初中数学人教版七年级上册1.2 有理数综合与测试精品教案

这是一份初中数学人教版七年级上册1.2 有理数综合与测试精品教案，共14页。教案主要包含了有理数的概念和分类，数轴上的点和有理数，相反数，绝对值，有理数大小的比较等内容，欢迎下载使用。

1.2 有理数





1．有理数


（1）有理数的分类：


①按有理数的性质分类：；


②按有理数的定义分类：．


（2）整数与__________对应，正数与__________对应，__________既不是正数也不是负数，它是整数也是有理数．在习惯上我们将__________和__________称为非负有理数，将__________和__________称为非正有理数，将__________和__________称为非负整数，将__________和__________称为非正整数．


（3）所有__________组成正整数集合，所有负整数组成负整数集合．


（4）因为小数可以化为__________，所以我们也把它们看成分数．


（5）分数都可以化为有限小数或无限循环小数的形式，同时有限小数和无限循环小数又都可以化为分数．


2．数轴


（1）数轴的定义：在数学中，可以用__________表示数，这条直线叫做数轴．它满足以下要求：


①在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做__________；


②通常规定直线上从原点向右（或上）为__________，从原点向左（或下）为负方向；


③选取适当的长度为__________，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1,2,3，…；从原点向左，用类似方法依次表示–1，–2，–3，…


（2） 数轴的三要素：__________、__________、__________．


（3）数轴的画法：


①画一条水平的__________．


②在直线上适当选取一点为__________．


③通常规定从原点向__________为正方向，用箭头表示出来（箭头标在画出部分的最右边）．


④根据需要，选取适当的长度为单位长度，从原点向右每隔一个单位长度取一个点，依次为1，2，3，…，从原点向左，用类似的方法依次标出–1，–2，–3，…，如图所示：





（4）可以根据实际需要灵活选取单位长度．在同一条数轴上，单位长度的大小必须统一．


（5）数轴上的点与有理数的关系


所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数–a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度．


3．相反数


（1）相反数的定义：只有__________不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是__________．


（2）注意：①相反数是成对出现的；②相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；③0的相反数是它本身；相反数为本身的数是__________．


（3）相反数的判定与性质：求一个数的相反数，只需在这个数的前面加上“–”即可．若原数带符号，则应先添加括号．判断两数是否为相反数，除依据定义外，还可以看两个数的和是否为__________，若和为0，则两个数互为__________，即若a+b=0，则a，b互为相反数；反之，若两个数互为相反数，则这两个数的和一定是0，即若a，b互为相反数，则__________．


（4）多重符号的化简方法：①在一个数前面添加一个“+”，所得的数与原数__________；②在一个数前面添加一个“–”，所得的数是原数的__________；③对于有三个或三个以上符号的数的化简，首先要注意，一个数前面不管有多少个“+”，都可以把“+”去掉，其次要看“–”的个数，当“–”的个数为__________时，结果取“+”，当“–”的个数为__________时，结果取“–”．


4．绝对值


（1）绝对值的定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的__________叫做a的绝对值，记作__________．


