【精品讲义】 人教版 八年级上册数学 第09讲 期中复习（讲义+练习）教师版

这是一份初中数学人教版八年级上册本册综合优质课教案，共43页。教案主要包含了知识导图，如图（1）等内容，欢迎下载使用。

第9讲


讲























期中复习












































概 述








【知识导图】

















教学过程





一、导入








复习预习


1、复习三角形的相关性质


2、复习三角形全等的几种证明方法


3、复习角平分线的相关性质及判定方法


4、复习轴对称图形的性质


5、复习等腰三角形，等边三角形的相关性质


6、复习最短路径问题








二、知识讲解








考点1三角形的相关概念








1、不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形


2、组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点


3、三角形ABC用符号表示为△ABC。三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c 表示,顶点B所对的边AC可用b表示,顶点A所对的边BC可用a表示.


4、三角形的分类








考点2三角形三边的关系








三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边





考点3与三角形有关的线段念








从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高，表示为AD⊥BC于点D。


注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。


再画出这个三角形AB 、AC边上的高，三角形的三条高相交于一点。


如图，我们把连结△ABC的顶点A和它的对边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线，表示为BD=DC或BD=DC＝BC或2BD=2DC=BC.


在图中画出△ABC的另两条边上的中线，三角的三条中线相交于一点。





三角形的三条中线相交于一点，交点叫做三角形的重心。


如图，画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线,表示为∠BAD=∠CAD或∠BAD=∠CAD＝∠BAC或2∠BAD=2∠CAD＝∠BAC。





三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线，是不一样的。三角形三个角的平分线相交于一点。


如果三角形是直角三角形、钝角三角形，上面的结论仍然成立。


考点4三角形内角和定理








三角形三个内角的和等于180°


用平行线的性质证明内角和180°


已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°。


证明：过点C作CM∥AB，则∠A=∠ACM，∠B=∠DCM，


又∠ACB+∠ACM+∠DCM=180°


∴∠A+∠B+∠ACB=180°。


即：三角形的内角和等于180°。








考点5三角形外角的概念











∠ACD叫做△ABC的外角。也就是，三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。


三角形的外角共有六个。


注意：每个顶点处有两个外角，它们是对顶角。研究与三角形外角有关的问题时，通常每个顶点处取一个外角





三角形的外角∠ACD与相邻的内角∠ACB是邻补角。


如图，这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线，你能就此图说明∠ACD与∠A、∠B的关系吗？





∵CM∥AB，∴∠A=∠1，∠B=∠2，又∠ACD=∠1+∠2


∴∠ACD=∠A+∠B


三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。


三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。





考点6多边形概念








在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形（p1ygn）


多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……三角形是最简单的多边形。如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形。如图7.3—2，螺母底面的边缘可以设计为六边形，也可以设计为八边形。





多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。图7.3—3中的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E是五边形ABCDE的5个内角。多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。图7.3－4中的∠l是五边形ABCDE的一个外角。








考点7多边形的对角线





连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线（diagnal）。图7.3—5中，AC、AD是五边形ABCDE的两条对角线。


特别提醒：n边形（n≥3）从一个顶点可引出（n－3）条对角线，把n边形分割成（n－2）个三角形，共有对角线条。


例如：十边形有________条对角线。在这里n=10，就可套用对角线条数公式（条）。

















考点8多边形的内角和








从四边形的一个顶点出发可以引一条对角线，它们将四边形分成两个三角形，因此，四边形的内角和=△ABD的内角和+△BDC的内角和=2×180°=360°。


从五边形一个顶点出发可以引两条对角线，它们将五边形分成三个三角形，五边形的内角和等于540°；


从六边形一个顶点出发可以引三条对角线，它们将六边形分成四个三角形，六边形的内角和等于720°；


从n边形一个顶点出发，可以引（n-3）对角线，它们将n边形分成（n-2）三角形，n边形的内角和等于（n一2）·180°。


n边形的内角和等于（n一2）·180°．





考点9全等三角形的判定








三角形全等的五种判定方法SAS、SSS、AAS、ASA、HL





考点10判定三角形全等的基本思路














……





考点11角平分线的性质及判定念








角平分线上的点到角两边的距离相等。


角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。


考点12线段的垂直平分线的尺规作图








要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定定理，到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，又由两点确定一条直线这个公理，那么必须找到两个到线段两端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直平分线．


