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【精品讲义】 人教版 八年级上册数学 第16讲 期末复习一（讲义+练习）教师版
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这是一份人教版八年级上册本册综合优质课教案设计，共37页。教案主要包含了教学建议，知识导图，如图（1），总结与反思等内容，欢迎下载使用。
期末复习一
概 述
【教学建议】
1.做好复习动员，向学生明确复习计划，指出复习重要性，鼓舞学生，激发学生自信。
2.根据学生各章掌握的具体情况与期末复习课的节数，制定具体的复习计划，落实每节课的复习任务。
3.指导学生自己总结、构建知识网络，明确每一章的知识要点，落实基本方法，基本计算，基本证明等。
4.例题及习题的选用应有明确的目的, 习题勿偏难繁，要回归基础，回归教材。例题的选择, 要明确针对学生易出现的错误类型, 使知识的复习达到再现和纠错的目的, 对再次出现的问题应重点巩固。
5.制定适用于不同层次学生的复习安排，使不同学习程度的学生通过复习都能有收获和提高。
【知识导图】
教学过程
一、导入
【教学建议】
导入是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状态。
导入的方法很多，仅举两种方法：
情境导入，比如讲一个和本讲内容有关的生活现象；
温故知新，在知识体系中，从学生已有知识入手，揭示本节知识与旧知识的关系，帮学生建立知识网络。
复习预习
1、复习三角形的相关性质
2、复习三角形全等的几种证明方法
3、复习角平分线的相关性质及判定方法
4、复习轴对称图形的性质
5、复习等腰三角形，等边三角形的相关性质
6、复习最短路径问题
二、知识讲解
考点1 三角形相关概念
【教学建议】通过前面的引导复习，形成基本框架，梳理填充。
不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形
组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点
三角形ABC用符号表示为△ABC。三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c 表示,顶点B所对的边AC可用b表示,顶点A所对的边BC可用a表示.
三角形的分类
三角形三边的关系
三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
考点2 三角形的角
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°
用平行线的性质证明内角和180°
已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°。
证明：过点C作CM∥AB，则∠A=∠ACM，∠B=∠DCM，
又∠ACB+∠ACM+∠DCM=180°
∴∠A+∠B+∠ACB=180°。
即：三角形的内角和等于180°。
三角形外角的概念
∠ACD叫做△ABC的外角。也就是，三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
三角形的外角共有六个。
注意：每个顶点处有两个外角，它们是对顶角。研究与三角形外角有关的问题时，通常每个顶点处取一个外角
三角形的外角∠ACD与相邻的内角∠ACB是邻补角。
如图，这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线，你能就此图说明∠ACD与∠A、 ∠B的关系吗？
∵CM∥AB， ∴∠A=∠1，∠B=∠2，又∠ACD=∠1+∠2
∴∠ACD=∠A+∠B
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
考点3 三角形内的重要线段
从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高，表示为AD⊥BC于点D。
注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。
再画出这个三角形AB 、AC边上的高，三角形的三条高相交于一点。
现在我们来画钝角三角形三边上的高，如图。
A
B
C
O
D
E
F
再画出一个直角三角形三边上的高，上面的结论还成立。
请画出下列三角形的高
（1）
（2）
（3）
如图，我们把连结△ABC的顶点A和它的对边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线，表示为BD=DC或BD=DC＝BC或2BD=2DC=BC.
在图中画出△ABC的另两条边上的中线，三角的三条中线相交于一点。
三角形的三条中线相交于一点，交点叫做三角形的重心。
请画出下列三角形的中线
（1）
（2）
（3）
如图，画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线,表示为∠BAD=∠CAD或∠BAD=∠CAD＝∠BAC或2∠BAD=2∠CAD＝∠BAC。
三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线，是不一样的。三角形三个角的平分线相交于一点。
如果三角形是直角三角形、钝角三角形，上面的结论仍然成立。
请画出下列三角形的角平分线
（1）
（2）
（3）
角平分线性质及判定
角平分线上的点到角两边的距离相等。
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
考点4 多边形
多边形概念
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形（p1ygn）
多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……三角形是最简单的多边形。如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形。如图7.3—2，螺母底面的边缘可以设计为六边形，也可以设计为八边形。
多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。图7.3—3中的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E是五边形ABCDE的5个内角。多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。图7.3－4中的∠l是五边形ABCDE的一个外角。
多边形的对角线
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线（diagnal）。图7.3—5中，AC、AD是五边形ABCDE的两条对角线。
特别提醒：n边形（n≥3）从一个顶点可引出（n－3）条对角线，把n边形分割成（n－2）个三角形，共有对角线条。
例如：十边形有________条对角线。在这里n=10，就可套用对角线条数公式（条）。
多边形的内角和
从四边形的一个顶点出发可以引一条对角线，它们将四边形分成两个三角形，因此，四边形的内角和=△ABD的内角和+△BDC的内角和=2×180°=360°。
A
B
C
D
观察下面的图形
五边形 六边形
从五边形一个顶点出发可以引两条对角线，它们将五边形分成三个三角形，五边形的内角和等于540°；
从六边形一个顶点出发可以引三条对角线，它们将六边形分成四个三角形，六边形的内角和等于720°；
从n边形一个顶点出发，可以引（n-3）对角线，它们将n边形分成（n-2）三角形，n边形的内角和等于（n一2）·180°。
n边形的内角和等于（n一2）·180°．
考点5 三角形全等
全等三角形的判定
三角形全等的五种判定方法SAS、SSS、AAS、ASA、HL
判定三角形全等的基本思路：
……
考点6 线段垂直平分线
要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定定理，到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，又由两点确定一条直线这个公理，那么必须找到两个到线段两端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直平分线．
[例]如图（1），点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？
已知：线段AB【如图（1）】．
求作：线段AB的垂直平分线．
作法：如图（2）
(1)．分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C和D两点；
(2)．作直线CD．
直线CD就是线段AB的垂直平分线．
求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题