（2）绝对值的代数定义：


①一个正数的绝对值是__________；②一个负数的绝对值是它的__________；③0的绝对值是__________．


即： 或 ．


（3）绝对值的性质：


①，即有最小值；


②若几个非负数的和为零，则每一个非负数__________；


③若|x|=a（a>0），则x=__________．


（4）任何数都有绝对值，且只有一个，无论a取何有理数，都有|a|≥0，即任何一个有理数的绝对值都是非负数，绝对值最小的数是0．


（5）由绝对值的定义可知：当|a|=a时，a是正数或0；当|a|=–a时，a是负数或0．


（6）互为相反数的两个数的绝对值相等；绝对值相等的两个数相等或互为相反数．


（7）在数轴上，一个数对应的点离远点越近，它的绝对值越小；离远点越远，它的绝对值越大．


（8）绝对值和四则运算“加减乘除”一样，也是一种运算，绝对值运算的本质就是要把带有绝对值符号的数化为不带绝对值符号的数（即去掉绝对值符号）．








1．（2）分数，负数，零，正有理数，零，正整数，负有理数，零，零，负整数，零


（3）正整数


（4）分数


2．（1）一条直线上的点，原点，正方向，单位长度


（2）原点，正方向，单位长度


（3）直线，原点，右


3．（1）符号，0


（2）0（3）0相反数，a+b=0


（4）相等，相反数，偶数，奇数


4．（1）距离，|a|


（2）它本身，相反数，0


（3）都为零，±a








一、有理数的概念和分类


正整数、0、负整数统称为整数；正分数、负分数统称为分数；整数和分数统称为有理数．


1．按整数和分数的关系分类：


（1）整数：正整数、0、负整数


（2）分数：正分数、负分数


2．按正数、0和负数的关系分类：


（1）正有理数：正整数、正分数；（2）0；（3）负有理数：负整数、负分数


例 1


下面说法正确的是


A．有理数是正数和负数的统称B．有理数是整数


C．整数一定是正数D．有理数包括整数和分数


【答案】D


【解析】根据有理数相关概念逐项分析．A，应为有理数是正数、负数和零的统称，故A选项错误；B应为有理数是整数和分数的统称，故B选项错误；C，整数不一定是正数，正数包括正整数、负整数和零，故C选项错误；D，有理数包括整数和分数，故D选项正确．


例 2


下列各数中，属于正有理数的是


A．πB．0C．–1D．2


【答案】D


【解析】由题意得：


π是无理数，故选项A错误；


0是有理数，但不是正数，故选项B错误；


–1是负有理数，故选项C错误；


2是正有理数，故选项D正确；


故选D．


【名师点睛】本题考查了正有理数的定义，正确理解正有理数的概念是解答本题的关键．


二、数轴上的点和有理数


一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数–a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度．


例 3


在数轴上，点B表示–5，从B点出发，沿数轴移动3个单位，则点B表示的数可能是 ．


【答案】–8或–2


【解析】（1）当点B向左移动时，B点表示的数为–5–3=–8；（2）当点B向右移动时，B点表示的数为–5+3=–2．


【名师点睛】向左移动用减法，向右移动用加法．


三、相反数


1．几何意义：互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点位于原点的两侧且到原点的距离相等；反之，位于原点的两侧且到原点的距离相等的点所表示的两个数互为相反数．


2．代数意义：互为相反数中，“相反”的意思是说“只有符合相反”，即两个数除符号不同外其余都是相同．例如：–3和+1，虽然符号相反，但不互为相反数，而–3和+3，–1和+1互为相反数．


3．相反数的性质：任何一个数都有相反数，而且只有一个．正数的相反数一定是负数；负数的相反数一定是正数；0的相反数仍是0．


例 4


一个数的相反数是–2019，则这个数是


A．2019B．–2019C．D．–


【答案】A


【解析】∵一个数的相反数是–2019，∴这个数是2019．故选A．


【名师点睛】此题主要考查了相反数，正确把握定义是解题关键．


四、绝对值


1．绝对值的定义


一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记住．


2．绝对值的意义


绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是正数，一个负数的绝对值是正数，0的绝对值是0．


绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．


例 5


如果两个数不相等，在下列四种情况中，绝对值肯定相等的是


A．两个数都是正数B．两个都是负数


C．两个数一正一负D．两个数互为相反数


【答案】D


【解析】A、如有两个正数2与3，2≠3，但|2|≠|3|，故错误；


B、如有两个负数–2与–3，–2≠–3，但|–2|≠|–3|，故错误；


C、如有两个数2与–3，2≠–3，但|2|≠|–3|，故错误；


D、正确．故选D．


五、有理数大小的比较


在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数；即正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小．


