初中数学第四章 几何图形初步4.2 直线、射线、线段优秀教案

这是一份初中数学第四章 几何图形初步4.2 直线、射线、线段优秀教案，共18页。教案主要包含了直线，直线的性质，线段的性质，两点之间的距离，比较线段的长短等内容，欢迎下载使用。

4.2 直线、射线、线段





1．直线


（1）定义：一点在空间沿着一个方向及它的相反方向运动，所形成的图形就是直线．


（2）直线公理：经过两点___________直线，并且___________直线．简单说成：___________．


（3）表示方法：直线AB或直线a．





（4）当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线___________，这个公共点叫做它们的___________．


2．射线


（1）定义：直线上的一点和它一旁的部分叫做射线．


（2）特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长．


（3）表示方法：射线AB或射线a．





3．线段


（1）定义：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段．


（2）特征：线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可以比较长短．


（3）表示方法：线段AB或线段a．





（4）两点的所有连线中，___________最短．简单说成：两点之间，___________．


（5）连接两点间的___________，叫做这两点的距离．





4．方法归纳：


（1）过一点的直线有___________；直线是是向___________方向无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小；


（2）要注意区别直线公理与线段的性质：直线公理是指___________，线段的性质是指两点之间线段最短；在线段的计算过程中，经常涉及线段的性质、线段的中点以及方程思想．


（3）延伸与延长是不同的，线段不能___________，但可以___________，直线和射线能___________，但是不能___________；


（4）直线和线段用两个大写字母表示时，与字母的前后顺序___________，但射线必须是表示端点的字母写在前面，不能互换；


（5）直线中“有且只有”中的“有”的含义是___________，“只有”的含义是，“有且只有”与“确定”的意义相同；


（6）射线：一要确定___________，二要确定___________，二者缺一不可．








1．（2）有一条，只有一条，两点确定一条直线；（4）相交，交点


3．（4）线段，线段最短；（5）线段的长度


4．（1）无数条，两个（2）两点确定一条直线（3）延伸，延长，延伸，延长（4）无关（5）存在性，唯一性（6）端点，延伸方向














一、直线、射线、线段


例 1


下列说法中正确的个数为


①射线OP和射线PO是同一条射线；②连接两点的线段叫两点间的距离；③两点确定一条直线；④若AC=BC，则C是线段AB的中点．


A．1个B．2个


C．3个D．4个


【答案】A


【解析】①射线OP端点是O，从O向P无限延伸，射线PO端点是P，从P向O无限延伸，所以不是同一条射线，故①错误；


②连接两点间的线段的长度，叫两点间的距离，故②错误；


③根据直线的性质知：两点确定一条直线，故③正确；


④当A、B、C三点共线时，若AC=BC，则C是线段AB的中点．故④错误．


综上所述，正确的个数是1．故选A．


【名师点睛】（1）直线、射线、线段的表示方法


①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线AB．


②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边．


③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）．


（2）点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外．


二、直线的性质


（1）直线公理：经过两点有且只有一条直线．简称：两点确定一条直线．


（2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了．


例 2


平面上有四点，过其中每两点画出一条直线，可以画直线的条数为


A．1或4B．1或6


C．4或6D．1或4或6


【答案】D


【解析】如图所示：





分别根据四点在同一直线上、三点在同一条直线上、任意三点均不在同一条直线上描出各点，再根据两点确定一条直线画出各直线可知：


平面上有四点，过其中每两点画出一条直线，可以画直线的条数为1或4或6．故选D．


三、线段的性质


线段公理：两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．简单说成：两点之间，线段最短．


例 3


有下列生活，生产现象：


①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；


②把弯曲的公路改直，就能缩短路程；


③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；


④从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设．


其中能用“两点之间，线段最短”来解释的现象有


A．①②B．①③C．②④D．③④


【答案】C


【解析】①用两个钉子就可以把木条固定在墙上是利用了“两点确定一条直线”，故错误；


②把弯曲的公路改直，就能缩短路程是利用了“两点之间线段最短”，故正确；


③植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线是利用了“两点确定一条直线”，故错误；


④从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设，就能缩短路程是利用了“两点之间线段最短”，故正确．