讲解内容：只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置。
考点7 特殊三角形
等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形
相等的两边叫做等腰三角形的腰，第三边叫做底边
腰与底边的夹角叫做底角
两腰的夹角叫做顶角
等腰三角形的特征
等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形顶角的角平分线、底边的中线、底边上的高互相重合（也称等腰三角形三线合一），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴
等腰三角形的两个底角相等
等边三角形
（1）性质：①等边三角形各边都相等；②等边三角形各角都相等，并且都等于60°。
（2）判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形。②三个角都相等的三角形是等边三角形。③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
特殊直角三角形
（1）含30°的直角三角形中，30°角所对的边等于斜边一半，且三边长度比为1：：2；
（2）等腰直角三角形各边长比为1：1：
三 、例题精析
类型一 三角形相关概念
例题1
如图所示，三角形的个数是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【解析】BD，BE，BC，DE，DC，EC六条线段分别和A组成6个三角形．故选D
【总结与反思】数三角形的个数，不要漏，不要重，同数角或线段的方法。
例题2
【教学建议】本题有一定难度，需要考虑等腰三角形边的分类。
用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形。
（1）如果腰长是底长的2倍，那么各边的长是多少？
（2）能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么？
【解析】（1）设底边长为xcm，
∵腰长是底边的2倍，∴腰长为2xcm，
∴2x+2x+x=18，解得，x=cm，
∴2x=2×=cm，∴各边长为：cm，cm，cm
（2）①当4cm为底时，腰长==7cm；
②当4cm为腰时，底边=18-4-4=10cm，
∵4+4＜10，
∴不能构成三角形，故舍去；
∴能构成有一边长为4cm的等腰三角形，另两边长为7cm，7cm．
【总结与反思】
本题考查的是等腰三角形的性质及三角形的三边关系，在解答此类题目时要注意分类讨论，不要漏解
（1）设底边长为xcm，则腰长为2xcm，根据周长公式列一元一次方程，解方程即可求得各边的长；
（2）题中没有指明4cm所在边是底还是腰，故应该分情况进行分析，注意利用三角形三边关系进行检验
类型二 三角形的高与中线
例题1
下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（ ）
A． B．C． D．
【解析】根据高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，答案D符合。
【总结与反思】 注意高的定义是由顶点向所对边作垂线段，把握特征，牢记定义。
例题2
BM是△ABC中AC边上的中线，AB=5cm，BC=3cm，求△ABM与△BCM的周长之差
【解析】5-3=2cm．答：△ABM与△BCM的周长之差为2cm．
【总结与反思】 根据三角形的中线的概念，由BM是△ABC中AC边上的中线得AM=CM．所以△ABM与△BCM的周长之差为AB与BC的差．
类型三 角平分线
例题1
如图，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则求∠AEC的度数？
【解析】∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，
∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF；
又∵∠B=47°（已知），∠B+∠1+∠2=180°（三角形内角和定理），
∴∠DAC+∠ACF
=（∠B+∠2）+（∠B+∠1）
=（∠B+∠B+∠1+∠2）=（外角定理），
∴∠AEC=180°-（∠DAC+∠ACF）=66.5°；
故答案是：66.5°．
【总结与反思】同一三角形两个不同角的外角的角平分线，形成的角，与第三个角的关系是∠E=90°-∠B.
例题2
（1）如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于O．
①已知∠A=40°，求∠BOC的度数，∠A与∠BOC有怎样的数量关系？
②若∠A=n°，则∠A与∠BOC有怎样的数量关系？
（2）如图2，在△A′B′C′中，∠A′B′C′的平分线与∠A′C′B′的外角平分线相交于O′，请你探索∠A′与∠O′有怎样的数量关系？
【解析】（1）∠BOC=90°+∠A．理由如下：
∵∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，
∴2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB，
而BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，
∴2∠BOC=360°-（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴2∠BOC=180°+∠A，
∴∠BOC=90°+∠A．
①当∠A=40°，∠BOC=110°；
②当∠A=n°，∠BOC=90°+°
（2）∠B′O′C′=∠A′．理由如下：
∵∠O′C′D=∠B′O′C′+∠O′B′C′，∠A′C′D=∠A′B′C′+∠A′，
而B′O′平分∠A′B′C′，C′O′平分∠A′C′D，
∴∠A′C′D=2∠O′C′D，∠A′B′C′=2∠O′B′C′，
∴2∠B′O′C′+2∠O′B′C′=∠A′B′C′+∠A′，
∴2∠B′O′C′=∠A′，
即∠B′O′C′=∠A′．
【总结与反思】
（1）根据三角形内角和定理得到∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，则2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB，再根据角平分线的定义得∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，则2∠BOC=360°-∠ABC-∠ACB，易得∠BOC=90°+∠A．
（2）根据角平分线的定义得∠ACE=2∠OCE，∠ABC=2∠OBC，由三角形外角的性质有∠OCE=∠BOC+∠OBC，∠ACE=∠ABC+∠A，则2∠BOC+2∠OBC=∠ABC+∠A，即可得到∠BOC=∠A；
类型四 多边形
例题1
如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角．若∠A=120°，则∠1+∠2+∠3+∠4= ．
【解析】由题意得，∠5=180°-∠EAB=60°，
又∵多边形的外角和为360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°-∠5=300°．
故答案为：300°
【总结与反思】 多边形外角和为360°，不随边数的改变而改变。每一个顶点处有两个外角，求外角和只需选其中一个，加起来即为外角之和360°.
类型五 全等
例题1
如图，小华不小心把一块三角形玻璃打碎为三块，他能否只带其中一块碎片到商店，就能配出一块和原来一样的三角形玻璃？如果能，带哪一块去？为什么？
【解析】a只保留了一个角及部分边，不能配成和原来一样的三角形玻璃；
b则只保留了部分边，不能配成和原来一样的三角形玻璃；
而c不但保留了一个完整的边还保留了两个角，所以应该带“C”去，根据全等三角形判定“ASA”可以配出一块和原来一样的三角形玻璃．
【总结与反思】此题是对全等三角形的判定方法在实际生活中的考查，通过实际情况来考查学生对常用的判定方法的掌握情况．
例题2
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E
求证：PD=PE．
【解析】证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°
在△PDO和△PEO中，
∴△PDO≌△PEO（AAS）
∴PD=PE
【总结与反思】 角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
类型六 轴对称与轴对称图形
例题1
下列图案属于轴对称图形的是（ ）
【解析】C.轴对称图形是将一个图形沿一条直线折叠，直线两边的部分能够完全重合的图形。符合题意的是C.
