初中数学人教版八年级上册第十三章 轴对称13.3 等腰三角形13.3.2 等边三角形优秀教案

这是一份初中数学人教版八年级上册第十三章 轴对称13.3 等腰三角形13.3.2 等边三角形优秀教案，共22页。教案主要包含了知识导图等内容，欢迎下载使用。

第7讲


讲























等边三角形












































概 述











【知识导图】














概 述











【知识导图】














教学过程





一、导入








复习预习


上节课我们讲解等腰三角形的性质，请同学们回忆一下：


等腰三角形的概念；


等腰三角形的性质及判定





二、知识讲解








考点1等边三角形








（1）性质：①等边三角形各边都相等；②等边三角形各角都相等，并且都等于60°。


（2）判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形。②三个角都相等的三角形是等边三角形。③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形





考点2特殊直角三角形胞








（1）含30°的直角三角形中，30°角所对的边等于斜边一半，且三边长度比为1：：2；


（2）等腰直角三角形各边长比为1：1：








三 、例题精析














已知：如图，在△ABC中，∠A=∠B=∠C．


求证：△ABC是等边三角形．





【答案】证明：∵∠A=∠B，


∴BC=AC（等角对等边）．


又∵∠A=∠C，


∴BC=AC（等角对等边）． ∴AB=BC=AC，即△ABC是等边三角形．


【解析】三个角都相等的三角形是等边三角形．





例题2








已知：如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，交AB、AC于D、E．





求证：△ADE是等边三角形．


【答案】证明：∵△ABC是等边三角形（已知），


∴∠A=∠B=∠C（等边三角形各角相等）．


∵DE∥BC，


∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）．


∴∠A=∠ADE=∠AED．


∴△ADE是等边三角形（三个角都相等的三角形是等边三角形）．





例题3


【解析】根据三角形的等对等性质，三个内角都相等的三角形为等边三角形





如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D．若AC=9，则AE的值是（ ）


A．63 B．43 C．6 D．4





【答案】C


【解析】由角平分线的定义得到∠CBE=∠ABE，再根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，则∠A=∠ABE，可得∠CBE=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到BE=2EC，即AE=2EC，由AE+EC=AC=9，即可求出AC．


解：∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠ABE，


∵ED垂直平分AB于D，∴EA=EB，∴∠A=∠ABE，∴∠CBE=30°，


∴BE=2EC，即AE=2EC，而AE+EC=AC=9，∴AE=6．故选C．





例题4








等边三角形ABC边长是6cm，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD，连接DE，则DE的长是cm．





【答案】．


【解析】∵△ABC是等边三角形，BD是中线，∴∠ABC=∠ACB=60°．∠DBC=30°．


又∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，∴∠CDE=∠CED=∠BCD=30°．∴∠DBC=∠CED．∴DB=DE．∵等边三角形ABC的边长是6cm，∴DE=BD=





例题5











如图，将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2011次，依次得到点P1、P2、P3、…、P2011，则点P2011的坐标是．





【答案】（4021，）．


【解析】易得P1（1，），而P1P2=P2P3=2，∴P2（3，），P3（5，）；依此类推，Pn（1+2n﹣2，），即Pn（2n﹣1，）；当n=2011时，P2011（4021，），





例题6例题1








如图，将一副三角板如图所示叠放在一起，若AB=8cm，则阴影部分的面积是cm2．





【答案】8


【解析】∵∠B=30°，∠ACB=90°，AB=8cm，∴AC=4cm．由题意可知BC∥ED，∴∠AFC=∠ADE=45°，∴AC=CF=4cm．故S△ACF=×4×4=8（cm2）．











例题7


如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（）


A．3 B．2 C． D．1





【答案】B


【解析】连接AF，求出AF=BF，求出∠AFD、∠B，得出∠BAC=30°，求出AE，求出∠FAC=∠AFE=30°，推出AE=EF，代入求出即可．


解：连接AF，


∵DF是AB的垂直平分线，∴AF=BF，


∵FD⊥AB，∴∠AFD=∠BFD=30°，∠B=∠FAB=90°-30°=60°，


∵∠ACB=90°，∴∠BAC=30°，∠FAC=60°-30°=30°，


∵DE=1，∴AE=2DE=2，∵∠FAE=∠AFD=30°，∴EF=AE=2，














例题8








如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF=2，则PE的长为（）


A．2 B．C．D．3





【答案】C


【解析】先根据△ABC是等边三角形，P是∠ABC平分线可知∠EBP=∠QBF=30°，再根据BF=2，FQ⊥BP可得BQ的长，再由BP=2BQ；可求BP的长，在Rt△BEF中，根据∠EBP=30°即可求出PE的长．