[例]如图（1），点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？





已知：线段AB【如图（1）】．


求作：线段AB的垂直平分线．


作法：如图（2）


(1)．分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C和D两点；


(2)．作直线CD．


直线CD就是线段AB的垂直平分线．


考点13等腰三角形概念








有两条边相等的三角形叫做等腰三角形


相等的两边叫做等腰三角形的腰，第三边叫做底边


腰与底边的夹角叫做底角


两腰的夹角叫做顶角


考点14三角形的特征








等腰三角形是轴对称图形


等腰三角形顶角的角平分线、底边的中线、底边上的高互相重合（也称等腰三角形三线合一），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴





考点15等边三角形


等腰三角形的两个底角相等





（1）性质：①等边三角形各边都相等；②等边三角形各角都相等，并且都等于60°。


（2）判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形。②三个角都相等的三角形是等边三角形。③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形


特殊直角三角形


（1）含30°的直角三角形中，30°角所对的边等于斜边一半，且三边长度比为1：：2；





考点16 求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题


（2）等腰直角三角形各边长比为1：1：





求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题


讲解内容：只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置。





三 、例题精析











例题1








如图所示，三角形的个数是（）





A．3个 B．4个 C．5个 D．6个


【答案】D


【解析】BD，BE，BC，DE，DC，EC六条线段分别和A组成6个三角形．故选D





例题2








用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形。


（1）如果腰长是底长的2倍，那么各边的长是多少？


（2）能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么？





【答案】（1）设底边长为xcm，


∵腰长是底边的2倍，∴腰长为2xcm，


∴2x+2x+x=18，解得，x=cm，


∴2x=2×=cm，∴各边长为：cm，cm，cm


（2）①当4cm为底时，腰长==7cm；


②当4cm为腰时，底边=18-4-4=10cm，


∵4+4＜10，∴不能构成三角形，故舍去；


∴能构成有一边长为4cm的等腰三角形，另两边长为7cm，7cm．


【解析】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形的三边关系，在解答此类题目时要注意分类讨论，不要漏解