【总结与反思】 识别轴对称图形，关键确定对称轴，在实际操作时可以拿一条直尺或将图形对折，验证即可。
四 、课堂运用
基础
用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是( ).
A．SAS B．SSSC．ASA D．AAS
D
A
B
C
O
D’
A’
B’
C’
O’
下列说法中：
①P是线段AB上的一点，直线l经过点P且l⊥AB，则l是线段AB的垂直平分线；
②直线l经过线段AB的中点，则l是线段AB的垂直平分线；
③若AP=PB，且直线l垂直于线段AB，则l是线段AB的垂直平分线；
④经过线段AB的中点P且垂直于AB的直线l是线段AB的垂直平分线．
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D．若AC=9，则AE
的值是（ ）
A．63 B．43 C．6 D．4
如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线。求∠ADB得度数。
答案与解析
1.【答案】B
【解析】尺规作图中，圆规起到截取等长线段的作用，故截出三段等长，用SSS可证全等，得对应角相等。
2. 【答案】C
【解析】①P不是AB的中点，则l不平分线段AB，故错误；
②直线l经过线段AB的中点，且垂直于AB则l是线段AB的垂直平分线，故错误；
③若AP=PB，则P在线段AB的垂直平分线上，但l不一定是线段AB的垂直平分线，故错误；④正确．故选A
3. 【答案】C
【解析】由角平分线的定义得到∠CBE=∠ABE，再根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，则∠A=∠ABE，可得∠CBE=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到BE=2EC，即AE=2EC，由AE+EC=AC=9，即可求出AC．
解：∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠ABE，
∵ED垂直平分AB于D，∴EA=EB，∴∠A=∠ABE，∴∠CBE=30°，
∴BE=2EC，即AE=2EC，而AE+EC=AC=9，∴AE=6．
故选C．
4. 【答案】∵AD平分∠CAB，∠BAC=40°，
∴∠DAB=∠BAC=20°，
∵∠B=75°，
∴∠ADB=180°-∠DAB-∠B=180°-20°-75°=85°
【解析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义的应用，注意：三角形的内角和等于180°。
根据角平分线定义求出∠DAB，根据三角形内角和定理得出∠ADB=180°-∠DAB-∠B，代入求出即可．
巩固
如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB外角的平分线相交于点F，连接AF，则下列结论正确的
有（ ）
AF平分BC B．AF平分∠BAC C．AF⊥BC D．以上结论都正确
若一个多边形截去一个角后，变成十五边形，则原来的多边形的边数可能为（ ）
A．14或15或16 B．15或16 C．14或16 D．15或16或17
如下图，Rt△ADC与Rt△BCD，AC=BD，求证AD=BC
答案与解析
1.【答案】B
【解析】解：过F点分别作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为E、G、D，
∵∠ABC、∠ACB外角的平分线相交于点F，
∴EF=GF，GF=DF，∴EF=DF，∴AF平分∠BAC．
故选B．
2.【答案】A
【解析】一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，则多边形的边数是14，15或16．故选A．
3. 【答案】证明：在Rt△ADC与Rt△BCD中AC=BD，CD=CD.
∴Rt△ADC与Rt△BCD.（HL）
∴AD=BC.（全等三角形的对应边相等）
【解析】HL（斜边、直角边）
即在直角三角形中一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
拔高
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DC=2，则D到AB边的距离是______
如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（ ）
A．ED=CD B．∠DAC=∠B C．∠C＞2∠B D．∠B+∠ADE=90°
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AM+NB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
答案与解析
1.【答案】2
【解析】过D作DE⊥AB于E，得出DE的长度是D到AB边的距离，根据角平分线性质求出CD=ED，代入求出即可．
解：过D作DE⊥AB于E，则DE的长度就是D到AB边的距离．
∵AD平分∠CAB，∠ACD=90°，DE⊥AB，
∴DC=DE=2（角平分线性质），
故答案为：2．
2. 【答案】∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD．∴∠B=∠BAD，∠ADE=∠BDE．∴∠B+∠ADE=90°
其它选项无法证明其是正确的．故选D
【解析】根据线段垂直平分线的性质得等腰三角形ADB，运用等腰三角形的性质得出尽量多的结论，与各选项进行比对，答案可得
3. 【答案】1.将点A沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到A'，
2.连接A'B交河对岸于点N,
则点N为建桥的位置，MN为所建的桥。
【解析】由平移的性质，得 AM∥A'N且AM=A'N, MN=M'N'，AM'∥A'N'，AM'=A'N'
所以A、B两地的距:AM+MN+BN=AA'+A'N+NB=AA'+A'B
若桥的位置建在M'N'处，则AB两地的距离为： AM'+M'N'+N'B=A'N'+M'N'+N'B
在△A'N'B中，∵A'N'+N'B>A'B ,M'N'=AA'∴M'N'+A'N'+N'B＞AA'+A'B
所以桥的位置建在MN处，AB两地的路程最短。
五 、课堂小结
1、本次课主要针对期末考试前学习的几何内容进行综合复习：
复习三角形的相关性质
复习三角形全等的几种证明方法
复习角平分线的相关性质及判定方法
复习轴对称图形的性质
复习等腰三角形，等边三角形的相关性质
复习最短路径问题
六 、课后作业
基础
已知MN是线段AB的垂直平分线，下列说法正确的是（ ）
A．与AB距离相等的点在MN上
B．与点A和点B距离相等的点在MN上
C．与MN距离相等的点在AB上
D．AB垂直平分MN
如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC．下列结论：①BE=CD；②∠BOD=60°；
③∠BDO=∠CEO，正确的是 ．
等边三角形ABC中BD是中线且为6cm，延长BC至E，使CE=CD，连接DE，则DE的长是
cm．
如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，若
△DEB的周长为10cm，求斜边AB的长
答案与解析
1. 【答案】B
【解析】∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴与点A和点B距离相等的点在MN上，MN垂直平分AB．
故B正确；A、C、D错误．故选B
2. 【答案】①②
【解析】∵△ABD与△AEC都是等边三角形，∴AD=AB，AE=AC，∠ADB=∠ABD=60°，∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴BE=DC，∠ADC=∠ABE，∵∠BOD=180°﹣∠ODB﹣∠DBA﹣∠ABE=180°﹣∠ODB﹣60°﹣∠ADC
=120°﹣（∠ODB+∠ADC）=120°﹣60°=60°，∴∠BOD=60°，∴①正确；②正确；
∵△ABD与△AEC都是等边三角形，∴∠ADB=∠AEC=60°，但根据已知不能推出∠ADC=∠AEB，∴说∠BDO=∠CEO错误，∴③错误；
3. 【答案】6．
【解析】∵△ABC是等边三角形，BD是中线，∴∠ABC=∠ACB=60°．∠DBC=30°．
又∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，∴∠CDE=∠CED=∠BCD=30°．∴∠DBC=∠CED．∴DB=DE．∵BD是6cm，∴DE=BD=6CM
4. 【答案】∵AD平分∠BAC
∴DE=CD
∴△ACD≌△AED
∴AC=CB=AE
∴AB=AE+BE=BC+BE=BD+CD+BE=DB+DE+BE=10cm