故选C．


四、两点之间的距离


（1）两点间的距离


连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．


（2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离．


例 4


如图，在线段AB上有C、D两点，CD长度为1cm，AB长为整数，则以A、B、C、D为端点的所有线段长度和不可能为





A．21cmB．22cmC．25cmD．31cm


【答案】A


【解析】由题意可得，


图中以A，B，C，D这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和是：AC+CD+DB+AD+CB+AB=（AC+CD+DB）+（AD+CB）+AB=AB+AB+CD+AB=3AB+CD，


所以以A、B、C、D为端点的所有线段长度和为AB长度的3倍多1，


因为AB长为整数，所以以A、B、C、D为端点的所有线段长度和不可能为21．


故选A．


五、比较线段的长短


（1）比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法．


就结果而言有三种结果：AB>CD、AB=CD、AB

（2）线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点．


（3）线段的和、差、倍、分及计算


做一条线段等于已知线段，可以通过度量的方法，先量出已知线段的长度，再利用刻度尺画条等于这个长度的线段，也可以利用圆规在射线上截取一条线段等于已知线段．


例 5


如图，用圆规比较两条线段AB和A′B′的长短，其中正确的是





A．A′B′>ABB．A′B′=AB


C．A′B′

【答案】C


【解析】由图可知，A′B′







1．下列数学语言，不正确的是


A．画直线MN，在直线MN上任取一点P


B．以点M为端点画射线MA


C．直线a，b相交于点m


D．延长线段MN到点P，使NP=MN


2．如图，观察图形，下列结论中不正确的是





A．直线BA和直线AB是同一条直线


B．图中有5条线段


C．AB+BD>AD


D．射线AC和射线AD是同一条射线


3．如图，点A，B，C，D，E，F在同一条直线上，则图中线段和射线的条数分别为





A．10，10B．12，15


C．15，12D．15，15


4．如图，经过刨平的木板上的A，B两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是





A．两点之间，线段最短


B．两点确定一条直线


C．垂线段最短


D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直


5．兴延高速是世界园艺博览会重点配套工程，2019年1月1日，兴延高速正式通车．石峡隧道是兴延高速项目中最长的隧道，也是北京市最长的公路隧道，总长约5.8公里．正因为穿越的隧道多，所以兴延高速最大的特点是“直”，明显缩短了北京市区到延庆的距离，其主要依据是





A．两点确定一条直线


B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直


C．垂线段最短


D．两点之间，线段最短


6．如图，用剪刀沿直线将一片平整的长方形纸片剪掉一部分，发现剩下纸片的周长比原纸片的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是





A．经过两点，有且仅有一条直线


B．经过一点有无数条直线


C．两点之间，线段最短


D．垂线段最短


7．点A，B，C在同一直线上，已知AB=3cm，BC=1cm，则线段AC的长是


A．2cmB．3cm


C．4cmD．2cm或4cm


8．如图，已知线段AB=10cm，点C在线段AB上，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，那么线段MN的长为





A．6cmB．5cm


C．4cmD．不能确定


9．在一条直线上，依次有E、F、G、H四点．如果点F是线段EG的中点，点G是线段FH的中点，则有


A．EF=2GHB．EF>GH


C．EF>2GHD．EF=GH


10．经过同一平面内的A，B，C三点中的任意两点，可以作出__________条直线．


11．如图，该图中不同的线段数共有__________条．





12．如下图，从小华家去学校共有4条路，第__________条路最近，理由是__________．





13．如图，若D是AB中点，E是BC中点，若AC=8，EC=3，AD=__________．





14．如图，已知线段AB，反向延长AB到点C，使AC=AB，D是AC的中点，若CD=2，求AB的长.
































15．如图，B、C是线段AD上两点，且AB：BC：CD=3：2：5，E、F分别是AB、CD的中点，且EF=24，求线段AB、BC、CD的长．























16．AB、AC是同一条直线上的两条线段，M在AB上，且AM=AB，N在AC上，且AN=AC，线段BC和MN的大小有什么关系？请说明理由.























17．如图所示，C是线段AB上的一点，D是AC的中点，E是BC的中点，如果AB=9cm，AC=5cm.


求：（1）AD的长；（2）DE的长.


























