形的第三边可能是：10． 故选：B．





【例题2】


下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（ ）


B．


C． D．


【答案】D.


【解析】根据高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高.





【例题3】


如右图， 在ΔABC中，AD平分∠BAC且与BC相交于点D，∠B=40°，∠BAD=30°，则∠C的度数是 ；





【答案】80°


【解析】∵ AD平分∠BAC，∠BAD=30°，


∴ ∠BAC=2∠BAD=2×30°=60°，


∴ ∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-40°-60°=80°．


故答案为：80°．





【例题4】


一个三角形的三条边长分别为1、2、x，则x的取值范围是（ ）


A．1≤x≤3 B．1＜x≤3 C．1≤x＜3 D．1＜x＜3


【答案】D.


【解析】 解：根据题意得：2﹣1＜x＜2+1， 即1＜x＜3．故选D．





【例题5】


有3cm，6cm，8cm，9cm的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多能组成三角形的个数为（ ）


A．1 B．2 C．3 D．4


【答案】C.


【解析】 解：四条木棒的所有组合：3，6，8和3，6，9和6，8，9和3，8，9；只有3，6，8和6，8，9；3，8，9能组成三角形．故选：C．





五、课堂应用





五、课堂应用








基础








下列图形中具有稳定性的是（ ）


A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形


已知△ABC中，AB=6，BC=4，那么边AC的长可能是下列哪个值（ ）


A．11 B．5 C．2 D．1


下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）


B．


C． D．








答案与解析


1.【答案】 A.


【解析】解：∵ 三角形具有稳定性，∴ A正确，B、C、D错误．


2.【答案】 B.


【解析】 解：根据三角形的三边关系，


6﹣4＜AC＜6+4，


即2＜AC＜10，


符合条件的只有5，


故选：B．


3.【答案】D.


【解析】根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断.








巩固











巩固





1. 如图1，M是铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC，且∠B=30°，∠C=100°，如图2．则下列说法正确的是（ ）





A．点M在AB上


B．点M在BC的中点处


C．点M在BC上，且距点B较近，距点C较远


D．点M在BC上，且距点C较近，距点B较远





2. 如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？








答案与解析


1.【答案】C.


【解析】解：∵ ∠C=100°， ∴ AB＞AC，


如图，取BC的中点E，则BE=CE，


∴ AB+BE＞AC+CE，


由三角形三边关系，AC+BC＞AB，


∴ AB＜AD，


∴ AD的中点M在BE上，


即点M在BC上，且距点B较近，距点C较远．


故选：C．





2.【答案】 解：∵∠BAE+∠BAC=180°，∠CBF+∠ABC=180°，∠ACD+∠ACB=180°，


∴ ∠BAE+∠BAC+∠CBF+∠ABC+∠ACD+∠ACB=3×180°=540°，


∵ ∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，


∴ ∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-180°=360°，


即三个外角的和于360°．


【解析】根据平角的性质求出三角形三个外角及三个内角的度数，再由三角形的内角和为180°即可求解．





提高








1. 如图，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC= .





【答案】66.5°


【解析】∵ 三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，


∴ ∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF；


又∵ ∠B=47°（已知），∠B+∠1+∠2=180°（三角形内角和定理），


∴ ∠DAC+∠ACF


=（∠B+∠2）+（∠B+∠1）


=（∠B+∠B+∠1+∠2）=（外角定理），


∴ ∠AEC=180°-（∠DAC+∠ACF）=66.5°；


故答案是：66.5°．








五、课堂小结





六、课堂小结








1、对于三角形的概念学生在之前已有所接触，要注意三角形按边分类的分法，这是学生容易出错的地方，本节的重点和难点是“两边的和大于第三边，两边的差小于第三边”.


2、三角形的高、中线、角平分线的概念和画法.


3、三角形的三条高、三条中线、三条角平分线及交点的位置规律.


4、探索和证明与三角形的角有关的结论，并运用这些结论解决问题.（三角形的内角和等于180°，直角三角形的两个锐角互余.）


5、用平行线的性质与平角的定义给出这个结论的证明.


6、三角形的外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和.三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.


7、注意性质的灵活应用，及在计算中的应用.