【解析】由AD平分∠BAC交BC于点D，可以知道本题满足角平分线的性质定理得到：DE=CD,△ACD≌△AED，则AC=CB=AE，则AB=AE+BE=BC+BE=BD+CD+BE=DB+DE+BE即可求出
巩固
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（ ）
A．3 B．2 C． D．1
如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF=
如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求：△ABC各角的度数．
答案与解析
1. 【答案】B
【解析】连接AF，求出AF=BF，求出∠AFD、∠B，得出∠BAC=30°，求出AE，求出∠FAC=∠AFE=30°，推出AE=EF，代入求出即可．
解：连接AF，
∵DF是AB的垂直平分线，∴AF=BF，
∵FD⊥AB，∴∠AFD=∠BFD=30°，∠B=∠FAB=90°-30°=60°，
∵∠ACB=90°，∴∠BAC=30°，∠FAC=60°-30°=30°，
∵DE=1，∴AE=2DE=2，∵∠FAE=∠AFD=30°，∴EF=AE=2，
故选B．
2.【答案】2
【解析】作EG⊥OA于F，根据角平分线的性质得到EG的长度，再根据平行线的性质得到∠OEF=∠COE=15°，然后利用三角形的外角和内角的关系求出∠EFG=30°，利用30°角所对的直角边是斜边的一半解题
3. 【答案】因为AB=AC，BD=BC=AD，
所以∠ABC=∠C=∠BDC．
∠A=∠ABD（等边对等角）．
设∠A=x，则
∠BDC=∠A+∠ABD=2x，
从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x．
于是在△ABC中，有
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，
解得x=36°．
在△ABC中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．
【解析】根据等边对等角的性质，我们可以得到
∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC，
再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A．
再由三角形内角和为180°，就可求出△ABC的三个内角．
拔高
如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在AC，AB上，且BC=BD=DE=EA，则∠A的度数
为
△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等；∠A=40°，则
∠BOC=_____.
如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.
答案与解析
1. 【答案】解：∵AE=ED，∴∠ADE=∠A，
∴∠DEB=∠A+∠ADE=2∠A，
∵BD=ED，∴∠ABD=∠DEB=2∠A，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=3∠A，
∵BD=BC，∴∠C=∠BDC=3∠A，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=3∠A，
∵∠ABC+∠C+∠A=180°，∴7∠A=180°，
∴∠A=度
【解析】由已知根据等腰三角形的性质可得到几组相等的角，再根据三角形外角的性质可得到∠C与∠A之间的关系，从而再利用三角形内角和定理求解即可
2. 【答案】由已知，O到三角形三边距离相等，所以O是内心，
即三条角平分线交点，AO，BO，CO都是角平分线，
所以有∠CBO=∠ABO=∠ABC，∠BCO=∠ACO=∠ACB，
∠ABC+∠ACB=180-40=140°
∠OBC+∠OCB=70°
∠BOC=180-70=110°
【解析】由已知，O到三角形三边距离相等，得O是内心，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数．
3. 【答案】分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′A″，分别交OM，ON于点
B、点C，则点B、点C即为所求
【解析】若点取在B'、C'处∵A和A'关于OM对称，A和A''关于ON对称∴AB=A'B，AC=A''C，A'B'=AB'，AC'=A''C'∴ △ABC的周长=AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''.，△AB'C'的周长=AB'+B'C'+C'A=A'B'+B'C'+C'A''>A'A'',∴A'A''长度最小，∴点B和点C即为使三角形周长最小的点。
七 、教学反思
适用学科
初中数学
适用年级
初二
适用区域
人教版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
三角形的相关概念；与三角形有关的边；与三角形有关的角；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；等腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质；轴对称：最短路径问题
教学目标
理解三角形三边不等的关系，会判断三条线段能否构成一个三角形,并能运用它解决有关的问题；
认识三角形的高、中线与角平分线；会画三角形的高、中线与角平分线；了解三角形的三条高所在的直线,三条中线,三条角平分线分别交于一点；掌握三角形内角和定理；理解三角形的外角；掌握三角形外角的性质，能利用三角形外角的性质解决问题
了解多边形及有关概念，理解正多边形的概念；了解多边形的内角、外角等概念；能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会应用它们进行有关计算．
全等三角形及全等三角形的对应元素；全等三角形的性质，掌握全等三角形的判定；应用角的平分线性质定理；
轴对称：最短路径问题
教学重点
三角形三边间的不等关系；三角形的高、中线与角平分线；三角形内角和定理；三角形的外角和三角形外角的性质
多边形及有关概念、正多边形的概念；多边形的内角和与多边形的外角和公式；应用角的平分线性质定理．
等腰三角形的判定；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
轴对称：最短路径问题
教学难点
用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形；三角形的角平分线与角的平分线的区别；理解三角形的外角；
多边形的内角和定理的推导；应用角的平分线性质定理．等腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质
轴对称：最短路径问题
期末复习一
概 述
【教学建议】
1.做好复习动员，向学生明确复习计划，指出复习重要性，鼓舞学生，激发学生自信。
2.根据学生各章掌握的具体情况与期末复习课的节数，制定具体的复习计划，落实每节课的复习任务。
3.指导学生自己总结、构建知识网络，明确每一章的知识要点，落实基本方法，基本计算，基本证明等。
4.例题及习题的选用应有明确的目的, 习题勿偏难繁，要回归基础，回归教材。例题的选择, 要明确针对学生易出现的错误类型, 使知识的复习达到再现和纠错的目的, 对再次出现的问题应重点巩固。
5.制定适用于不同层次学生的复习安排，使不同学习程度的学生通过复习都能有收获和提高。
【知识导图】
教学过程
一、导入
【教学建议】
导入是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状态。
导入的方法很多，仅举两种方法：
情境导入，比如讲一个和本讲内容有关的生活现象；
温故知新，在知识体系中，从学生已有知识入手，揭示本节知识与旧知识的关系，帮学生建立知识网络。
复习预习
1、复习三角形的相关性质
2、复习三角形全等的几种证明方法
3、复习角平分线的相关性质及判定方法
4、复习轴对称图形的性质
5、复习等腰三角形，等边三角形的相关性质
6、复习最短路径问题
二、知识讲解
考点1 三角形相关概念
【教学建议】通过前面的引导复习，形成基本框架，梳理填充。
不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形
组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点
三角形ABC用符号表示为△ABC。三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c 表示,顶点B所对的边AC可用b表示,顶点A所对的边BC可用a表示.