（1）设底边长为xcm，则腰长为2xcm，根据周长公式列一元一次方程，解方程即可求得各边的长；


（2）题中没有指明4cm所在边是底还是腰，故应该分情况进行分析，注意利用三角形三边关系进行检验





例题3








下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（ ）


A． B．C． D．


【答案】D


【解析】根据高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高





例题4








BM是△ABC中AC边上的中线，AB=5cm，BC=3cm，求△ABM与△BCM的周长之差


【答案】解：5-3=2cm．答：△ABM与△BCM的周长之差为2cm．


【解析】根据三角形的中线的概念，由BM是△ABC中AC边上的中线得AM=CM．所以△ABM与△BCM的周长之差为AB与BC的差．





例题5








如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线。求∠ADB得度数。





【答案】∵AD平分∠CAB，∠BAC=40°，


∴∠DAB=∠BAC=20°，


∵∠B=75°，


∴∠ADB=180°-∠DAB-∠B=180°-20°-75°=85°


【解析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义的应用，注意：三角形的内角和等于180°。


根据角平分线定义求出∠DAB，根据三角形内角和定理得出∠ADB=180°-∠DAB-∠B，代入求出即可．





例题6








如图，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=





【答案】66.5°


【解析】∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，


∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF；


又∵∠B=47°（已知），∠B+∠1+∠2=180°（三角形内角和定理），


∴∠DAC+∠ACF


=（∠B+∠2）+（∠B+∠1）


=（∠B+∠B+∠1+∠2）=（外角定理），


∴∠AEC=180°-（∠DAC+∠ACF）=66.5°；


故答案是：66.5°．








例题7








（1）如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于O．


①已知∠A=40°，求∠BOC的度数，∠A与∠BOC有怎样的数量关系？


②若∠A=n°，则∠A与∠BOC有怎样的数量关系？


（2）如图2，在△A′B′C′中，∠A′B′C′的平分线与∠A′C′B′的外角平分线相交于O′，请你探索∠A′与∠O′有怎样的数量关系？





【答案】（1）∠BOC=90°+∠A．理由如下：


∵∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，


∴2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB，


而BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，


∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，


∴2∠BOC=360°-（∠ABC+∠ACB），


∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，


∴2∠BOC=180°+∠A，


∴∠BOC=90°+∠A．


①当∠A=40°，∠BOC=110°；


②当∠A=n°，∠BOC=90°+°


（2）∠B′O′C′=∠A′．理由如下：


∵∠O′C′D=∠B′O′C′+∠O′B′C′，∠A′C′D=∠A′B′C′+∠A′，


而B′O′平分∠A′B′C′，C′O′平分∠A′C′D，


∴∠A′C′D=2∠O′C′D，∠A′B′C′=2∠O′B′C′，


∴2∠B′O′C′+2∠O′B′C′=∠A′B′C′+∠A′，


∴2∠B′O′C′=∠A′，


即∠B′O′C′=∠A′．


【解析】


（1）根据三角形内角和定理得到∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，则2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB，再根据角平分线的定义得∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，则2∠BOC=360°-∠ABC-∠ACB，易得∠BOC=90°+∠A．


（2）根据角平分线的定义得∠ACE=2∠OCE，∠ABC=2∠OBC，由三角形外角的性质有∠OCE=∠BOC+∠OBC，∠ACE=∠ABC+∠A，则2∠BOC+2∠OBC=∠ABC+∠A，即可得到∠BOC=∠A；





例题8








若一个多边形截去一个角后，变成十五边形，则原来的多边形的边数可能为（ ）


A．14或15或16 B．15或16 C．14或16 D．15或16或17


【答案】A


【解析】一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，则多边形的边数是14，15或16．故选A．








例题9








如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角．若∠A=120°，则∠1+∠2+∠3+∠4=．





【答案】300°


【解析】由题意得，∠5=180°-∠EAB=60°，


又∵多边形的外角和为360°，


∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°-∠5=300°．


故答案为：300°





例题10








如图，小华不小心把一块三角形玻璃打碎为三块，他能否只带其中一块碎片到商店，就能配出一块和原来一样的三角形玻璃？如果能，带哪一块去？为什么？





【答案】解：a只保留了一个角及部分边，不能配成和原来一样的三角形玻璃；


b则只保留了部分边，不能配成和原来一样的三角形玻璃；


而c不但保留了一个完整的边还保留了两个角，所以应该带“C”去，根据全等三角形判定“ASA”可以配出一块和原来一样的三角形玻璃．


【解析】此题是对全等三角形的判定方法在实际生活中的考查，通过实际情况来考查学生对常用的判定方法的掌握情况．














例题11





如下图，Rt△ADC与Rt△BCD，AC=BD，求证AD=BC





【答案】证明：在Rt△ADC与Rt△BCD中AC=BD，CD=CD.


∴Rt△ADC与Rt△BCD.（HL）


∴AD=BC.（全等三角形的对应边相等）


【解析】HL（斜边、直角边）


即在直角三角形中一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等





例题12








已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E


求证：PD=PE．





【答案】证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，


∴∠PDO=∠PEO=90°


在△PDO和△PEO中，





∴△PDO≌△PEO（AAS）


∴PD=PE


【解析】角的平分线上的点到角的两边的距离相等．











例题13





如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DC=2，则D到AB边的距离是______





【答案】2


【解析】过D作DE⊥AB于E，得出DE的长度是D到AB边的距离，根据角平分线性质求出CD=ED，代入求出即可．


解：过D作DE⊥AB于E，则DE的长度就是D到AB边的距离．





例题14


∵AD平分∠CAB，∠ACD=90°，DE⊥AB，∴DC=DE=2（角平分线性质），故答案为：2．





如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB外角的平分线相交于点F，连接AF，则下列结论正确的有（）


