人教版七年级上册3.1 从算式到方程综合与测试获奖教案

这是一份人教版七年级上册3.1 从算式到方程综合与测试获奖教案，共18页。教案主要包含了方程的有关概念，一元一次方程，方程的解，等式的性质等内容，欢迎下载使用。

3.1 从算式到方程





1．方程：


（1）方程的定义：含有___________的___________叫做方程．


注意：方程中未知数的个数不一定是一个，也可以是两个或两个以上；方程中的未知数可以用x表示，也可以用其他字母表示．


（2）解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是___________．


2．等式的性质：


（1）等式的性质1：等式两边___________同一个___________，结果仍相等．


如果a=b，那么a±c=___________．


（2）等式的性质2：等式两边乘同一个___________，或除以同一个___________，结果仍相等．


如果a=b，那么ac=___________；如果a=b(c≠0)，那么=___________．


（3）等式除了以上两条性质外，还有其他的一些性质：


①对称性：等式的左、右两边交换位置，所得的结果仍是___________．如果a=b，那么b=___________．


②传递性：如果a=b，且b=c，那么a=___________．等式的传递性，习惯上也称作是等量代换．


3．一元一次方程


（1）概念：方程只含有一个__________（元），未知数的次数都是__________，等号两边都是___________，这样的方程叫做一元一次方程．


（2）一元指方程仅含有一个___________，一次指未知数的次数为___________，且未知数的系数不为___________．我们将___________（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的___________，b是___________，x的次数必须是1．








1．（1）未知数，等式（2）方程的解


2．（1）加（或减），数（或式子），b±c（2）数，不为0的数，bc，（3）等式，a，c


3．（1）未知数，1，整式（2）未知数，1，0，ax+b=0，系数，常数








一、方程的有关概念


1．方程：含有未知数的等式叫做方程．方程必须具备两个条件：①是等式；②含有未知数．两者缺一不可．


2．方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解，只含有一个未知数的方程的解，也叫做方程的根．


3．解方程：求方程解的过程，叫做解方程．


例 1


下列各式中，是方程的是


A．7x–4=3xB．4x–6


C．4+3=7D．2x＜5


【答案】A


【解析】A、7x–4=3x是方程；B、4x–6不是等式，不是方程；C、4+3=7没有未知数，不是方程；D、2x＜5不是等式，不是方程；故选A．


【名师点睛】


1．判断一个式子是不是方程，只需看两点：一是等式；二是含有未知数，二者缺一不可．


2．使方程左右两边相等的未知数的值可以不止一个，即方程的解可以有多个．


方程的解和解方程是不同的概念，方程的解是一个具体的数值，解方程是求方程的解的过程，方程的解是通过解方程求得的，二者要区别开．


二、一元一次方程


只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程．


例 2


已知x2m–3+1=7是关于x的一元一次方程，则m的值是


A．–1B．1


C．–2D．2


【答案】D


【解析】因为x2m–3+1=7是关于x的一元一次方程，所以2m–3=1，解得m=2，故选D．


【名师点睛】


1．其中“一元”指只含一个未知数，“一次”指的是未知数的次数都是1．


2．ax+b=0（a≠0）通常叫做x的一元一次方程的标准形式，其中，只有一个未知项ax，一个常数项b，方程右边是0．


三、方程的解


解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解．


例 3


下列方程中，解为x=4的方程是


A．x–2=6B．x=12


C．2x+2=6D．（x–2）=1


【答案】D


【解析】把x=4分别代入选项中的方程．


A、左边=4–2=2，右边=6，因为左边≠右边，所以x=4不是方程的解；


B、左边=×4=，右边=12，因为左边≠右边，所以x=4不是方程的解；


C、左边=2×4+2=10，右边=6，因为左边≠右边，所以x=4不是方程的解；


D、左边=（4–2）=1，右边=1，因为左边=右边，所以x=4是方程的解；


故选D．


【名师点睛】


1．方程的解可能有多个，也可能无解．


2．检验一个数是不是方程的解，不能将所给的数直接代入方程中，而要把这个数分别代入方程的左右两边，当左边=右边时，这个数是方程的解，当左边≠右边时，这个数不是方程的解．


四、等式的性质


1．等式的性质1


等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等．如果a=b，那么a±c=b±c．


2．等式的性质2


等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．如果a=b，那么ac=bc；如果a=b（c≠0），那么．