六、课后作业





七、课后作业








基础





基础








1. 一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（ ）


A．17 B．15 C．13 D．13或17


2.下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）


A．5，6，10 B．5，6，11 C．3，4，8 D．4a，4a，8a（a＞0）





答案与解析


1.【答案】A.


【解析】① 当等腰三角形的腰为3，底为7时，3+3＜7不能构成三角形；②当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为3+7+7=17．故这个等腰三角形的周长是17．故选A．


2.【答案】A.


【解析】 解：A、∵ 10﹣5＜6＜10+5，∴ 三条线段能构成三角形，故本选项正确；


B、∵ 11﹣5=6，∴ 三条线段不能构成三角形，故本选项错误；


C、∵ 3+4=7＜8，∴ 三条线段不能构成三角形，故本选项错误；


D、∵ 4a+4a=8a，∴ 三条线段不能构成三角形，故本选项错误．


故选A．


巩固








巩固








长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（ ）


A．1种B．2种C．3种D．4种


若一个三角形三边长分别为2，3，x，则x的值可以为 （只需填一个整数）


如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，已知∠ABC＝42°，∠A＝60°，求∠BFC的度数．








答案与解析


1.【答案】C．


【分析】解：四根木条的所有组合：9，6，5和9，6，4和9，5，4和6，5，4；


根据三角形的三边关系，得能组成三角形的有9，6，5和9，6，4和6，5，4．


故选：C．


【答案】4


【分析】 解：根据三角形的三边关系可得：3﹣2＜x＜3+2，


即：1＜x＜5，


所以x可取整数4．


3.【答案】


解：∵∠ABC＝42°，∠A＝60°，


∴∠ACB＝78°.


∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，


∴∠FBC＝eq \f(1,2)∠ABC＝21°，∠FCB＝eq \f(1,2)∠ACB＝39°.


∴∠BFC＝180°－(∠FBC＋∠FCB)＝120°.





提高








一个三角形的两边长分别是2和3，若它的第三边长为奇数，则这个三角形的周长为 ．


轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，求∠A的度数．





如图1，△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E.





(1)猜测∠1与∠2的关系，并说明理由；


(2)如果∠BAC是钝角，如图2，(1)中的结论是否还成立？








答案与解析


1.【答案】8．


【分析】解：设第三边长为x，


∵ 两边长分别是2和3，


∴ 3﹣2＜x＜3+2，


即：1＜x＜5，


∵第三边长为奇数，


∴ x=3，


∴ 这个三角形的周长为2+3+3=8，


故答案为：8．


2. 【答案】 解：根据题意，得∠1＝∠2＝30°.


∵∠ACD＝60°，


∴∠ACB＝30°＋60°＝90°.


∵∠CBA＝75°－30°＝45°，


∴∠A＝180°－∠ACB－∠CBA＝180°－90°－45°＝45°.


3.【答案】解：(1)∠1＝∠2.理由如下：


∵AD⊥BC，CE⊥AB，


∴△ABD和△BCE都是直角三角形．


∴∠1＋∠B＝90°，∠2＋∠B＝90°.


∴∠1＝∠2.


结论仍然成立．理由如下：


∵BD⊥AC，CE⊥AB，


∴∠D＝∠E＝90°.


∴∠1＋∠4＝90°，∠2＋∠3＝90°.


∵∠3＝∠4，∴∠1＝∠2.





七、教学反思








八、教学反思





适用学科
初中数学
适用年级
初二
适用区域
人教版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
三角形的概念；三角形三边的关系定理及推论；三角形中的主要线段；三角形内角和定理；三角形的外角性质.
教学目标
了解三角形的意义,认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形；


理解三角形三边不等的关系，会判断三条线段能否构成一个三角形,并能运用它解决有关的问题；


认识三角形的高、中线与角平分线；会画三角形的高、中线与角平分线；了解三角形的三条高所在的直线,三条中线,三条角平分线分别交于一点；掌握三角形内角和定理；理解三角形的外角；掌握三角形外角的性质，能利用三角形外角的性质解决问题.
教学重点
三角形的有关概念和符号表示，三角形三边间的不等关系；三角形的高、中线与角平分线；三角形内角和定理；三角形的外角和三角形外角的性质.
教学难点
用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形；三角形的角平分线与角的平分线的区别；理解三角形的外角.