AF平分BC B．AF平分∠BAC C．AF⊥BC D．以上结论都正确





【答案】B


【解析】解：过F点分别作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为E、G、D，


∵∠ABC、∠ACB外角的平分线相交于点F，


∴EF=GF，GF=DF，∴EF=DF，∴AF平分∠BAC．


故选B．




















例题15





如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF=





【答案】2





例题16


【解析】作EG⊥OA于F，根据角平分线的性质得到EG的长度，再根据平行线的性质得到∠OEF=∠COE=15°，然后利用三角形的外角和内角的关系求出∠EFG=30°，利用30°角所对的直角边是斜边的一半解题





△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等；∠A=40°，则∠BOC=————





【答案】由已知，O到三角形三边距离相等，所以O是内心，


即三条角平分线交点，AO，BO，CO都是角平分线，


所以有∠CBO=∠ABO=∠ABC，∠BCO=∠ACO=∠ACB，


∠ABC+∠ACB=180-40=140° ∠OBC+∠OCB=70° ∠BOC=180-70=110°


【解析】由已知，O到三角形三边距离相等，得O是内心，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数．





例题17








如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，若△DEB的周长为10cm，求斜边AB的长





【答案】∵AD平分∠BAC


∴DE=CD


∴△ACD≌△AED


∴AC=CB=AE


∴AB=AE+BE=BC+BE=BD+CD+BE=DB+DE+BE=10cm


【解析】由AD平分∠BAC交BC于点D，可以知道本题满足角平分线的性质定理得到：DE=CD,△ACD≌△AED，则AC=CB=AE，则AB=AE+BE=BC+BE=BD+CD+BE=DB+DE+BE即可求出





例题18








如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（ ）


A．ED=CD B．∠DAC=∠B C．∠C＞2∠B D．∠B+∠ADE=90°





【答案】∵DE是线段AB的垂直平分线，


∴AD=BD．∴∠B=∠BAD，∠ADE=∠BDE．∴∠B+∠ADE=90°


其它选项无法证明其是正确的．故选D


【解析】根据线段垂直平分线的性质得等腰三角形ADB，运用等腰三角形的性质得出尽量多的结论，与各选项进行比对，答案可得





例题19








如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求：△ABC各角的度数．





【答案】因为AB=AC，BD=BC=AD，


所以∠ABC=∠C=∠BDC．


∠A=∠ABD（等边对等角）．


设∠A=x，则


∠BDC=∠A+∠ABD=2x，


从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x．


于是在△ABC中，有


∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，


解得x=36°．


在△ABC中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．


【解析】根据等边对等角的性质，我们可以得到


∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC，


再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A．





例题20


再由三角形内角和为180°，就可求出△ABC的三个内角．





如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在AC，AB上，且BC=BD=DE=EA，则∠A的度数为