例 4


下列方程的变形正确的有


A．2x=1，变形为x=2B．x+5=3–3x，变形为4x=2


C．x–1=2，变形为2x–3=2D．3x–6=0，变形为3x=6


【答案】D


【解析】因为2x=1，变形为x=0.5，所以选项A不符合题意；


因为x+5=3–3x，变形为4x=–2，所以选项B不符合题意；


因为x–1=2，变形为2x–3=6，所以选项C不符合题意；


因为3x–6=0，变形为3x=6，所以选项D符合题意．故选D．


【名师点睛】


1．性质1中“同一个”是指等式两边所加（或减）的数（或式子）必须相同．


2．等式的性质包括加、减、乘和除，其中加、减或乘的数往往是任意的，只有除法中的除数不能为0．








1．下列各式中不是方程的是


A．2x+3y=1B．3π+4≠5


C．–x+y=4D．x=8


2．下列四个式子中，是方程的是


A．3+2=5B．3x–2=1


C．2x–3<0D．a2+2ab+b2


3．方程2x+1=5的解是


A．x=2B．x=–2C．x=3D．x=–3


4．下列方程中，解为x=2的方程是


A．x+2=0B．2+3x=8


C．3x–1=2D．4–2x=1


5．下列方程中是一元一次方程的是


A．B．x2=1C．2x+y=1D．


6．下列方程中是一元一次方程的是


A．3x–1=B．x2–4x=3


C．xy–3=5D．x+2y=1


7．把方程x=1变形为x=2，其依据是


A．分数的基本性质B．等式的性质1


C．等式的性质2D．解方程中的移项


8．下列运用等式的性质，变形不正确的是


A．若x=y，则x+5=y+5B．若a=b，则ac=bc


C．若=，则a=bD．若x=y，则


9．若a=b，下列等式不一定成立的是


A．a–5=b–5B．a+3=b+3C．2a=2bD．=


10．下列运用等式性质进行的变形，其中不正确的是


A．如果a=b，那么a+5=b+5B．如果a=b，那么a–=b–


C．如果ac=bc，那么a=bD．如果，那么a=b


11．下列方程：


（1）2x–1=x–7，（2）x=x–1，（3）2（x+5）=–4–x，（4）x=x–2．


其中解为x=–6的方程的个数为


A．4个B．3个C．2个D．1个


12．在0，1，2，3中，__________是方程2x–1=–5x+6的解．


13．如果关于x的一元一次方程ax+2x=4的解是x=4，那么a的值为__________．


14．有下列等式：①由a=b，得5–2a=5–2b；②由a=b，得ac=bc；③由a=b，得；④由，得3a=2b；⑤由a2=b2，得a= b．其中正确的是__________．


15．将等式3x–2y=7变形成用y的代数式表示x=________．


16．如果5x=10–2x，那么5x+__________=10．


17．若–=，根据等式性质__________（填“1”或“2”）得到–2x=3y–5．


18．在下列方程中：①x+2y=3，②，③，④，是一元一次方程的有__________（只填序号）．


19．用“●”“■”“▲”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，若要使第三架天平也平衡，那么“？”处应放“■”________个．