解：∵△ABC是等边三角形P是∠ABC的平分线，∴∠EBP=∠QBF=30°，


∵BF=2，FQ⊥BP，∴BQ=BF•cs30°=2×=，


∵FQ是BP的垂直平分线，∴BP=2BQ=2，


在Rt△BEF中，∵∠EBP=30°，∴PE=BP=．





例题9








如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BC相交于点P，BE与CD相交于点Q，连接PQ，则∠CPQ度数为（ ）





A．75° B．60° C．55° D．45°


【答案】B．


【解析】试题解析：∵△ABC和△CDE是等边三角形，


∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，


∴∠BCD=60°，


∴∠ACD=∠BCE，


在△ACD和△BCE中，


，


∴△ACD≌△BCE（SAS），


∴∠CAD=∠CBE，


在△ACP和△BCq中，


，


∴△ACP≌△BCQ（ASA），


∴CP=CQ，


∴△PCQ为等边三角形，


∴∠CPQ度数为60°．





例题10


故选B．





如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC．下列结论：①BE=CD；②∠BOD=60°；③∠BDO=∠CEO，正确的是．





【答案】①②


【解析】∵△ABD与△AEC都是等边三角形，∴AD=AB，AE=AC，∠ADB=∠ABD=60°，∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，∴∠DAC=∠BAE，


在△DAC和△BAE中，，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴BE=DC，∠ADC=∠ABE，∵∠BOD=180°﹣∠ODB﹣∠DBA﹣∠ABE=180°﹣∠ODB﹣60°﹣∠ADC


=120°﹣（∠ODB+∠ADC）=120°﹣60°=60°，∴∠BOD=60°，∴①正确；②正确；


∵△ABD与△AEC都是等边三角形，∴∠ADB=∠AEC=60°，但根据已知不能推出∠ADC=∠AEB，∴说∠BDO=∠CEO错误，∴③错误；








四 、课堂运用

















1如图，和都是等边三角形，且在一条直线上。证明：。





2.已知：如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，交AB、AC于D、E．





求证：△ADE是等边三角形．





3等边三角形ABC的边长是6cm，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD，连接DE，则DE的长是cm．





答案与解析


1、略


2【答案】证明：∵△ABC是等边三角形（已知），


∴∠A=∠B=∠C（等边三角形各角相等）．


∵DE∥BC，


∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）．


∴∠A=∠ADE=∠AED．


∴△ADE是等边三角形（三个角都相等的三角形是等边三角形）．


【解析】根据三角形的等对等性质，三个内角都相等的三角形为等边三角形


3.【答案】．


【解析】∵△ABC是等边三角形，BD是中线，∴∠ABC=∠ACB=60°．∠DBC=30°．


又∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，∴∠CDE=∠CED=∠BCD=30°．∴∠DBC=∠CED．∴DB=DE．∵等边三角形ABC的边长是6cm，∴DE=BD=








巩固基础











1如图，在等边△ ABC中，点 D,E 分别在边BC,AB 上，BD=AE,AD 与CE交于点F.(1)求证：AD=CE;(2)


A


求∠DFC 的度数。





E








F





C


B





D








2. 如图，点 O 事等边△ ABC 内一点，∠AOB=110°，∠BOC=a ，将△ BOC 绕点 C 按顺时针方向旋


转 60°得△ ADC,连接 OD,则△ COD 是等边三角形；


(1)求证：△ COD 是等边三角形


(2)当a=150°时，试判断△ AOD 的形状，并说明理由


(3)当a为多少度时，△ AOD 是等腰三角形？








答案与解析


1.∵△ABC 是等边三角形，


∴AB=AC，∠BAC=∠CBA=60


∵AB=AC，∠EAC=∠DBA，BD=AE，


∴△ACE≌△BAD，


∴∠ACE=∠BAD.


∵∠DFC 为△ ACF 的一个外角，∴∠FAC+∠ACF=∠DFC.


∵∠BAD+∠DAC=∠BAC，∠FAC+∠ACF=∠DFC，∠ACF=∠BAD，∴∠BAC=∠DFC.


∵∠BAC=∠DFC，∠BAC=60°，


∴∠DFC=60°.