三角形的分类
三角形三边的关系
三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
考点2 三角形的角
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°
用平行线的性质证明内角和180°
已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°。
证明：过点C作CM∥AB，则∠A=∠ACM，∠B=∠DCM，
又∠ACB+∠ACM+∠DCM=180°
∴∠A+∠B+∠ACB=180°。
即：三角形的内角和等于180°。
三角形外角的概念
∠ACD叫做△ABC的外角。也就是，三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
三角形的外角共有六个。
注意：每个顶点处有两个外角，它们是对顶角。研究与三角形外角有关的问题时，通常每个顶点处取一个外角
三角形的外角∠ACD与相邻的内角∠ACB是邻补角。
如图，这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线，你能就此图说明∠ACD与∠A、 ∠B的关系吗？
∵CM∥AB， ∴∠A=∠1，∠B=∠2，又∠ACD=∠1+∠2
∴∠ACD=∠A+∠B
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
考点3 三角形内的重要线段
从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高，表示为AD⊥BC于点D。
注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。
再画出这个三角形AB 、AC边上的高，三角形的三条高相交于一点。
现在我们来画钝角三角形三边上的高，如图。
A
B
C
O
D
E
F
再画出一个直角三角形三边上的高，上面的结论还成立。
请画出下列三角形的高
（1）
（2）
（3）
如图，我们把连结△ABC的顶点A和它的对边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线，表示为BD=DC或BD=DC＝BC或2BD=2DC=BC.
在图中画出△ABC的另两条边上的中线，三角的三条中线相交于一点。
三角形的三条中线相交于一点，交点叫做三角形的重心。
请画出下列三角形的中线
（1）
（2）
（3）
如图，画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线,表示为∠BAD=∠CAD或∠BAD=∠CAD＝∠BAC或2∠BAD=2∠CAD＝∠BAC。
三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线，是不一样的。三角形三个角的平分线相交于一点。
如果三角形是直角三角形、钝角三角形，上面的结论仍然成立。
请画出下列三角形的角平分线
（1）
（2）
（3）
角平分线性质及判定
角平分线上的点到角两边的距离相等。
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
考点4 多边形
多边形概念
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形（p1ygn）
多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……三角形是最简单的多边形。如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形。如图7.3—2，螺母底面的边缘可以设计为六边形，也可以设计为八边形。
多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。图7.3—3中的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E是五边形ABCDE的5个内角。多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。图7.3－4中的∠l是五边形ABCDE的一个外角。
多边形的对角线
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线（diagnal）。图7.3—5中，AC、AD是五边形ABCDE的两条对角线。
特别提醒：n边形（n≥3）从一个顶点可引出（n－3）条对角线，把n边形分割成（n－2）个三角形，共有对角线条。
例如：十边形有________条对角线。在这里n=10，就可套用对角线条数公式（条）。
多边形的内角和
从四边形的一个顶点出发可以引一条对角线，它们将四边形分成两个三角形，因此，四边形的内角和=△ABD的内角和+△BDC的内角和=2×180°=360°。
A
B
C
D
观察下面的图形
五边形 六边形
从五边形一个顶点出发可以引两条对角线，它们将五边形分成三个三角形，五边形的内角和等于540°；
从六边形一个顶点出发可以引三条对角线，它们将六边形分成四个三角形，六边形的内角和等于720°；
从n边形一个顶点出发，可以引（n-3）对角线，它们将n边形分成（n-2）三角形，n边形的内角和等于（n一2）·180°。
n边形的内角和等于（n一2）·180°．
考点5 三角形全等
全等三角形的判定
三角形全等的五种判定方法SAS、SSS、AAS、ASA、HL
判定三角形全等的基本思路：
……
考点6 线段垂直平分线
要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定定理，到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，又由两点确定一条直线这个公理，那么必须找到两个到线段两端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直平分线．
[例]如图（1），点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？
已知：线段AB【如图（1）】．
求作：线段AB的垂直平分线．
作法：如图（2）
(1)．分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C和D两点；
(2)．作直线CD．
直线CD就是线段AB的垂直平分线．
求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题
讲解内容：只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置。
考点7 特殊三角形
等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形
相等的两边叫做等腰三角形的腰，第三边叫做底边
腰与底边的夹角叫做底角
两腰的夹角叫做顶角
等腰三角形的特征
等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形顶角的角平分线、底边的中线、底边上的高互相重合（也称等腰三角形三线合一），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴
等腰三角形的两个底角相等
等边三角形
（1）性质：①等边三角形各边都相等；②等边三角形各角都相等，并且都等于60°。
（2）判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形。②三个角都相等的三角形是等边三角形。③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
