人教版八年级上册13.4课题学习 最短路径问题优秀教案设计

这是一份人教版八年级上册13.4课题学习 最短路径问题优秀教案设计，共21页。教案主要包含了知识导图等内容，欢迎下载使用。



















轴对称：最短路径问题















































概 述











【知识导图】














教学过程


一、导入








1.两点之间，线段最短。


2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。


3.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。





二、知识讲解








考点1求直线异侧的两点到直线上一点距离的和的最小的问题








求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题





考点2求直线同侧的两点到直线上一点距离的和的最小的问题


讲解内容：只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置。








三 、例题精析


讲解内容：只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置。








例题1








如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短


【答案】作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'与l交于点C，则点C为所求的点。





【解析】在直线l上任取不同于C点的C'点，连接AC’,BC’∵点B和B'关于直线l对称∴CB=CB’、C'B=C'B'∴CA+CB=CA+CB'=AB'∵CA+CB’

∴AB'=CA+CB







例题2








如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AM+NB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）





【答案】1.将点A沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到A'，


2.连接A'B交河对岸于点N,


则点N为建桥的位置，MN为所建的桥。





【解析】由平移的性质，得 AM∥A'N且AM=A'N, MN=M'N'，AM'∥A'N'，AM'=A'N'


所以A、B两地的距:AM+MN+BN=AA'+A'N+NB=AA'+A'B


若桥的位置建在M'N'处，则AB两地的距离为： AM'+M'N'+N'B=A'N'+M'N'+N'B


在△A'N'B中，∵A'N'+N'B>A'B ,M'N'=AA'∴M'N'+A'N'+N'B＞AA'+A'B


所以桥的位置建在MN处，AB两地的路程最短。








例题3








如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.





【答案】分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′A″，分别交OM，ON于点


B、点C，则点B、点C即为所求





【解析】若点取在B'、C'处∵A和A'关于OM对称，A和A''关于ON对称∴AB=A'B，AC=A''C，A'B'=AB'，AC'=A''C'∴ △ABC的周长=AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''.，△AB'C'的周长=AB'+B'C'+C'A=A'B'+B'C'+C'A''>A'A'',∴A'A''长度最小，∴点B和点C即为使三角形周长最小的点。








例题4








如图所示，点A，B分别是直线l上异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短。





【答案】连接AB与l交于点C，点C即为所求的点。





【解析】两点之间线段最短














例题5





如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，则选在哪处饮马使总距离最短。














【答案】作点A关于CD的对称点A′，连接A'B，交CD于点M，则M点即为使饮马总距离最短的点。


【解析】在直线CD上任取不同于M点的M'点，连接A'M'、AM'.∵点A和A'关于直线CD对称∴AM'=A'M',AM=A'M,AM+MB=A'M+MB=A'B,AM'+M'B=A'M'+M'B>A'B∴选在M点处饮马使总距离最短。








例题6








如图，正方形ABCD，AB边上有一点E，AE=3，EB=1，在AC上有一点P，使EP+BP为最短．





【答案】连接DE交AC于点P，则DE=EP+BP最短。


【解析】在AC上任取不同于P点的P'点∵点B和点D关于直线AC对称∴DP=BP，DP'=BP'


∴EP+BP=EP+DP=DE，EP'+BP'=EP'+DP'∵EP'+DP'>DE∴EP'+BP'>EP+BP,∴点取在P处时EP+BP为最短








例题7








如图，点P、Q为△ABC的边AB、AC上的两定点，在BC上求做一点M，使△PQM的周长最短





【答案】作点P关于线段BC所在直线的对称点P'，连接P'Q交BC于点M，则点M即为所求的点。





【解析】在BC上任取不同于M点的M'点，连接PQ、PM、PM'、P'M'、M'Q，∵点P和P'关于BC所在的直线对称，∴PM=P'M，PM'=P'M'，∴△PQM的周长=PM+MQ+QP=P'M+MQ+QP=P'Q+QP，若点区在M'处，△PQM'的周长=PM'+M'Q+QP


=P'M'+M'Q+QP，∵P'M'+M'Q>P'Q∴P'M'+M'Q+QP>P'Q+QP,∴△PQM'的周长>△PQM的周长,∴点取在M处使△PQM'的周长最短。