2提示：当 0 00 110 125140 或a 时△ AOD 是等腰三角形





拔高




















1.如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC．下列结论：①BE=CD；②∠BOD=60°；③∠BDO=∠CEO，正确的是．





2.如图，正三角形ABC的三边表示三面镜子，BP=AB=1，一束光线从点P发射至BC上R点，且∠BPR=60°．光线依次经BC反射，AC反射，AB反射……一直继续下去．当光线第一次回到点P时，这束光线所经过的路线的总长为（ ）


答案与解析


1【答案】①②


【解析】∵△ABD与△AEC都是等边三角形，∴AD=AB，AE=AC，∠ADB=∠ABD=60°，∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，∴∠DAC=∠BAE，


在△DAC和△BAE中，，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴BE=DC，∠ADC=∠ABE，∵∠BOD=180°﹣∠ODB﹣∠DBA﹣∠ABE=180°﹣∠ODB﹣60°﹣∠ADC


=120°﹣（∠ODB+∠ADC）=120°﹣60°=60°，∴∠BOD=60°，∴①正确；②正确；


∵△ABD与△AEC都是等边三角形，∴∠ADB=∠AEC=60°，但根据已知不能推出∠ADC=∠AEB，∴说∠BDO=∠CEO错误，∴③错误；


2【答案】B．


【解析】∵BP=AB=1，∠BPR=60°，∴PR=1，根据等边三角形的性质可知当光线第一次回到点P时，这束光经过了三圈反射，∴当第一次回到点P时，这束光线所经过的路线的总长为1+2+1+2+1+2=9。


五、课堂小结








1.等边三角形的判定与性质


2.含30度角的直角三角形的性质


六、课后作业











基础























1. 等边三角形ABC的边长是6cm，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD，连接DE，则DE的长是 cm．


2.△ABC为边长是5的等边三角形，点E在AC边上，点F在AB边上，ED⊥BC，且ED=AE，DF=AF，则CE的长是（ ）


3.如图，将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2011次，依次得到点P1、P2、P3、…、P2011，则点P2011的坐标是 ．








答案与解析


1、【答案】33．


【解析】含有30°角的直角三角形，30°角所对的直角边是斜边的一半


∵△ABC是等边三角形，BD是中线，∴∠ABC=∠ACB=60°．∠DBC=30°．


又∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，∴∠CDE=∠CED=


12∠BCD=30°．∴∠DBC=∠CED．∴DB=DE．∵等边三角形ABC的边长是6cm，∴DE=BD=33．


2、【答案】D．


【解析】∵ED⊥BC，∠C=60°，∴∠CED=30°，设DE=x，则AE=x，且CE=


23x，又∵AE+CE=5，∴x+23x=5，解得x=103﹣15，∴CE=5﹣（103﹣15）=20﹣103．


3、【答案】（4021，）．


【解析】易得P1（1，3），而P1P2=P2P3=2，∴P2（3，3），P3（5，3）；依此类推，Pn（1+2n﹣2，3），即Pn（2n﹣1，3）；当n=2011时，P2011（4021，3），





巩固











1.如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，且PA=CQ，连PQ交AC边于D．


（1）求证：PD=DQ；


（2）若△ABC的边长为1，求DE的长．





2. 已知Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，点D是斜边的中点，经过点C引一条直线l（不与AC、BC重合并且不经过点D）操作：经过点A作AE⊥l，经过点B作BF⊥l，连接DE、DF，猜想△DEF的形状并证明．





3. 已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是（ ）


答案与解析


1、





【答案】（1）证明略；（2）


【解析】（1）证明：如图，


过P做PF∥BC交AC于点F，∴∠AFP=∠ACB，∠FPD=∠Q，∠PFD=∠QCD


∵△ABC为等边三角形，∴∠A=∠ACB=60°，∴∠A=∠AFP=60°，


∴△APF是等边三角形；∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ，∴△PFD≌△QCD，∴PD=DQ．


（2）△APF是等边三角形，∵PE⊥AC，∴AE=EF，△PFD≌△QCD，


∴CD=DF，DE=EF+DF=12AC，∵AC=1，DE=12．


2、





【答案】解：△DEF为等腰直角三角形；证明：如图，连接CD，∵AE⊥CE，BF⊥CE，∴∠AEC=∠BFC=90°，∵∠ACE+∠BCF=90°，∠BCF+∠CBF=90°，∴∠ACE=∠CBF，