特殊直角三角形
（1）含30°的直角三角形中，30°角所对的边等于斜边一半，且三边长度比为1：：2；
（2）等腰直角三角形各边长比为1：1：
三 、例题精析
类型一 三角形相关概念
例题1
如图所示，三角形的个数是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【解析】BD，BE，BC，DE，DC，EC六条线段分别和A组成6个三角形．故选D
【总结与反思】数三角形的个数，不要漏，不要重，同数角或线段的方法。
例题2
【教学建议】本题有一定难度，需要考虑等腰三角形边的分类。
用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形。
（1）如果腰长是底长的2倍，那么各边的长是多少？
（2）能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么？
【解析】（1）设底边长为xcm，
∵腰长是底边的2倍，∴腰长为2xcm，
∴2x+2x+x=18，解得，x=cm，
∴2x=2×=cm，∴各边长为：cm，cm，cm
（2）①当4cm为底时，腰长==7cm；
②当4cm为腰时，底边=18-4-4=10cm，
∵4+4＜10，
∴不能构成三角形，故舍去；
∴能构成有一边长为4cm的等腰三角形，另两边长为7cm，7cm．
【总结与反思】
本题考查的是等腰三角形的性质及三角形的三边关系，在解答此类题目时要注意分类讨论，不要漏解
（1）设底边长为xcm，则腰长为2xcm，根据周长公式列一元一次方程，解方程即可求得各边的长；
（2）题中没有指明4cm所在边是底还是腰，故应该分情况进行分析，注意利用三角形三边关系进行检验
类型二 三角形的高与中线
例题1
下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（ ）
A． B．C． D．
【解析】根据高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，答案D符合。
【总结与反思】 注意高的定义是由顶点向所对边作垂线段，把握特征，牢记定义。
例题2
BM是△ABC中AC边上的中线，AB=5cm，BC=3cm，求△ABM与△BCM的周长之差
【解析】5-3=2cm．答：△ABM与△BCM的周长之差为2cm．
【总结与反思】 根据三角形的中线的概念，由BM是△ABC中AC边上的中线得AM=CM．所以△ABM与△BCM的周长之差为AB与BC的差．
类型三 角平分线
例题1
如图，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则求∠AEC的度数？
【解析】∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，
∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF；
又∵∠B=47°（已知），∠B+∠1+∠2=180°（三角形内角和定理），
∴∠DAC+∠ACF
=（∠B+∠2）+（∠B+∠1）
=（∠B+∠B+∠1+∠2）=（外角定理），
∴∠AEC=180°-（∠DAC+∠ACF）=66.5°；
故答案是：66.5°．
【总结与反思】同一三角形两个不同角的外角的角平分线，形成的角，与第三个角的关系是∠E=90°-∠B.
例题2
（1）如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于O．
①已知∠A=40°，求∠BOC的度数，∠A与∠BOC有怎样的数量关系？
②若∠A=n°，则∠A与∠BOC有怎样的数量关系？
（2）如图2，在△A′B′C′中，∠A′B′C′的平分线与∠A′C′B′的外角平分线相交于O′，请你探索∠A′与∠O′有怎样的数量关系？
【解析】（1）∠BOC=90°+∠A．理由如下：
∵∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，
∴2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB，
而BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，
∴2∠BOC=360°-（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴2∠BOC=180°+∠A，
∴∠BOC=90°+∠A．
①当∠A=40°，∠BOC=110°；
②当∠A=n°，∠BOC=90°+°
（2）∠B′O′C′=∠A′．理由如下：
∵∠O′C′D=∠B′O′C′+∠O′B′C′，∠A′C′D=∠A′B′C′+∠A′，
而B′O′平分∠A′B′C′，C′O′平分∠A′C′D，
∴∠A′C′D=2∠O′C′D，∠A′B′C′=2∠O′B′C′，
∴2∠B′O′C′+2∠O′B′C′=∠A′B′C′+∠A′，
∴2∠B′O′C′=∠A′，
即∠B′O′C′=∠A′．
【总结与反思】
（1）根据三角形内角和定理得到∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，则2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB，再根据角平分线的定义得∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，则2∠BOC=360°-∠ABC-∠ACB，易得∠BOC=90°+∠A．
（2）根据角平分线的定义得∠ACE=2∠OCE，∠ABC=2∠OBC，由三角形外角的性质有∠OCE=∠BOC+∠OBC，∠ACE=∠ABC+∠A，则2∠BOC+2∠OBC=∠ABC+∠A，即可得到∠BOC=∠A；
类型四 多边形
例题1
如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角．若∠A=120°，则∠1+∠2+∠3+∠4= ．
【解析】由题意得，∠5=180°-∠EAB=60°，
又∵多边形的外角和为360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°-∠5=300°．
故答案为：300°
【总结与反思】 多边形外角和为360°，不随边数的改变而改变。每一个顶点处有两个外角，求外角和只需选其中一个，加起来即为外角之和360°.
类型五 全等
例题1
如图，小华不小心把一块三角形玻璃打碎为三块，他能否只带其中一块碎片到商店，就能配出一块和原来一样的三角形玻璃？如果能，带哪一块去？为什么？
【解析】a只保留了一个角及部分边，不能配成和原来一样的三角形玻璃；
b则只保留了部分边，不能配成和原来一样的三角形玻璃；
而c不但保留了一个完整的边还保留了两个角，所以应该带“C”去，根据全等三角形判定“ASA”可以配出一块和原来一样的三角形玻璃．
【总结与反思】此题是对全等三角形的判定方法在实际生活中的考查，通过实际情况来考查学生对常用的判定方法的掌握情况．
例题2
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E
求证：PD=PE．
【解析】证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°
在△PDO和△PEO中，
∴△PDO≌△PEO（AAS）
∴PD=PE
【总结与反思】 角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
类型六 轴对称与轴对称图形
例题1
下列图案属于轴对称图形的是（ ）
【解析】C.轴对称图形是将一个图形沿一条直线折叠，直线两边的部分能够完全重合的图形。符合题意的是C.