20．已知关于x的方程（m+5）x|m|–4+18=0是一元一次方程．试求：


（1）m的值；


（2）3（4m–1）–2（3m+2）的值．

















21．利用等式的性质解方程：7x–6=–5x．

















22．已知关于x的方程3x+a=0的解比方程2x–3=x+5的解大2，求a值．














23．我们规定，若关于x的一元一次方程ax=b的解为b–a，则称该方程为“差解方程”，例如：2x=4的解为2，且2=4–2，则该方程2x–4是差解方程．


（1）判断3x=4.5是否是差解方程；


（2）若关于x的一元一次方程5x=m+1是差解方程，求m的值．




















1．下列方程中，是一元一次方程是


A．2y=1B．3x–5y=3


C．3+7=10D．x2+x=1


2．下列方程中，解为x=3的方程是


A．y–3=0B．x+2=1


C．2x–2=3D．2x=x+3


3．下列方程中，是一元一次方程的是


A．





4．如果x=2是方程2x+a=–1的解，那么a的值是


A．0B．3C．–2D．–5


5．已知关于x的方程mx+x=2无解，那么m的值是


A．m=0B．m≠0C．m≠–1D．m=–1


6．下列方程的变形：①由3+x=5，得x=5+3；②由7x=–4，得x=–；③由y=0，得y=2；④由3=x–2，得x=–2–3．其中，正确的有


A．3个B．2个C．1个D．0个


7．若关于x的方程mxm–2–m+3=0是一元一次方程，则这个方程的解是


A．x=0B．x=3C．x=–3D．x=2


8．已知下列方程：


①x–2=；②–1=；③=5x–1；④x2–4x=3；⑤x=6；⑥x+2y=0．其中一元一次方程的个数是


A．①③④B．②③⑤


C．②③D．②⑥


9．下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是


A．如果，那么B．如果，那么


C．如果，那么D．如果，那么


10．下列说法正确的是


A．若，则a=bB．若ac=bc，则a=b


C．若a2=b2，则a=bD．若a=b，则


11．在下列方程的变形中，正确的是


A．由，得B．由，得


C．由，得D．由，得


12．方程2x–3y=7，用含x的代数式表示y为


A．y=(7–2x)B．y=(2x–7)


C．x=(7+3y)D．x=(7–3y)


13．若a=b，则在a–=b–，2a=a+b，–a=–b，3a–1=3b–1中，正确的有


A．1个B．2个C．3个D．4个


14．下列①3x–y=2；②；③；④中，属于一元一次方程的是_____________（只填代号）.


15．等式3x=2x+1两边同减________得________，其根据是________


16．写出一个满足下列条件的一元一次方程：①某个未知数的系数是3；②方程的解是2；这样的方程是________．


17．若m是方程3x–2=1的解，则30m+10的值为________．


18．一个数的2减去7差得36方程为________.


19．方程17+15x=245，，2（x+1.5x）=24都只含有一个未知数，未知数的指数都是1，它们是一元一次方程，方程x2+3=4，x2+2x+1=0，x+y=5是一元一次方程吗？若不是，它们各是几元几次方程？














20．从2a+3=2b+3能否得到a=b，为什么？











21．利用等式的性质解下列方程.