18．如图，已知A、B、C、D四点，根据下列语句画图：


（1）画直线AB；


（2）连接AC、BD，相交于点O；


（3）画射线AD、BC，交于点P．


























1．如图，点C在线段AB上，点D是AC的中点，如果CB=CD，AB=7cm，那么BC的长为





A．3cmB．3.5cm


C．4cmD．4.5cm


2．如图，C是AB的中点，D是BC的中点，则下列等式不成立的是





A．CD=AD–ACB．CD=AB－BD


C．CD=ABD．CD=AB


3．A、B是直线l上的两点，P是直线l上的任意一点，要使PA+PB的值最小，那么点P的位置应在


A．线段AB上B．线段AB的延长线上


C．线段AB的反向延长线上D．直线l上


4．已知点P是线段AB的中点，则下列说法中：①PA+PB=AB；②PA=PB；③PA=AB；④PB=AB．其中，正确的有


A．1个B．2个


C．3个D．4个


5．在墙上固定一根木棒时，至少需要两根钉子，这其中所体现的“基本事实”是__________．


6．如图，能用字母表示的以点C为端点的线段的条数为m，能用字母表示的以点C为端点的射线的条数为n，则m–n的值为__________．





7．请完成以下问题：





（1）如图1，在比较B→A→C与B→C这两条路径的长短时，写出你已学过的基本事实；


（2）如图2，试判断B→A→C与B→D→C这两条路径的长短，并说明理由．




















8．如图1，已知点C在线段AB上，线段AC=10厘米，BC=6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．





（1）求线段MN的长度；


（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC+BC=a，其他条件不变，求MN的长度；


（3）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？























1．（2019•日照）如图，已知AB=8cm，BD=3cm，C为AB的中点，则线段CD的长为__________cm．


2．（2017•桂林）如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AD的中点，若CD=1，则AB=__________．


3．（2017•河北）在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中AB=2，BC=1，如图所示，设点A，B，C所对应数的和是p．


（1）若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算p的值；若以C为原点，p又是多少？


（2）若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO=28，求p．






































1．【答案】C


【解析】A、画直线MN，在直线MN上任取一点P，正确；


B、以点M为端点画射线MA，正确；


C、直线a，b相交于点M，故错误；


D、延长线段MN到点P，使NP=MN，正确；


故选C．


2．【答案】B


【解析】A、直线BA和直线AB是同一条直线，正确；


B、图中有6条线段，故错误；


C、AB+BD>AD，正确；


D、线AC和射线AD是同一条射线，正确；


故选B．


3．【答案】C


【解析】图中线段有15条：线段AB、线段AC、线段AD、线段AE、线段AF、线段BC、线段BD、线段BE、线段BF、线段CD、线段CE、线段CF、线段DE，线段DF、线EF；


以每个点为端点的射线有2条，共6个点，故射线有12条；故选C．


4．【答案】B


【解析】因为经过两点有且只有一条直线，所以经过木板上的A、B两个点，只能弹出一条笔直的墨线．故选B．


5．【答案】D


【解析】兴延高速最大的特点是“直”，明显缩短了北京市区到延庆的距离，其主要依据是：两点之间，线段最短．故选D．


6．【答案】C


【解析】用剪刀沿直线将一片平整的长方形纸片剪掉一部分，发现剩下纸片的周长比原纸片的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是两点之间线段最短．故选C．


7．【答案】D


【解析】本题有两种情形：


（1）当点C在线段AB上时，如图，AC=AB–BC，





又因为AB=3cm，BC=1cm，所以AC=3–1=2cm；


（2）当点C在线段AB的延长线上时，如图，AC=AB+BC，





又因为AB=3cm，BC=1cm，所以AC=3+1=4cm．


故线段AC=2cm或4cm．故选D．


8．【答案】B


【解析】因为M是线段AC的中点，N是线段BC的中点，所以MC=AC，CN=BC，


所以MN=MC+CN=AC+BC=（AC+BC）=×10=5cm．故选B．


9．【答案】D


【解析】如图，





因为点F是线段EG的中点，点G是线段FH的中点，


所以EF=FG，FG=GH，所以EF=GH，故选D．


10．【答案】1或3


【解析】若A，B，C三点在同一直线上，可作出1条直线；若A，B，C三点不在同一直线上，可作出3条.故答案为：1或3．


11．【答案】6


【解析】因为图中的线段有：BC、DC、AC、BD、BA、DA，所以共有6条线段.故答案为：6.