例题8





某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？





【答案】作法：1.作点C关于直线 OA的对称点点D,


2.作点C关于直线 OB的对称点点E,


3.连接DE分别交直线OA、OB于点M、N，


则CM+MN+CN最短





【解析】在OA、OB上任取不同于点M、点N的点M'和点N’，连接CM、CM'、DM'、CN、CN'、EN'、M'N'∵点C和D关于射线OA对称，C和E关于射线OB对称，∴CM=DM，


CM'=DM'、CN=EN、CN'=EN'∴CM+MN+CN= DM+MN+EN=DE，CM'+CN'+ M'N'= DM'+ EN'+M'N'∵DM'+ EN'+M'N'> DE∴CM'+CN'+ M'N'> CM+MN+CN∴CM+MN+CN最短。








例题9





如图，两点P、Q在锐角∠AOB内，分别在OA、OB上求作点M、N，使PM+MN+QN最短





【答案】分别作点P点Q关于直线OA、OB的对称点P'、Q',连接P'Q'分别交射线OA、OB于点M、N，则点M、N即为所求的点。





【解析】在射线OA、OB上任取不同于点M、点N的点M'和点N’，连接PM、PM'、P'M'、QN、QN'、Q'N'，∵点P和P'关于射线OA对称，Q和Q'关于射线OB对称，


∴PM=P'M，PM'=P'M'，QN=Q'N，QN'=Q'N'∴PM+MN+QN=P'M+MN+Q'N=P'Q'


PM'+M'N'+QN'=P'M'+M'N'+Q'N'>P'Q'∴PM'+M'N'+QN'>PM+MN+QN∴点M、点N即为使PM+MN+QN最短的点。








四 、课堂运用











基础








1．如图，点P是直线a外一点，PB⊥a，点A，B，C，D都在直线a上，下列线段中最短的是()





A．PA B．PB C．PC D．PD


2．如图，l为河岸(视为直线)，要想开一条沟将河里的水从A处引到田地里去，则应从河边l的何处开口才能使水沟最短，找出开口处的位置并说明理由．





3．已知，如图，在直线l的同侧有两点A，B.





(1)在图1的直线上找一点P，使PA＋PB最短；


(2)在图2的直线上找一点P，使PA－PB最长．





答案与解析


1.B


2解：图略．理由：垂线段最短．


3解：(1)作点B关于直线l的对称点C，连接AC交直线l于点P，连接BP.点P即为所求．图略．





提升


(2)连接AB并延长，交直线l于点P.图略．





1.某中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短．





2．如图，村庄A，B位于一条小河的两侧，若河岸a，b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？





答案与解析


1.解：如图．


作法：①作点C关于OA的对称点C1，点D关于OB的对称点D1；②连接C1D1，分别交OA，OB于点P，Q，连接CP，DQ，那么小明沿C→P→Q→D的路线行走，所走的总路程最短．


2解：①过点A作AP⊥a，并在AP上向下截取AA′，使AA′的长等于河的宽度；②连接A′B交b于点D；③过点D作DE∥AA′交a于点C；④连接AC.则CD即为桥的位置．图略．








拔高








A


1如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN周长最小，求∠AMN＋∠ANM的度数．


D


B








C





2.在直角坐标系中有四个点, A(-8,3),B(-4,5)C(0，n),D(m,0),当四边形ABCD周长最短时,求 。





答案与解析


1解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，连接AM，AN，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH.


∵∠DAB＝120°，


∴∠HAA′＝60°.


∴∠A′＋∠A″＝∠HAA′＝60°.


∵∠A′＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠A′＋∠MAA′＝∠AMN，∠NAD＋∠A″＝∠ANM，∴∠AMN＋∠ANM＝∠A′＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2(∠A′＋∠A″)＝120°.


2分折:因AB长为定值,四边形周长


最短时有BC+CD+DA最短,作B关于y轴对称点B’,


A关于x轴对称点A’,


DA+DC+BC=DA’+DC+B’C≥B’A’(当D,C运动到AB和x轴y轴的交点时等号成立),易求直线A’B’解折式y=23x +73,C0(0, 73),D0(-72,0),此时mn=- 23

















五、课堂小结


1.求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置


2.求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置。








六、课后练习











基础








B


1.如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．


A











2.已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.