例 6


（2019·攀枝花）在0，–1，2，–3这四个数中，绝对值最小的数是


A．0B．–1C．2D．–3


【答案】A


【解析】∵|–1|=1，|0|=0，|2|=2，|–3|=3，∴这四个数中，绝对值最小的数是0；故选A．


【名师点睛】此题考查了有理数的大小比较和绝对值，掌握绝对值的定义是本题的关键，是一道基础题．


例 7


在0，2，–2，这四个数中，最大的数是


A．0B．2C．–2D．


【答案】B


【解析】∵–2<0<<2，∴最大的数是2，故选B．


【名师点睛】本题考查了有理数的大小比较法则的应用，注意：有理数的大小比较法则是：正数都大于0，负数都小于0，正数都大于负数，两个负数，其绝对值大的反而小．








1．下列说法正确的是


A．0不是正数，不是负数，也不是整数


B．正整数与负整数包括所有的整数


C．–0.6是分数，负数，也是有理数


D．没有最小的有理数，也没有最小的自然数


2．下列说法正确的是


A．数轴是一条直线B．表示–9的点一定在原点的右边


C．数轴上的原点表示0D．–3小于–7


3．下列说法正确的是


A．两个有理数不相等，那么这两个数的绝对值也一定不相等


B．任何一个数的相反数与这个数一定不相等


C．两个有理数的绝对值相等，那么这两个有理数不相等


D．两个数的绝对值相等，且符号相反，那么这两个数是互为相反数


4．在数轴上如果点a表示到原点距离等于5的数，则a+2等于


A．7B．–7C．–3D．–3或7


5．的绝对值是


A．–3B．3C．D．


6．若–2的绝对值是a，则下列结论正确的是


A．B．C．D．


7．当时，的值为


A．4B．–4C．2D．–2


8．绝对值等于的数是__________，它们互为__________．


9．一个数的绝对值是指在__________上表示这个数的点到__________的距离．


10．__________．


11．已知a、b互为相反数，求．














12．化简：（1）；（2）；（3）．














13．把下列各数填入它所属于的集合的圈内．


15，，–5，，，0.1，–5.32，–80，123，2.333．








14．画数轴，并在数轴上描出表示下列各数的点：


1.5，–2，2，–2.5，，0

















1．如果–2与2m互为相反数，那么m等于


A．1B．C．2D．–2


2．数轴上一点从原点向正方向移动3个单位长度，再向负方向移动5个单位长度，此时该点表示的数为


A．8B．–2C．–5D．2


3．下列说法错误的是


A．–0.5是分数B．零不是正数也不是负数


C．整数与分数称为有理数D．0是最小的有理数


4．有理数a、b在数轴上的位置如图所示：化简|a–b|–（–a）–|b|=__________．





5．在数轴上A表示–，点B表示，则点__________离原点的距离近些．


6．写出下列各数的相反数：


3，，0，，–1.5








7．工厂生产的乒乓球超过标准重量的克数记作正数，低于标准重量的克数记作负数，现对5个乒乓球称重情况如下表所示，分析下表，根据绝对值的定义，判断哪个球的重量最接近标准重量？




















1．（2019•张家界）2019的相反数是


A．2019B．–2019C．D．–


2．（2019•宜昌）–66的相反数是


A．–66B．66C．D．−


3．（2019•长沙）下列各数中，比–3小的数是


A．–5B．–1C．0D．1


4．（2019•郴州）如图，数轴上表示–2的相反数的点是





A．MB．NC．PD．Q


5．（2019•盐城）如图，数轴上点A表示的数是





A．–1B．0C．1D．2


6．（2019•甘肃）在0，2，–3，–这四个数中，最小的数是


A．0B．2C．–3D．–


7．（2019•陇南）如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是–1，那么点B表示的数是





A．0B．1C．2D．3


8．（2019•福建）如图，数轴上A、B两点所表示的数分别是–4和2，点C是线段AB的中点，则点C所表示的数是__________．





9．（2019•攀枝花）|–3|的相反数是__________．











1．【答案】C


【解析】A．0不是正数也不是负数，0是整数，故A错误；


B．正整数于负整数不包括0，故B错误；


C．–0.6是分数，负数，有理数，故C正确；


D．0是最小的自然数，故D错误；


故选C．


2．【答案】C


【解析】A．数轴是一条有原点、正方向、单位长度的直线，故A说法错误；


B．表示–9的点在原点的左边，故B说法错误；


C．数轴上的原点表示0，故C说法正确；


D．–3大于–7，故D说法错误；


故选C．


3．【答案】D


【解析】A，如2和–2不相等，但两个数的绝对值相等，都是2，故本选项错误；B，0的相反数还是0，故本选项错误；C，两个有理数的绝对值相等，那么这两个有理数相等或互为相反数，故本选项错误；D，两个数的绝对值相等，且符号相反，那么这两个数是互为相反数，正确．故选D．


