初中人教版第十二章 全等三角形12.3 角的平分线的性质一等奖教案

这是一份初中人教版第十二章 全等三角形12.3 角的平分线的性质一等奖教案，共20页。教案主要包含了知识导图等内容，欢迎下载使用。



















角平分线的性质


















































概 述








【知识导图】




















教学过程








一、导入








复习预习


1、利用练习题的形式复习全等三角形的五个判定


2、复习三角形的边、角的性质，以及与三角形有关的线，其中挑出角平分线进行重点复习。





二、知识讲解








考点1角平分线的性质











考点2角平分线的判定胞


角平分线上的点到角两边的距离相等。





角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。


考点3 角平分线的尺规作图








操作观察：


已知：∠AOB．


求法：∠AOB的平分线．


作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N．（2）分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点C．（3）作射线OC，射线OC即为所求




















三 、例题精析








例题1








已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E


求证：PD=PE．





【答案】证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，


∴∠PDO=∠PEO=90°


在△PDO和△PEO中，





∴△PDO≌△PEO（AAS）


∴PD=PE


【解析】角的平分线上的点到角的两边的距离相等．





例题2








如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000）？








【答案】已知：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE．


求证：点P在∠AOB的平分线上．


证明：经过点P作射线OC．


∵PD⊥OA，PE⊥OB


∴∠PDO=∠PEO=90°


在Rt△PDO和Rt△PEO中，





∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）


∴∠AOC=∠BOC，


∴OC是∠AOB的平分线．


【解析】到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．





例题3








如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DC=2，则D到AB边的距离是______








【答案】2


【解析】过D作DE⊥AB于E，得出DE的长度是D到AB边的距离，根据角平分线性质求出CD=ED，代入求出即可．


解：过D作DE⊥AB于E，则DE的长度就是D到AB边的距离．


∵AD平分∠CAB，∠ACD=90°，DE⊥AB，


∴DC=DE=2（角平分线性质），


故答案为：2．








例题4








如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB外角的平分线相交于点F，连接AF，则下列结论正确的有（）


AF平分BC B．AF平分∠BAC C．AF⊥BC D．以上结论都正确








【答案】B


【解析】解：过F点分别作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为E、G、D，


∵∠ABC、∠ACB外角的平分线相交于点F，


∴EF=GF，GF=DF，∴EF=DF，∴AF平分∠BAC．故选B．








例题5








如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF=





【答案】2


【解析】作EG⊥OA于F，根据角平分线的性质得到EG的长度，再根据平行线的性质得到∠OEF=∠COE=15°，然后利用三角形的外角和内角的关系求出∠EFG=30°，利用30°角所对的直角边是斜边的一半解题





例题6








△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等；∠A=40°，则∠BOC=————








【答案】由已知，O到三角形三边距离相等，所以O是内心，


即三条角平分线交点，AO，BO，CO都是角平分线，


所以有∠CBO=∠ABO=∠ABC，∠BCO=∠ACO=∠ACB，


∠ABC+∠ACB=180-40=140°


∠OBC+∠OCB=70°


∠BOC=180-70=110°


【解析】由已知，O到三角形三边距离相等，得O是内心，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数











例题7





如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，若△DEB的周长为10cm，求斜边AB的长








【答案】∵AD平分∠BAC∴DE=CD∴△ACD≌△AED∴AC=CB=AE


∴AB=AE+BE=BC+BE=BD+CD+BE=DB+DE+BE=10cm


【解析】由AD平分∠BAC交BC于点D，可以知道本题满足角平分线的性质定理得到：DE=CD,△ACD≌△AED，则AC=CB=AE，则AB=AE+BE=BC+BE=BD+CD+BE=DB+DE+BE即可求出