（1）y+3=2；（2）–y–2=3；（3）9x=8x–6；（4）8m=4m+1．











22．当x为何值时，代数式2（x+1）与代数式1–x的值互为相反数？














1．（2019•南充）关于x的一元一次方程2xa–2+m=4的解为x=1，则a+m的值为


A．9B．8C．5D．4


2．（2019•呼和浩特）关于x的方程mx2m–1+（m–1）x–2=0如果是一元一次方程，则其解为__________．


3．（2019•湘西州）若关于x的方程3x–kx+2=0的解为2，则k的值为__________．








1．【答案】B


【解析】3π+4≠5中不含未知数，所以错误．故选B．


2．【答案】B


【解析】方程是指含有未知数的等式．故选B．


3．【答案】A


【解析】2x+1=5，移项合并得：2x=4，解得：x=2．故选A．


4．【答案】B


【解析】A、方程x+2=0，解得x=–2，不合题意；


B、方程2+3x=8，解得x=2，符合题意；


C、方程3x–1=2，解得x=1，不合题意；


D、方程4–2x=1，解得x=1.5，不合题意，


故选B．


5．【答案】D


【解析】A、分母子中含有未知数，不是一元一次方程，故A选项不符合题意；


B、未知数的最高次项是2，故不是一元一次方程．故B选项不符合题意；


C、含有两个未知数，故不是一元一次方程，故C选项不符合题意；


D、符合一元一次方程的定义，故D选项正确．


故选D．


6．【答案】A


【解析】A、符合一元一次方程的定义；


B、未知数的次数2，故不是一元一次方程；


C、含有两个未知数，故不是一元一次方程；


D、含有两个未知数，故不是一元一次方程．


故选A．


7．【答案】C


【解析】把方程x=1变形为x=2，其依据是等式的性质2，故选C．


8．【答案】D


【解析】A、若x=y，则x+5=y+5，正确，不合题意；


B、若a=b，则ac=bc，正确，不合题意；


C、若=，则a=b，正确，不合题意；


D、若x=y，则，a≠0，故此选项错误，符合题意．


故选D．


9．【答案】D


【解析】A、a=b两边都减去5，得a–5=b–5，故本选项不符合题意；


B、a=b两边都加上3，得a+3=b+3，故本选项不符合题意；


C、a=b两边都乘以2，得2a=2b，故本选项不符合题意；


D、a=b两边都除以c，c=0不成立，故本选项符合题意．


故选D．


10．【答案】C


【解析】C．若c=0时，此时a不一定等于b，故选C．


11．【答案】C


【解析】（1）2x–1=x–7，


把x=–6代入，可得–12–1=–6–7，


所以x=–6是方程的解；


（2）x=x–1，


把x=–6代入，可得–3=–2–1，


所以x=–6是方程的解；


（3）2（x+5）=–4–x，


把x=–6代入，可得–2≠–4+6，


所以x=–6不是方程的解；


（4）x=x–2．


把x=–6代入，可得–4≠–6–2，


所以x=–6不是方程的解；


故选C．


12．【答案】1


【解析】移项，得2x+5x=1+6，


合并同类项，得7x=7，


系数化为1，得x=1，


故答案为1．


13．【答案】–1


【解析】将x=4代入ax+2x=4，


所以4a+8=4，


所以4a=–4，


所以a=–1，


故答案为：–1．


14．【答案】①②④


【解析】①由a=b，得5–2a=5–2b，正确；


②由a=b，得ac=bc，正确；


③由a=b（c≠0），得，不正确；


④由，得3a=2b，正确；


⑤由a2=b2，得a=b或a=–b，不正确．


故答案为：①②④．


15．【答案】


【解析】两边都加2y，得3x=2y+7，两边都除以3，得x=，故答案为：．


16．【答案】2x


【解析】在等式5x=10–2x的两边同时加上2x，得5x+2x=10．故答案是：2x．


17．【答案】2和1


【解析】若–=，根据等式性质2，两边都乘以6，再根据等式的性质1，两边都加2，得到–2x=3y–5，


故答案为：2和1．


18．【答案】③④


【解析】①是二元一次方程；②是分式方程；③符合一元一次方程的定义；


④符合一元一次方程的定义．故③④是一元一次方程．


故答案为：③④．


19．【答案】5


【解析】设“●”“■”“▲”分别为x、y、z，由图可知，


2x=y+z①，


x+y=z②，


②两边都加上y得，x+2y=y+z③，


由①③得，2x=x+2y，∴x=2y，


代入②得，z=3y，


∵x+z=2y+3y=5y，∴“？”处应放“■”5个．


故答案为：5．


20．【解析】（1）依题意有|m|–4=1且m+5≠0，解得m=5，


故m=5；


（2）3（4m–1）–2（3m+2）=12m–3–6m–4=6m–7，


当m=5时，原式=6×5–7=23．


21．【解析】两边都加（6+5x），得7x–6+6+5x=–5x+5x+6，


合并同类项，得12x=6，


两边都除以12，得x=．


22．【解析】方程2x–3=x+5，


两边都加（3–x），得2x–3+3–x=x+5+3–x，


整理得：x=8，


把x=8代入3x+a=0中得：24+a=0，


解得：a=–24．


23．【解析】（1）因为3x=4.5，


所以x=1.5，


因为4.5–3=1.5，


所以3x=4.5是差解方程；


（2）因为关于x的一元一次方程5x=m+1是差解方程，


所以m+1–5=，


解得m=．


故m的值为．





1．【答案】A