【答案】解：∵AE=ED，∴∠ADE=∠A，


∴∠DEB=∠A+∠ADE=2∠A，


∵BD=ED，∴∠ABD=∠DEB=2∠A，


∴∠BDC=∠A+∠ABD=3∠A，


∵BD=BC，∴∠C=∠BDC=3∠A，


∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=3∠A，


∵∠ABC+∠C+∠A=180°，∴7∠A=180°，


∴∠A=1807度


【解析】由已知根据等腰三角形的性质可得到几组相等的角，再根据三角形外角的性质可得到∠C与∠A之间的关系，从而再利用三角形内角和定理求解即可











例题21





已知MN是线段AB的垂直平分线，下列说法正确的是（ ）


A．与AB距离相等的点在MN上


B．与点A和点B距离相等的点在MN上


C．与MN距离相等的点在AB上


D．AB垂直平分MN


【答案】B


【解析】∵MN是线段AB的垂直平分线，


∴与点A和点B距离相等的点在MN上，MN垂直平分AB．


故B正确；A、C、D错误．故选B





例题22








下列说法中：


①P是线段AB上的一点，直线l经过点P且l⊥AB，则l是线段AB的垂直平分线；


②直线l经过线段AB的中点，则l是线段AB的垂直平分线；


③若AP=PB，且直线l垂直于线段AB，则l是线段AB的垂直平分线；


④经过线段AB的中点P且垂直于AB的直线l是线段AB的垂直平分线．


其中正确的个数有（ ）


A．1个 B．2个 C．3个 D．4个


【答案】C


【解析】①P不是AB的中点，则l不平分线段AB，故错误；


②直线l经过线段AB的中点，且垂直于AB则l是线段AB的垂直平分线，故错误；


③若AP=PB，则P在线段AB的垂直平分线上，但l不一定是线段AB的垂直平分线，故错误；④正确．故选A





例题23








如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D．若AC=9，则AE的值是（）


A．63 B．43 C．6 D．4








【答案】C


【解析】由角平分线的定义得到∠CBE=∠ABE，再根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，则∠A=∠ABE，可得∠CBE=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到BE=2EC，即AE=2EC，由AE+EC=AC=9，即可求出AC．


解：∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠ABE，


∵ED垂直平分AB于D，∴EA=EB，∴∠A=∠ABE，∴∠CBE=30°，





例题24


∴BE=2EC，即AE=2EC，而AE+EC=AC=9，∴AE=6．故选C．





等边三角形ABC的边长是6cm，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD，连接DE，则DE的长是cm．





【答案】．


【解析】∵△ABC是等边三角形，BD是中线，∴∠ABC=∠ACB=60°．∠DBC=30°．





例题25


又∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，∴∠CDE=∠CED=∠BCD=30°．∴∠DBC=∠CED．∴DB=DE．∵等边三角形ABC的边长是6cm，∴DE=BD=





如图，将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2011次，依次得到点P1、P2、P3、…、P2011，则点P2011的坐标是．





【答案】（4021，）．


【解析】易得P1（1，），而P1P2=P2P3=2，∴P2（3，），P3（5，）；依此类推，Pn（1+2n﹣2，），即Pn（2n﹣1，）；当n=2011时，P2011（4021，），





例题26








如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（）


A．3 B．2 C． D．1








【答案】B


【解析】连接AF，求出AF=BF，求出∠AFD、∠B，得出∠BAC=30°，求出AE，求出∠FAC=∠AFE=30°，推出AE=EF，代入求出即可．


解：连接AF，


∵DF是AB的垂直平分线，∴AF=BF，


∵FD⊥AB，∴∠AFD=∠BFD=30°，∠B=∠FAB=90°-30°=60°，


∵∠ACB=90°，∴∠BAC=30°，∠FAC=60°-30°=30°，


∵DE=1，∴AE=2DE=2，∵∠FAE=∠AFD=30°，∴EF=AE=2，


故选B．





例题27








如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF=2，则PE的长为（）


A．2 B．C．D．3





【答案】C


【解析】先根据△ABC是等边三角形，P是∠ABC平分线可知∠EBP=∠QBF=30°，再根据BF=2，FQ⊥BP可得BQ的长，再由BP=2BQ；可求BP的长，在Rt△BEF中，根据∠EBP=30°即可求出PE的长．





例题28


解：∵△ABC是等边三角形P是∠ABC的平分线，∴∠EBP=∠QBF=30°，


∵BF=2，FQ⊥BP，∴BQ=BF•cs30°=2×=，


∵FQ是BP的垂直平分线，∴BP=2BQ=2，


在Rt△BEF中，∵∠EBP=30°，∴PE=BP=．故选C．





如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC．下列结论：①BE=CD；②∠BOD=60°；③∠BDO=∠CEO，正确的是．





【答案】①②


【解析】∵△ABD与△AEC都是等边三角形，∴AD=AB，AE=AC，∠ADB=∠ABD=60°，∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，∴∠DAC=∠BAE，


在△DAC和△BAE中，，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴BE=DC，∠ADC=∠ABE，∵∠BOD=180°﹣∠ODB﹣∠DBA﹣∠ABE=180°﹣∠ODB﹣60°﹣∠ADC