例题8





在△ABC中，∠ABC=100，∠ACB=20，CE 平分∠ACB交 AB于 E，D在 AC上，且∠CBD=20°。求∠CED的度数。





【答案】10°


【解析】此题是考查利用角平分线的性质求角的度数。


解：作EF⊥ AC，延长CB，作EG ⊥CB，EH⊥ BD


∵CE平分∠ACB，∠ACB=200，∴∠BCE=∠DCE=100，


∵∠CBD=200，∴∠ BDA=40 0


∵∠ABC=1000，∠CBD=200


∴∠ABG=800，∠ABD=800


∴∠ABG=∠ABD，∴EH=EG


可证△BEH≌△ BEG（AAS）


∵CE平分∠ACB，∴EF=EG（角平分线性质定理），∴EF=EH


∴DE平分∠BDA（角平分线的判定定理），∴∠EDA=200


∵∠EDA=∠ECA+∠CED，∴∠CED=200 -100=100





四 、课堂运用











基础








1、的角平分线AD交BC于点D，，则点D到AB的距离是（ ）


（第1题图）


A．1 B．2 C．3 D．4














2、如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE=3，则点P到AB的距离是（ ）


A．3 B．4 C．5 D．6


（第2题图）




















答案与解析


B


A





巩固








1、到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）


Ａ．三条中线的交点Ｂ．三条高的交点


Ｃ．三条边的垂直平分线的交点Ｄ．三条角平分线的交点


2、如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，且DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB





（第2题图）








答案与解析


D


略





拔高








1.AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,得到下面三个结论:





图1-4-15


①OA=OD;


②AD⊥EF;


③AE2+DF2=AF2+DE2.


其中正确的是( )


A.①② B.①③ C.② D.②③





2. 观察猜想探究:在△ABC中,∠ACB=2∠B.


(1)如图1-4-19①,当∠C=90°,AD为∠BAC的平分线时,求证:AB=AC+CD;


(2)如图1-4-19②,当∠C≠90°,AD为∠BAC的平分线时,线段AB,AC,CD有怎样的数量关系?不需要证明,直接写出你的猜想;


(3)如图1-4-19③,当AD为△ABC的外角平分线时,线段AB,AC,CD有怎样的数量关系?写出你的猜想,并给予证明.





答案与解析


1[答案] D


[解析] ∵AD平分∠EAF,DE⊥AB,DF⊥AC,


∴DE=DF,又AD为公共边,


∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL).


∴AE=AF,


∴AD垂直平分EF,AE2+DF2=AF2+DE2,②③正确.


2[答案] 答案见解析


[解析] (1)证明:过D作DE⊥AB,交AB于点E,如图①.





∵AD为∠BAC的平分线,DC⊥AC,DE⊥AB,


∴DE=DC,∠AED=∠ACD=90°,


在Rt△ACD和Rt△AED中,


∵AD=AD,DC=DE,


∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL).


∴AC=AE.


∵∠ACB=2∠B,


∴∠AED=2∠B.


又∵∠AED=∠B+∠EDB,


∴∠B=∠EDB.


∴BE=DE=DC.


∴AB=BE+AE=CD+AC.


(2)AB=CD+AC.


(3)AB=CD-AC.


在AF上截取AG=AC,连接GD,如图②,





∵AD为∠FAC的平分线,


∴∠GAD=∠CAD.


在△ADG和△ADC中,


∵


∴△ADG≌△ADC(SAS).


∴CD=GD,∠AGD=∠ACD.


∴∠ACB=∠FGD.


∵∠ACB=2∠B,


∴∠FGD=2∠B.


又∵∠FGD=∠B+∠GDB,


∴∠B=∠GDB.


∴BG=DG=DC.


∴AB=BG-AG=CD-AC.











五、课堂小结











角平分线的性质


























六、课后作业











基础








1.如图1-4-1,已知OP是∠AOB的平分线,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,则下列结论错误的是( )





A.PE=PDB.OE=ODC.∠DPO=∠EPOD.OD=PE


2. 如图1-4-3,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,BE,CD交于点O,且AO平分∠BAC,求证:OB=OC.





3. 如图1-4-5,∠AOB=60°,CD⊥OA于D,CE⊥OB于E,且CD=CE,则∠DOC=________.








1[答案] D


[解析] 由题意可得PD=PE,△ODP与△OEP均为直角三角形,又OP=OP,∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL),故OE=OD,∠DPO=∠EPO.故选D.


2[答案] 答案见解析


[解析] 证明 ∵AO平分∠BAC,CD⊥AB,BE⊥AC,∴OD=OE.


在△BOD和△COE中,


∠BDO=∠CEO=90°,OD=OE,∠DOB=∠EOC,∴△BOD≌△COE(ASA),


∴OB=OC(全等三角形的对应边相等).


3[答案] 30°


[解析] ∵CD⊥OA,CE⊥OB,CD=CE,∴点C在∠AOB的平分线上,∴OC平分∠AOB,∴∠DOC=12∠AOB=12×60°=30°.





巩固








1.如图1-4-12,在△ABC中,BD,CE分别平分∠ABC,∠ACB,并且BD,CE相交于点O,过O点作OP⊥BC于点P,OM⊥AB于点M,ON⊥AC于点N,则OP,OM,ON的大小关系是______________.








