初中数学人教版八年级上册13.4课题学习 最短路径问题精品教案设计

这是一份初中数学人教版八年级上册13.4课题学习 最短路径问题精品教案设计，共12页。教案主要包含了知识导图等内容，欢迎下载使用。



















轴对称：最短路径问题















































概 述











【知识导图】














教学过程


一、导入








1.两点之间，线段最短。


2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。


3.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。





二、知识讲解








考点1求直线异侧的两点到直线上一点距离的和的最小的问题








求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题





考点2求直线同侧的两点到直线上一点距离的和的最小的问题


讲解内容：只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置。








三 、例题精析


讲解内容：只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置。








例题1








如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短








例题2








如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AM+NB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）

















例题3








如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.








例题4








如图所示，点A，B分别是直线l上异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短。

















例题5





如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，则选在哪处饮马使总距离最短。




















例题6








如图，正方形ABCD，AB边上有一点E，AE=3，EB=1，在AC上有一点P，使EP+BP为最短．








例题7








如图，点P、Q为△ABC的边AB、AC上的两定点，在BC上求做一点M，使△PQM的周长最短














例题8





某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？











例题9





如图，两点P、Q在锐角∠AOB内，分别在OA、OB上求作点M、N，使PM+MN+QN最短











四 、课堂运用











基础








1．如图，点P是直线a外一点，PB⊥a，点A，B，C，D都在直线a上，下列线段中最短的是()





A．PA B．PB C．PC D．PD


2．如图，l为河岸(视为直线)，要想开一条沟将河里的水从A处引到田地里去，则应从河边l的何处开口才能使水沟最短，找出开口处的位置并说明理由．





3．已知，如图，在直线l的同侧有两点A，B.





(1)在图1的直线上找一点P，使PA＋PB最短；


(2)在图2的直线上找一点P，使PA－PB最长．





提升








1.某中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短．





2．如图，村庄A，B位于一条小河的两侧，若河岸a，b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？











拔高








A


1如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN周长最小，求∠AMN＋∠ANM的度数．


D


B








C





2.在直角坐标系中有四个点, A(-8,3),B(-4,5)C(0，n),D(m,0),当四边形ABCD周长最短时,求 。




















五、课堂小结


1.求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置


2.求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置。








六、课后练习











基础








B


1.如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．


A











2.已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.


A











3.如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）


























巩固








1. 如图所示，是一个圆柱体，ABCD是它的一个横截面，AB=8Π，BC=3，一只蚂蚁，要从A点爬行到C点，那么，最近的路程长为（ ）


A．7B．67C． D．5


2.有一长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处沿长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处，则需要爬行的最短路径长为（ ）


A．52cmB．74cmC．45cmD．310cm


3. 如图，正方形ABCD，AB边上有一点E，AE=3，EB=1，在AC上有一点P，使EP+BP为最短．











拔高





D


A


1.如图，在正方形ABCD中，点E为BC上一定点，


且BE=10,CE=14,P为BD上一动点，求PE+PC最小值。











C


E


B








2.在直角坐标系中有四个点, A(-8,3),B(-4,5)C(0，n),D(m,0),当四边形ABCD周长最短时,求 mn 。


3. 如图，点P、Q为△ABC的边AB、AC上的两定点，在BC上求做一点M，使△PQM的周长最短











七 、教学反思








适用学科
初中数学
适用年级
初中二年级
适用区域
人教版
课时时长（分钟）
120
知识点
轴对称：最短路径问题
教学目标
1.理解并掌握平面内一条直线同侧或异侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小值时点的位置的确定。


2.能利用轴对称平移解决实际问题中路径最短的问题。


3.通过独立思考，合作探究，培养学生运用数学知识解决实际问题的基本能力，感受学习成功的快乐。
教学重点
将实际问题转化为数学问题，利用轴对称解决实际生活中的最短路径问题
教学难点
探索发现最短路径的方案，判断最短路径的作图及说理