【总结与反思】 识别轴对称图形，关键确定对称轴，在实际操作时可以拿一条直尺或将图形对折，验证即可。
四 、课堂运用
基础
用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是( ).
A．SAS B．SSSC．ASA D．AAS
D
A
B
C
O
D’
A’
B’
C’
O’
下列说法中：
①P是线段AB上的一点，直线l经过点P且l⊥AB，则l是线段AB的垂直平分线；
②直线l经过线段AB的中点，则l是线段AB的垂直平分线；
③若AP=PB，且直线l垂直于线段AB，则l是线段AB的垂直平分线；
④经过线段AB的中点P且垂直于AB的直线l是线段AB的垂直平分线．
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D．若AC=9，则AE
的值是（ ）
A．63 B．43 C．6 D．4
如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线。求∠ADB得度数。
答案与解析
1.【答案】B
【解析】尺规作图中，圆规起到截取等长线段的作用，故截出三段等长，用SSS可证全等，得对应角相等。
2. 【答案】C
【解析】①P不是AB的中点，则l不平分线段AB，故错误；
②直线l经过线段AB的中点，且垂直于AB则l是线段AB的垂直平分线，故错误；
③若AP=PB，则P在线段AB的垂直平分线上，但l不一定是线段AB的垂直平分线，故错误；④正确．故选A
3. 【答案】C
【解析】由角平分线的定义得到∠CBE=∠ABE，再根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，则∠A=∠ABE，可得∠CBE=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到BE=2EC，即AE=2EC，由AE+EC=AC=9，即可求出AC．
解：∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠ABE，
∵ED垂直平分AB于D，∴EA=EB，∴∠A=∠ABE，∴∠CBE=30°，
∴BE=2EC，即AE=2EC，而AE+EC=AC=9，∴AE=6．
故选C．
4. 【答案】∵AD平分∠CAB，∠BAC=40°，
∴∠DAB=∠BAC=20°，
∵∠B=75°，
∴∠ADB=180°-∠DAB-∠B=180°-20°-75°=85°
【解析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义的应用，注意：三角形的内角和等于180°。
根据角平分线定义求出∠DAB，根据三角形内角和定理得出∠ADB=180°-∠DAB-∠B，代入求出即可．
巩固
如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB外角的平分线相交于点F，连接AF，则下列结论正确的
有（ ）
AF平分BC B．AF平分∠BAC C．AF⊥BC D．以上结论都正确
若一个多边形截去一个角后，变成十五边形，则原来的多边形的边数可能为（ ）
A．14或15或16 B．15或16 C．14或16 D．15或16或17
如下图，Rt△ADC与Rt△BCD，AC=BD，求证AD=BC
答案与解析
1.【答案】B
【解析】解：过F点分别作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为E、G、D，
∵∠ABC、∠ACB外角的平分线相交于点F，
∴EF=GF，GF=DF，∴EF=DF，∴AF平分∠BAC．
故选B．
2.【答案】A
【解析】一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，则多边形的边数是14，15或16．故选A．
3. 【答案】证明：在Rt△ADC与Rt△BCD中AC=BD，CD=CD.
∴Rt△ADC与Rt△BCD.（HL）
∴AD=BC.（全等三角形的对应边相等）
【解析】HL（斜边、直角边）
即在直角三角形中一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
拔高
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DC=2，则D到AB边的距离是______
如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（ ）
A．ED=CD B．∠DAC=∠B C．∠C＞2∠B D．∠B+∠ADE=90°
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AM+NB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
答案与解析
1.【答案】2
【解析】过D作DE⊥AB于E，得出DE的长度是D到AB边的距离，根据角平分线性质求出CD=ED，代入求出即可．
解：过D作DE⊥AB于E，则DE的长度就是D到AB边的距离．
∵AD平分∠CAB，∠ACD=90°，DE⊥AB，
∴DC=DE=2（角平分线性质），
故答案为：2．
2. 【答案】∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD．∴∠B=∠BAD，∠ADE=∠BDE．∴∠B+∠ADE=90°
其它选项无法证明其是正确的．故选D
【解析】根据线段垂直平分线的性质得等腰三角形ADB，运用等腰三角形的性质得出尽量多的结论，与各选项进行比对，答案可得
3. 【答案】1.将点A沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到A'，
2.连接A'B交河对岸于点N,
则点N为建桥的位置，MN为所建的桥。
【解析】由平移的性质，得 AM∥A'N且AM=A'N, MN=M'N'，AM'∥A'N'，AM'=A'N'
所以A、B两地的距:AM+MN+BN=AA'+A'N+NB=AA'+A'B
若桥的位置建在M'N'处，则AB两地的距离为： AM'+M'N'+N'B=A'N'+M'N'+N'B
在△A'N'B中，∵A'N'+N'B>A'B ,M'N'=AA'∴M'N'+A'N'+N'B＞AA'+A'B
所以桥的位置建在MN处，AB两地的路程最短。
五 、课堂小结
1、本次课主要针对期末考试前学习的几何内容进行综合复习：
复习三角形的相关性质
复习三角形全等的几种证明方法
复习角平分线的相关性质及判定方法
复习轴对称图形的性质
复习等腰三角形，等边三角形的相关性质
复习最短路径问题
六 、课后作业
基础
已知MN是线段AB的垂直平分线，下列说法正确的是（ ）
A．与AB距离相等的点在MN上
B．与点A和点B距离相等的点在MN上
C．与MN距离相等的点在AB上
D．AB垂直平分MN
如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC．下列结论：①BE=CD；②∠BOD=60°；
③∠BDO=∠CEO，正确的是 ．
等边三角形ABC中BD是中线且为6cm，延长BC至E，使CE=CD，连接DE，则DE的长是
cm．
如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，若
△DEB的周长为10cm，求斜边AB的长
答案与解析
1. 【答案】B
【解析】∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴与点A和点B距离相等的点在MN上，MN垂直平分AB．
故B正确；A、C、D错误．故选B
2. 【答案】①②
【解析】∵△ABD与△AEC都是等边三角形，∴AD=AB，AE=AC，∠ADB=∠ABD=60°，∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴BE=DC，∠ADC=∠ABE，∵∠BOD=180°﹣∠ODB﹣∠DBA﹣∠ABE=180°﹣∠ODB﹣60°﹣∠ADC