2. 如图,AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,得到下面三个结论:





图1-4-15


①OA=OD;


②AD⊥EF;


③AE2+DF2=AF2+DE2.


其中正确的是( )


A.①② B.①③ C.② D.②③


3.如图，△ABC中,BD平分∠ABC,BC的中垂线交BC于点E,交BD于点F,连接CF.若∠A=60°,∠ABD=24°,则∠ACF的度数为( )





A.48° B.36° C.30° D.24°


答案与解析


1[答案] OP=OM=ON


[解析] 因为BD,CE分别平分∠ABC,∠ACB,


并且BD,CE相交于点O,OP⊥BC,OM⊥AB,ON⊥AC,


所以OM=OP,ON=OP,所以OP=OM=ON.


2[答案] D


[解析] ∵AD平分∠EAF,DE⊥AB,DF⊥AC,


∴DE=DF,又AD为公共边,


∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL).


∴AE=AF,


∴AD垂直平分EF,AE2+DF2=AF2+DE2,②③正确.


3[答案] A


[解析] ∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC,


∵EF是BC的垂直平分线,∴FB=FC,∴∠FCB=∠DBC,


∵∠ABD=24°,∴∠FCB=∠DBC=∠ABD=24°,


又∵∠A=60°,∴∠ABC+∠ACB=120°,


即∠ABD+∠DBC+∠ACF+∠FCB=120°,∴∠ACF=120°-24°-24°-24°=48°.








拔高





1.如图,在△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线BE、CD相交于点F,∠ABC=42°,∠A=60°,则∠BFC=( )





图1-4-17


A.118° B.119° C.120° D.121°


2. 观察猜想探究:在△ABC中,∠ACB=2∠B.


(1)如图1-4-19①,当∠C=90°,AD为∠BAC的平分线时,求证:AB=AC+CD;


(2)如图1-4-19②,当∠C≠90°,AD为∠BAC的平分线时,线段AB,AC,CD有怎样的数量关系?不需要证明,直接写出你的猜想;


(3)如图1-4-19③,当AD为△ABC的外角平分线时,线段AB,AC,CD有怎样的数量关系?写出你的猜想,并给予证明.





3如图1-4-9所示,△ABC的三边AB、BC、CA的长分别为12、10、6,其三条角平分线的交点为O,则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO=________.





答案与解析


1[答案] C


[解析] ∵∠A=60°,∠ABC=42°,∴∠ACB=180°-∠A-∠ABC=78°.


∵BE、CD为∠ABC、∠ACB的平分线,∴∠FBC=12∠ABC=21°,∠FCB=12∠ACB=39°.


∴∠BFC=180°-∠FBC-∠FCB=120°,故选C.


2[解析] (1)证明:过D作DE⊥AB,交AB于点E,如图①.





∵AD为∠BAC的平分线,DC⊥AC,DE⊥AB,


∴DE=DC,∠AED=∠ACD=90°,


在Rt△ACD和Rt△AED中,


∵AD=AD,DC=DE,∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL).∴AC=AE.


∵∠ACB=2∠B,∴∠AED=2∠B.


又∵∠AED=∠B+∠EDB,∴∠B=∠EDB.∴BE=DE=DC.∴AB=BE+AE=CD+AC.


(2)AB=CD+AC.


(3)AB=CD-AC.


在AF上截取AG=AC,连接GD,如图②,





∵AD为∠FAC的平分线,∴∠GAD=∠CAD.


在△ADG和△ADC中,


∵∴△ADG≌△ADC(SAS).


∴CD=GD,∠AGD=∠ACD.∴∠ACB=∠FGD.


∵∠ACB=2∠B,∴∠FGD=2∠B.


又∵∠FGD=∠B+∠GDB,∴∠B=∠GDB.∴BG=DG=DC.∴AB=BG-AG=CD-AC.


3[答案] 6∶5∶3


[解析] 由题意知S△ABO∶S△BCO∶S△CAO=AB∶BC∶AC=6∶5∶3.


七、教学反思





适用学科
初中数学
适用年级
初中二年级
适用区域
人教版
课时时长（分钟）
120
知识点
角平分线的性质
教学目标
通过作图直观地理解角平分线的两个互逆定理．


经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法．


激发学生的几何思维，启迪他们的灵感，使学生体会到几何的真正魅力．
教学重点
应用角的平分线性质定理．
教学难点
应用“综合法”进行表达