A











3.如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）























答案与解析


1.解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C就是所求的点．


2解：分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求


分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小


3解：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，


2.连接AE交河对岸与点M,则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。


证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE,


所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,


若桥的位置建在CD处，连接,


则AB两地的距离为：


AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,


在△ACE中，∵AC+CE＞AE, ∴AC+CE+MN＞AE+MN,即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN


所以桥的位置建在CD处，AB两地的路程最短。





巩固








1. 如图所示，是一个圆柱体，ABCD是它的一个横截面，AB=8Π，BC=3，一只蚂蚁，要从A点爬行到C点，那么，最近的路程长为（ ）


A．7B．67C． D．5


2.有一长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处沿长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处，则需要爬行的最短路径长为（ ）


A．52cmB．74cmC．45cmD．310cm


3. 如图，正方形ABCD，AB边上有一点E，AE=3，EB=1，在AC上有一点P，使EP+BP为最短．








答案与解析


1.分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．


解：将圆柱体展开，连接A、C，


∵=180Π✖r180=12•π•8Π=4，BC=3，


根据两点之间线段最短，AC=5． 故选D．


2.分析：把此长方体的一面展开，在平面内，两点之间线段最短．利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另一条直角边长等于长方体的长宽之和，利用勾股定理可求得．


解：因为平面展开图不唯一，


故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．


（1）展开前面、右面，由勾股定理得AB2=（5+4）2+32=90；


（2）展开前面、上面，由勾股定理得AB2=（3+4）2+52=74；


（3）展开左面、上面，由勾股定理得AB2=（3+5）2+42=80；


所以最短路径长为74cm．


3【答案】连接DE交AC于点P，则DE=EP+BP最短。














【解析】在AC上任取不同于P点的P'点∵点B和点D关于直线AC对称∴DP=BP，DP'=BP'


∴EP+BP=EP+DP=DE，EP'+BP'=EP'+DP'∵EP'+DP'>DE∴EP'+BP'>EP+BP,∴点取在P处时EP+BP为最短





拔高





D


A


1.如图，在正方形ABCD中，点E为BC上一定点，


且BE=10,CE=14,P为BD上一动点，求PE+PC最小值。











C


E


B








2.在直角坐标系中有四个点, A(-8,3),B(-4,5)C(0，n),D(m,0),当四边形ABCD周长最短时,求 mn 。


3. 如图，点P、Q为△ABC的边AB、AC上的两定点，在BC上求做一点M，使△PQM的周长最短








答案与解析


1.分析：作E关于BD对称点E’，E’在AB上，


有PE+PC=PE’+PC≥E’C易求E’C=26。


2.分折:因AB长为定值,四边形周长


最短时有BC+CD+DA最短,作B关于y轴对称点B’,


A关于x轴对称点A’,


DA+DC+BC=DA’+DC+B’C≥B’A’(当D,C运动到AB和x轴y轴的交点时等号成立),易求直线A’B’解折式y=23x +73,C0(0, 73),D0(-72,0),此时mn=- 23


3【答案】作点P关于线段BC所在直线的对称点P'，连接P'Q交BC于点M，则点M即为所求的点。





【解析】在BC上任取不同于M点的M'点，连接PQ、PM、PM'、P'M'、M'Q，∵点P和P'关于BC所在的直线对称，∴PM=P'M，PM'=P'M'，∴△PQM的周长=PM+MQ+QP=P'M+MQ+QP=P'Q+QP，若点区在M'处，△PQM'的周长=PM'+M'Q+QP


=P'M'+M'Q+QP，∵P'M'+M'Q>P'Q∴P'M'+M'Q+QP>P'Q+QP,∴△PQM'的周长>△PQM的周长,∴点取在M处使△PQM'的周长最短。








七 、教学反思








适用学科
初中数学
适用年级
初中二年级
适用区域
人教版
课时时长（分钟）
120
知识点
轴对称：最短路径问题
教学目标
1.理解并掌握平面内一条直线同侧或异侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小值时点的位置的确定。


2.能利用轴对称平移解决实际问题中路径最短的问题。


3.通过独立思考，合作探究，培养学生运用数学知识解决实际问题的基本能力，感受学习成功的快乐。
教学重点
将实际问题转化为数学问题，利用轴对称解决实际生活中的最短路径问题
教学难点
探索发现最短路径的方案，判断最短路径的作图及说理