=120°﹣（∠ODB+∠ADC）=120°﹣60°=60°，∴∠BOD=60°，∴①正确；②正确；
∵△ABD与△AEC都是等边三角形，∴∠ADB=∠AEC=60°，但根据已知不能推出∠ADC=∠AEB，∴说∠BDO=∠CEO错误，∴③错误；
3. 【答案】6．
【解析】∵△ABC是等边三角形，BD是中线，∴∠ABC=∠ACB=60°．∠DBC=30°．
又∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，∴∠CDE=∠CED=∠BCD=30°．∴∠DBC=∠CED．∴DB=DE．∵BD是6cm，∴DE=BD=6CM
4. 【答案】∵AD平分∠BAC
∴DE=CD
∴△ACD≌△AED
∴AC=CB=AE
∴AB=AE+BE=BC+BE=BD+CD+BE=DB+DE+BE=10cm
【解析】由AD平分∠BAC交BC于点D，可以知道本题满足角平分线的性质定理得到：DE=CD,△ACD≌△AED，则AC=CB=AE，则AB=AE+BE=BC+BE=BD+CD+BE=DB+DE+BE即可求出
巩固
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（ ）
A．3 B．2 C． D．1
如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF=
如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求：△ABC各角的度数．
答案与解析
1. 【答案】B
【解析】连接AF，求出AF=BF，求出∠AFD、∠B，得出∠BAC=30°，求出AE，求出∠FAC=∠AFE=30°，推出AE=EF，代入求出即可．
解：连接AF，
∵DF是AB的垂直平分线，∴AF=BF，
∵FD⊥AB，∴∠AFD=∠BFD=30°，∠B=∠FAB=90°-30°=60°，
∵∠ACB=90°，∴∠BAC=30°，∠FAC=60°-30°=30°，
∵DE=1，∴AE=2DE=2，∵∠FAE=∠AFD=30°，∴EF=AE=2，
故选B．
2.【答案】2
【解析】作EG⊥OA于F，根据角平分线的性质得到EG的长度，再根据平行线的性质得到∠OEF=∠COE=15°，然后利用三角形的外角和内角的关系求出∠EFG=30°，利用30°角所对的直角边是斜边的一半解题
3. 【答案】因为AB=AC，BD=BC=AD，
所以∠ABC=∠C=∠BDC．
∠A=∠ABD（等边对等角）．
设∠A=x，则
∠BDC=∠A+∠ABD=2x，
从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x．
于是在△ABC中，有
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，
解得x=36°．
在△ABC中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．
【解析】根据等边对等角的性质，我们可以得到
∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC，
再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A．
再由三角形内角和为180°，就可求出△ABC的三个内角．
拔高
如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在AC，AB上，且BC=BD=DE=EA，则∠A的度数
为
△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等；∠A=40°，则
∠BOC=_____.
如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.
答案与解析
1. 【答案】解：∵AE=ED，∴∠ADE=∠A，
∴∠DEB=∠A+∠ADE=2∠A，
∵BD=ED，∴∠ABD=∠DEB=2∠A，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=3∠A，
∵BD=BC，∴∠C=∠BDC=3∠A，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=3∠A，
∵∠ABC+∠C+∠A=180°，∴7∠A=180°，
∴∠A=度
【解析】由已知根据等腰三角形的性质可得到几组相等的角，再根据三角形外角的性质可得到∠C与∠A之间的关系，从而再利用三角形内角和定理求解即可
2. 【答案】由已知，O到三角形三边距离相等，所以O是内心，
即三条角平分线交点，AO，BO，CO都是角平分线，
所以有∠CBO=∠ABO=∠ABC，∠BCO=∠ACO=∠ACB，
∠ABC+∠ACB=180-40=140°
∠OBC+∠OCB=70°
∠BOC=180-70=110°
【解析】由已知，O到三角形三边距离相等，得O是内心，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数．
3. 【答案】分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′A″，分别交OM，ON于点
B、点C，则点B、点C即为所求
【解析】若点取在B'、C'处∵A和A'关于OM对称，A和A''关于ON对称∴AB=A'B，AC=A''C，A'B'=AB'，AC'=A''C'∴ △ABC的周长=AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''.，△AB'C'的周长=AB'+B'C'+C'A=A'B'+B'C'+C'A''>A'A'',∴A'A''长度最小，∴点B和点C即为使三角形周长最小的点。
七 、教学反思
适用学科
初中数学
适用年级
初二
适用区域
人教版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
三角形的相关概念；与三角形有关的边；与三角形有关的角；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；等腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质；轴对称：最短路径问题
教学目标
理解三角形三边不等的关系，会判断三条线段能否构成一个三角形,并能运用它解决有关的问题；
认识三角形的高、中线与角平分线；会画三角形的高、中线与角平分线；了解三角形的三条高所在的直线,三条中线,三条角平分线分别交于一点；掌握三角形内角和定理；理解三角形的外角；掌握三角形外角的性质，能利用三角形外角的性质解决问题
了解多边形及有关概念，理解正多边形的概念；了解多边形的内角、外角等概念；能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会应用它们进行有关计算．
全等三角形及全等三角形的对应元素；全等三角形的性质，掌握全等三角形的判定；应用角的平分线性质定理；
轴对称：最短路径问题
教学重点
三角形三边间的不等关系；三角形的高、中线与角平分线；三角形内角和定理；三角形的外角和三角形外角的性质
多边形及有关概念、正多边形的概念；多边形的内角和与多边形的外角和公式；应用角的平分线性质定理．
等腰三角形的判定；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
轴对称：最短路径问题
教学难点
用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形；三角形的角平分线与角的平分线的区别；理解三角形的外角；
多边形的内角和定理的推导；应用角的平分线性质定理．等腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质
轴对称：最短路径问题
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