在△ACE与△CBF中，，∴△ACE≌△CBF（AAS），


∴AE=CF，∠CAE=∠BCF，∵∠CAB=∠DCB=45°，∴∠FCD=∠DAE，又AD=CD，


∴△AED≌△CFD，∴ED=FD，∠ADE=∠CDF，∴∠EDF=∠ADE+∠ADF=∠CDF+∠ADF=90°，∴△DEF为等腰直角三角形．


3、【答案】D．


【解析】根据轴对称的性质可知，OP1=OP2=OP，∠P1OP2=60°，∴△P1OP2是等边三角形．








拔高





1.如图，正三角形ABC的三边表示三面镜子，BP=AB=1，一束光线从点P发射至BC上R点，且∠BPR=60°．光线依次经BC反射，AC反射，AB反射……一直继续下去．当光线第一次回到点P时，这束光线所经过的路线的总长为（ ）


2.在四边形ABCD中，∠DAB=∠CBA，∠CDA=90°，∠BCD=78°，AB=2AD，则∠CAD的度数为（ ）





3. 如图，△ABC和△FPQ均是等边三角形，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，点P在AB边上，连接EF、QE．若AB=6，PB=1，则QE= ．





答案与解析


1、【答案】B．


【解析】∵BP=13AB=1，∠BPR=60°，∴PR=1，根据等边三角形的性质可知当光线第一次回到点P时，这束光经过了三圈反射，∴当第一次回到点P时，这束光线所经过的路线的总长为1+2+1+2+1+2=9。


2、





【答案】B．


【解析】在CD上取点E，使∠EAD=60°，∵∠D=90°，∴∠AED=30°，∴AE=2AD，∵AB=2AD，∴AE=AB，∵∠CDA=90°，∠BCD=78°，∴∠DAB=∠ABC=12（360°﹣90°﹣78°）=96°，∴∠EAB=96°﹣60°=36°，作∠ABE的角平分线BF交AE于F，则BF把△ABE分成两个等腰三角形，∴AF=BF=BE，∵∠BCE=78°，∠BEC=180°﹣30°﹣72°=78°，∴∠BEC=∠BCE，


∴AF=BF=BE=BC．∵∠FBC=∠ABC﹣∠ABF=96°﹣36°=60°，连接CF得到△BFC为等边三角形，∴AF=BF=FC，∵∠CFE=∠BFE﹣∠BFC=72°﹣60°=12°，∴∠FAC=12∠CFE=12×12°=6°，∴∠CAD=∠CAE+∠EAD=6°+60°=66°．


3、





【答案】2．


【解析】连结FD，如图，∵△ABC为等边三角形，∴AC=AB=6，∠A=60°，


∵点D、E、F分别是等边△ABC三边的中点，AB=6，PB=1，


∴AD=BD=AF=3，DP=DB﹣PB=3﹣1=2，EF为△ABC的中位线，


∴EF∥AB，EF=AB=3，△ADF为等边三角形，∴∠FDA=60°，∴∠1+∠3=60°，


∵△PQF为等边三角形，∴∠2+∠3=60°，FP=FQ，∴∠1=∠2，∵在△FDP和△FEQ中，，∴△FDP≌△FEQ（SAS），∴DP=QE，∵DP=2，∴QE=2．





七 、教学反思








适用学科
初中数学
适用年级
初中二年级
适用区域
人教版
课时时长（分钟）
120
知识点
等边三角形的判定与性质


2.含30度角的直角三角形的性质
教学目标
解等边三角形的概念、等边三角形的性质和判定


熟悉含30°角的直角三角形的性质


能用等边三角形的性质和判定解决简单问题
教学重点
等边三角形的判定与性质
教学难点
方程思想和分类讨论思想在等边三角形中的运用
适用学科
初中数学
适用年级
初中二年级
适用区域
人教版
课时时长（分钟）
120
知识点
等边三角形的判定与性质


2.含30度角的直角三角形的性质
教学目标
解等边三角形的概念、等边三角形的性质和判定


熟悉含30°角的直角三角形的性质


能用等边三角形的性质和判定解决简单问题
教学重点
等边三角形的判定与性质
教学难点
方程思想和分类讨论思想在等边三角形中的运用

A．
6
B．
9
C．
D．
27

A．
310
B．
103
C．
20+103
D．
20﹣103

A．
直角三角形
B．
钝角三角形
C．
等腰三角形
D．
等边三角形

A．
6
B．
9
C．
D．
27

A．
60°
B．
66°
C．
72°
D．
80°