=120°﹣（∠ODB+∠ADC）=120°﹣60°=60°，∴∠BOD=60°，∴①正确；②正确；





例题29


∵△ABD与△AEC都是等边三角形，∴∠ADB=∠AEC=60°，但根据已知不能推出∠ADC=∠AEB，∴说∠BDO=∠CEO错误，∴③错误；





如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AM+NB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）





【答案】1.将点A沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到A'，


2.连接A'B交河对岸于点N,则点N为建桥的位置，MN为所建的桥。





【解析】由平移的性质，得 AM∥A'N且AM=A'N, MN=M'N'，AM'∥A'N'，AM'=A'N'


所以A、B两地的距:AM+MN+BN=AA'+A'N+NB=AA'+A'B


若桥的位置建在M'N'处，则AB两地的距离为： AM'+M'N'+N'B=A'N'+M'N'+N'B


在△A'N'B中，∵A'N'+N'B>A'B ,M'N'=AA'∴M'N'+A'N'+N'B＞AA'+A'B


所以桥的位置建在MN处，AB两地的路程最短。





例题30








如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.





【答案】分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′A″，分别交OM，ON于点


B、点C，则点B、点C即为所求








四、课堂小结


【解析】若点取在B'、C'处∵A和A'关于OM对称，A和A''关于ON对称∴AB=A'B，AC=A''C，A'B'=AB'，AC'=A''C'∴ △ABC的周长=AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''.，△AB'C'的周长=AB'+B'C'+C'A=A'B'+B'C'+C'A''>A'A'',∴A'A''长度最小，∴点B和点C即为使三角形周长最小的点。





1、本次课主要针对期中考试前学习的内容进行综合复习：


复习三角形的相关性质


复习三角形全等的几种证明方法


复习角平分线的相关性质及判定方法


复习轴对称图形的性质


复习等腰三角形，等边三角形的相关性质


复习最短路径问题








五、课后作业








基础








1．如图，点D是△ABC中∠BAC的平分线AD和边BC的垂直平分线DE的交点，DG⊥AB于点G,DH⊥AC的延长线于点H,求证：BG=CH.





2. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC=（）





A. B.2 C.3 D.


3、如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D在同一条直线上.


求证：BD=CE.








答案与解析


1【答案】证明：连接DC、DB


∵D在∠BAC的平分线上, DG⊥AB于点G,DH⊥AC，∴DH=DG


∵D在BC的垂直平分线上，∴DB=DC


∵∠BGD=∠DHC=90°∴△BDG≌△CDH（HL），∴BG=CH。





2【答案】C.


【解析】根据角平分线的性质即可求得CD等于DE的长，然后在直角△BDE中，根据30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得BD长等于2倍的DE长，则BC即可求得．选C.


3【答案】证明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形∴AD=AE，AB=AC，


又∵∠EAC=90°+∠CAD，∠DAB=90°+∠CAD，∴∠DAB=∠EAC，


在△ADB和△AEC中


∵AD=AE，∠DAB=∠EAC，AB=AC


∴△ADB≌△AEC(SAS) ，∴BD=CE.








巩固





1.如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E．在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC．


（1）求证：BE＝CF；


（2）在AB上取一点M，使BM＝2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME．


求证：①ME⊥BC；②DE＝DN





2. （1）如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于O．


①已知∠A=40°，求∠BOC的度数，∠A与∠BOC有怎样的数量关系？


②若∠A=n°，则∠A与∠BOC有怎样的数量关系？


（2）如图2，在△A′B′C′中，∠A′B′C′的平分线与∠A′C′B′的外角平分线相交于O′，请你探索∠A′与∠O′有怎样的数量关系？





3. 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AM+NB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）