【解析】A、2y=1该方程符合一元一次方程的定义．故本选项正确；


B、3x–5y=3是二元一次方程．故本选项错误；


C、3+7=10中没有未知数，不是方程．故本选项错误；


D、x²+x=1该方程的未知数的最高次数不是1．故本选项错误；


故选A．


2．【答案】D


【解析】将x=3代入各选项可得．


A、y–3=0，不含x项，故本选项错误；


B、左边=5，右边=1，左边≠右边，故本选项错误；


C、左边=4，右边=3，左边≠右边，故本选项错误；


D、左边=6，右边=6，左边=右边，故本选项正确；


故选D．


3．【答案】B


【解析】选项A，是一元二次方程；选项B，是一元一次方程；选项C，是二元一次方程；选项D，是分式方程，由此可得，只有选项B符合题意.故选B．


4．【答案】D


【解析】将x=2代入方程2x+a=–1，得：4+a=–1，解得：a=–5．故选D．


5．【答案】D


【解析】假设mx+x=2有解，则x=，∵关于x的方程mx+x=2无解，


∴m+1=0，∴m=–1时，方程无解．故选D．


6．【答案】D


【解析】①3+x=5，等式的两边减去3得x=5–3，故此选项错误；


②7x=–4，方程两边除以7得x=–，故此选项错误；


③y=0，方程两边乘以2得y=0，故此选项错误；


④3=x–2，等式的两边加上2得x=2+3，故此选项错误．


故选D．


7．【答案】A


【解析】因为关于x的方程mxm−2−m+3=0是一元一次方程，


所以m≠0，m−2=1，解得m=3，


即方程为3x−3+3=0，解得x=0，


故选A．


8．【答案】B


【解析】①x−2=不是1次，故不是一元一次方程；


②–1=是一元一次方程；


③=5x−1是一元一次方程；


④x2−4x=3不是1次，是2次，故不是一元一次方程；


⑤x=6是一元一次方程；


⑥x+2y=0不是1元，故不是一元一次方程；


故选B．


9．【答案】B


【解析】A．如果，那么，本选项不能选；


B．如果，那么，本选项正确；


C．如果，那么（c≠0），本选项不能选；


D．如果，那么（c≠0），本选项不能选.


故选B．


10．【答案】A


【解析】A选项：由等式的性质2可知A正确；


B选项：当c=0时，不一定正确，故B错误；


C选项：若a2=b2，则a=±b，故C错误；


D选项：需要注意c≠0，故D错误．


故选A．


11．【答案】B


【解析】A．由，得，移项要变号，本选项错误；


B．由，得，本选项正确；


C．由，得，本选项错误；


D．由，得，本选项错误.


故选B．


12．【答案】B


【解析】因为2x–3y=7，所以2x–7=3y，所以y=(2x–7)，故选B．


13．【答案】D


【解析】a–=b–，2a=a+b，–a=–b，3a–1=3b–1都正确，共4个，


故选D．


14．【答案】②


【解析】①3x–y=2，含有两个未知数，不是一元一次方程；


②，是一元一次方程；


③，不是等式，不是一元次方程；


④，最高为2次，不是一元一次方程，


所以是一元一次方程的只有②，


故答案为：②.


15．【答案】2x；x=1；等式性质一


【解析】等式3x=2x+1两边同减2x，得x=1，其根据是等式性质一，故答案为：2x，x=1，等式性质一．


16．【答案】答案不唯一，如3x–6=0


【解析】由题意可知：a=3，x=2．则将a与x的值代入ax+b=0中得：3×2+b=0，


解得：b=–6，


所以，该一元一次方程可以为：3x–6=0．


故答案为：3x–6=0．


17．【答案】40


【解析】把x=m代入，得3m–2=1，


解得3m=3，


所以30m+10=3×10+10=40．


故答案是：40．


18．【答案】2x–7=36


【解析】x的2倍减去7即2x−7，根据等式可列方程为：2x−7=36.


19．【解析】方程不是一元一次方程；


和是一元二次方程；


是二元一次方程．


20．【解析】能．首先根据等式的性质1，等式的两边同时减去3，然后利用等式的性质2，等式的两边同时除以2，所得结果就是a=b．


21．【解析】（1）两边同时减去3，得y+3–3=2–3，y=–1；


（2）两边同时加2，得–y–2+2=3+2，


–y=5，


两边同时乘以–2，得y=–10；


（3）两边同时减去8x，得9x–8x=8x–6–8x，


x=–6；


（4）两边同时减去4m，得8m–4m=4m+1–4m，


4m=1，


两边同时除以4，得m=.


22．【解析】根据题意得：2（x+1）+1–x=0，


去括号得：2x+2+1–x=0，


解得：x=–3．





1．【答案】C


【解析】因为关于x的一元一次方程2xa–2+m=4的解为x=1，


可得：a–2=1，2+m=4，


解得：a=3，m=2，


所以a+m=3+2=5，


故选C．


2．【答案】x=2或x=–2或x=–3


【解析】关于x的方程mx2m–1+（m–1）x–2=0如果是一元一次方程，


则当m=1时，方程为x–2=0，解得：x=2；


当m=0时，方程为–x–2=0，解得：x=–2；


当2m–1=0，即m=时，方程为–x–2=0，


解得：x=–3，


故答案为：x=2或x=–2或x=–3．


3．【答案】4


【解析】因为关于x的方程3x–kx+2=0的解为2，所以3×2–2k+2=0，解得k=4．故答案为：4．


帮—重点
1．方程的概念；


2．列简单的一元一次方程；


3．一元一次方程；


4．等式的性质．
帮—难点
1．方程的解与解方程；


2．利用等式的性质解方程．
帮—易错
对一元一次方程概念的理解．