4．【答案】D


【解析】根据题意得：|a|=5，即a=±5，则a+2=7或–3．故选D．


5．【答案】D


【解析】根据“一个正数的绝对值是它本身”求解即可，∴的绝对值是，故选D．


6．【答案】A


【解析】∵的绝对值表示到原点的距离，∴的绝对值是，即，故选A．


7．【答案】C


【解析】本题考查的是绝对值的定义，根据绝对值的定义即可解答．当时，，故选C．


8．【答案】±，相反数


【解析】绝对值等于的数是±，它们互为相反数．


9．【答案】数轴，原点


【解析】根据绝对值的定义可知：一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离．


10．【答案】10


【解析】．


11．【答案】2019


【解析】因为a、b互为相反数，所以，所以．


12．【答案】（1）3；（2）–6；（3）–2019


【解析】（1）；（2）；（3）．


13．【答案】答案详见解析．


【解析】





14．【答案】答案详见解析．


【解析】








1．【答案】A


【解析】∵–2与2m互为相反数，∴–2+2m=0，∴m=1．故选A．


2．【答案】B


【解析】0+3–5=–2．数轴上的点向正方向平移1个单位，则表示的数比原来增加1．数轴上的点向正方向平移a个单位，则表示的数比原来增加a；数轴上的点向负方向平移b个单位，则表示的数比原来减少b．


3．【答案】D


【解析】A、–0.5是分数，正确；


B、零不是正数也不是负数，正确；


C、整数与分数称为有理数，正确；


D、0不是最小的有理数，故本选项错误；


故选D．


4．【答案】0


【解析】|a–b|–（–a）–|b|=b–a+a–b=0，故答案为：0．


5．【答案】B


【解析】|–|=，∵>，∴点B离原点的距离近些．故答案为B．


6．【答案】3，，0，，–1.5的相反数依次为： –3，–，0，，1.5．


【解析】求一个数的相反数，只需在这个数的前面加上“–”即可．若原数带符号，则应先添加括号．如的相反数为–（）=．


7．【答案】A球和C球


【解析】本题考查的是绝对值的性质．由已知和要求可知，只要求出超过标准的克数和低于标准的克数的绝对值，绝对值最小的数，就是最接近标准重量的数．∵，，，，，∴A球和C球的绝对值最小，∴A球和C球的重量最接近标准重量．





1．【答案】B


【解析】2019的相反数是–2019．故选B．


2．【答案】B


【解析】–66的相反数是66．故选B．


3．【答案】A


【解析】–5<–3<–1<0<1，所以比–3小的数是–5，故选A．


4．【答案】D


【解析】–2的相反数是2，故选D．


5．【答案】C


【解析】数轴上点A所表示的数是1．故选C．


6．【答案】C


【解析】根据实数比较大小的方法，可得–3<–<0<2，所以最小的数是–3．故选C．


【名师点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．


7．【答案】D


【解析】∵数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是–1，∴点B表示的数是3．故选D．


8．【答案】–1


【解析】∵数轴上A，B两点所表示的数分别是–4和2，


∴线段AB的中点所表示的数=（–4+2）=–1．


即点C所表示的数是–1．


故答案为：–1．


【名师点睛】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．


9．【答案】–3


【解析】∵|–3|=3，∴3的相反数是–3，故答案为：–3．


【名师点睛】此题主要考查了绝对值，相反数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，难度适中．


帮—重点
（1）有理数的概念及分类；（2）数轴的定义及画法；（3）相反数的概念；（4）绝对值的概念．
帮—难点
（1）数轴上的点与有理数的关系；（2）多重符号的化简；（3）有理数大小的比较．
帮—易错
（1）有理数的分类；（2）数轴上的点与有理数的关系．
代号
A
B
C
D
E
超标情况
0.01
–0.02
–0.01
0.04
–0.03