答案与解析


1【答案】证明：如图，（1）∵∠BAC＝90°，AF⊥AE，


∴∠1＋∠EAC＝90°，∠2＋∠EAC＝90°，∴∠1＝∠2．


又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，


∵FC⊥BC，∴∠FCA＝90°－∠ACB＝90°－45°＝45°，


∴，∴(ASA)，∴


（2）①过E作于点G


∵，∴△GBE是等腰直角三角形，∴


∵，AE平分∠BAD，∴，∴


∵，∴，即G是BM的中点


∴GE是BM的垂直平分线，∴EB＝EM，∴∠4＝∠3＝45°


∴∠MEB＝∠4＋∠3＝45°＋45°＝90°，即ME⊥BC．


②∵AD⊥BC，∴ME∥AD，∴∠5＝∠6


∵∠1＝∠5，∴∠1＝∠6，∴AM＝EM


∵MC＝MC，∴Rt△AMC≌Rt△EMC（HL），∴∠7＝∠8


∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ACB＝45°，∠BAD＝∠CAD＝45°，


∴∠5＝∠7＝22.5°，AD＝CD


∵∠ADE＝∠CDN＝90°，∴△ADE≌△CDN（ASA），∴DE＝DN





2【答案】（1）∠BOC=90°+∠A．理由如下：


∵∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，


∴2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB，


而BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，


∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，


∴2∠BOC=360°-（∠ABC+∠ACB），


∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，


∴2∠BOC=180°+∠A，


∴∠BOC=90°+∠A．


①当∠A=40°，∠BOC=110°；


②当∠A=n°，∠BOC=90°+°


（2）∠B′O′C′=∠A′．理由如下：


∵∠O′C′D=∠B′O′C′+∠O′B′C′，∠A′C′D=∠A′B′C′+∠A′，


而B′O′平分∠A′B′C′，C′O′平分∠A′C′D，


∴∠A′C′D=2∠O′C′D，∠A′B′C′=2∠O′B′C′，


∴2∠B′O′C′+2∠O′B′C′=∠A′B′C′+∠A′，


∴2∠B′O′C′=∠A′，


即∠B′O′C′=∠A′．


3【答案】1.将点A沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到A'，


2.连接A'B交河对岸于点N,则点N为建桥的位置，MN为所建的桥。








拔高








1.(1)如图(1)，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明:DE=BD+CE．


(2) 如图(2)，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=，其中为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立，请你给出证明;若不成立，请说明理由．


(3) 拓展与应用：如图(3)，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．








2. 某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：


（1）操作发现：


在等腰△ABC，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是（填序号即可）


①AF=AG= EQ \F(1,2) AB；②MD=ME；③整个图形是轴对称图形；④MD⊥ME.


（2）数学思考：


在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD与ME具有怎样的数量关系？请给出证明过程；M


（3）类比探究：


（i）在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MEC的形状.答：.





（ii）在三边互不相等的△ABC中（见备用图），仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作（非等腰）直角三角形ABD和（非等腰）直角三角形ACE，M是BC的中点，连接MD和ME，要使（2）中的结论时仍然成立，你认为需增加一个什么样的条件？（限制用题中字母表示）并说明理由.





3. 如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.











答案与解析


1【答案】证明：(1)∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA=90°．


∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE=90°．


∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD．


又AB=AC，∴△ADB≌△CEA．∴AE=BD，AD=CE∴DE=AE+AD= BD+CE，


A


B


C


E


D


m


（图1）





(2)∵∠BDA =∠BAC=，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180°—．


∴∠DBA=∠CAE，


∵∠BDA=∠AEC=，AB=AC，∴△ADB≌△CEA．


∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE．


（图2）


m


A


B


C


D


E





（3）由（2）知，△ADB≌△CEA， BD=AE，∠DBA =∠CAE。


∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°。


∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，∴∠DBF=∠FAE，


∵BF=AF，∴△DBF≌△EAF，∴DF=EF，∠BFD=∠AFE


∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°。∴△DEF为等边三角形．


A


D


E


B


F


C


O


m


（图3）





2【答案】解：操作发现：①②③④


数学思考：答：MD=ME，





如图2，分别取AB，AC的中点F，G，连接DF，MF，MG，EG，


∵M是BC的中点，∴MF∥AC，MF=AC，


又∵EG是等腰Rt△AEC斜边上的中线，∴EG⊥AC且EG=AC，∴MF=EG，


同理可证DF=MG，


∵MF∥AC，∠MFA=∠BAC=180°，同理可得∠MGA+∠BAC=180°，


∴∠MFA=∠MGA，


又∵EG⊥AC，∴∠EGA=90°，同理可得∠DFA=90°，


∴∠MFA+∠DFA=∠MGA=∠EGA，


即∠DFM=∠MEG，又MF=EG，DF=MG，


∴△DFM≌△MGE（SAS），∴MD=ME，


类比探究


（i）答：等腰直角三解形


（ii）方法一：增加条件∠BAD=∠CAE（如图1），





理由如下：分别取AB、AC的中点F、G，连接DF、MF、EG、MG，


∵△ABD是直角三角形，∴DF=AB，


∵M是BC的中点，∴MG=AB，∴DF= MG.


同理可证DF=EG，


∵∠BFD=2∠BAD，∠CGE=2∠CAE，又∠BAD=∠CAE，


∴∠BFD=∠CGE，


∵MF∥AC，MG∥AB，


∴∠BFM=∠BAC=∠MGC，∴∠BFM﹣∠BFD=∠MGC﹣∠CGE，


即∠MFD=∠EGM，


∴△MFD≌△EGM（SAS）


∴MD=EM.


方法二：增加条件：∠BAD+∠CAE=∠BAC（如图2）,





理由如下：


则有点A、E、D在同一直线上，


延长EM与BD的延长线交于点F，


∵∠AEC=∠ADB=90°，∴EC∥BD，∴∠MBF=∠MCE，


∵M是BC的中点，BM=CM，∴∠BMF=∠CME，


∴△BMF≌△CME（SAS）∴EM=MF，


在Rt△EDF中，DM=EF=EM.


【解析】略


3【答案】分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′A″，分别交OM，ON于点


B、点C，则点B、点C即为所求





【解析】若点取在B'、C'处∵A和A'关于OM对称，A和A''关于ON对称∴AB=A'B，AC=A''C，A'B'=AB'，AC'=A''C'∴ △ABC的周长=AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''.，△AB'C'的周长=AB'+B'C'+C'A=A'B'+B'C'+C'A''>A'A'',∴A'A''长度最小，∴点B和点C即为使三角形周长最小的点。








六 、教学反思








适用学科
初中数学
适用年级
初中二年级
适用区域
人教版
课时时长（分钟）
120
知识点
三角形的概念；三角形三边的关系定理及推论；三角形中的主要线段；三角形内角和定理；三角形的外角性质；全等图形；全等三角形的表示和性质；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；等腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质；轴对称：最短路径问题
教学目标
了解三角形的意义,认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形；


理解三角形三边不等的关系，会判断三条线段能否构成一个三角形,并能运用它解决有关的问题；


认识三角形的高、中线与角平分线；会画三角形的高、中线与角平分线；了解三角形的三条高所在的直线,三条中线,三条角平分线分别交于一点；掌握三角形内角和定理；理解三角形的外角；掌握三角形外角的性质，能利用三角形外角的性质解决问题


了解多边形及有关概念，理解正多边形的概念；区别凸多边形与凹多边形；了解多边形的内角、外角等概念；能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会应用它们进行有关计算．


知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素；知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等；能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边；掌握全等三角形的判定；应用角的平分线性质定理；轴对称：最短路径问题
教学重点
三角形的有关概念和符号表示，三角形三边间的不等关系；三角形的高、中线与角平分线；三角形内角和定理；三角形的外角和三角形外角的性质


多边形及有关概念、正多边形的概念；多边形的内角和与多边形的外角和公式；应用角的平分线性质定理．


等腰三角形的判定；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质


轴对称：最短路径问题
教学难点
用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形；三角形的角平分线与角的平分线的区别；理解三角形的外角；


区别凸多边形与凹多边形；多边形的内角和定理的推导；应用角的平分线性质定理．等腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质


轴对称：最短路径问题