12．【答案】③；两点之间，线段最短


【解析】从小华家去学校共有4条路，第③条路最近，理由是：两点之间，线段最短．


13．【答案】1


【解析】因为EC=3，E是BC中点，所以BC=2EC=2×3=6，


因为AC=8，所以AB=AC–BC=8–6=2，


因为D是AB中点，所以AD=AB=×2=1．


14．【解析】因为D是AC的中点，所以AC=2CD，


因为CD=2cm，所以AC=4cm，


因为AC=AB，所以AB=2AC，


所以AB=2×4cm=8cm．


15．【解析】设AB=3x，则BC=2x，CD=5x，


因为E、F分别是AB、CD的中点，


所以BE=x，CF=x，


因为BE+BC+CF=EF，且EF=24，


所以x+2x+x=24，


解得x=4，


所以AB=12，BC=8，CD=20．


16．【解析】BC=3MN.分三种情况：


（1）如图所示：





因为AM=AB，AN=AC，


所以MN=AN−AM=(AC−AB)，


因为MN=(AC−AB)，BC=AC–AB，


所以BC=3MN；


（2）如图所示：





同理可得到BC=3MN；


（3）如图所示：





因为AM=AB，AN=AC，AB+AC=BC，


所以BC=3MN.


综上所述，无论B、C在点A的同侧还是异侧都有BC=3MN.


17．【解析】（1）因为AC=5cm，D是AC中点，


所以AD=DC=AC=cm，


（2）因为AB=9cm，AC=5cm，


所以BC=AB−AC=9−5=4（cm），


因为E是BC中点，


所以CE=BC=2cm，


所以DE=CD+CE=+2=（cm）．


18．【解析】（1）如图所示，直线AB即为所求；





（2）如图所示，线段AC，BD即为所求；


（3）如图所示，射线AD、BC即为所求．





1．【答案】A


【解析】因为点D是AC的中点，所以AD=CD，


因为CB=CD，所以CD=BC，因为AD+CD+BC=AB，且AB=7cm，


所以BC+BC+BC=7，解得BC=3（cm）.故选A．


2．【答案】D


【解析】因为C是AB的中点，所以CA=CB，


又因为D是BC的中点，所以DC=DB，所以CD=DB=AB；CD=BC−BD=AB−BD；


CD=AD−AC．故选D．


3．【答案】A


【解析】当P点在线段AB的延长线上，则PA+PB=PB+AB+PB=AB+2PB；


当P点在线段AB的反向延长线上，则PA+PB=PA+AB+PB=AB+2PA；


当P点在线段AB上，则PA+PB=AB，


所以当P点在线段AB上时PA+PB的值最小．


故选A．


4．【答案】D


【解析】由P是线段AB的中点，得①PA+PB=AB②PA=PB③PA=AB④PB=AB，故选D．


5．【答案】两点确定一条直线


【解析】在墙上固定一根木条至少需要两根钉子，依据的数学道理是两点确定一条直线．故答案为：两点确定一条直线．


6．【答案】2


【解析】由图可得，能用字母表示的以点C为端点的线段的条数m=4，能用字母表示的以点C为端点的射线的条数n=2，∴m–n的值为2，故答案为：2．


7．【解析】（1）基本事实是：两点之间线段最短；


（2）B→A→C比B→D→C长，理由是：


因为AB>BD，AC>DC，


所以AB+AC>BD+DC，


所以B→A→C比B→D→C长．


8．（1）因为线段AC=10厘米，BC=6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点，


所以CM=AC=5厘米，CN=BC=3厘米，


所以MN=CM+CN=8厘米；


（2）因为点M，N分别是AC，BC的中点，


所以CM=AC，CN=BC，


所以MN=CM+CN=AC+BC=a；


（3）①当0

10–2t=6–t，解得t=4；


②当5

③当

④当6

综上所述：t=4或或．





1．【答案】1


【解析】因为C为AB的中点，AB=8cm，所以BC=AB=×8=4（cm），


因为BD=3cm，所以CD=BC–BD=4–3=1（cm），则CD的长为1cm；故答案为：1．


2．【答案】4


【解析】因为点C是线段AD的中点，若CD=1，所以AD=1×2=2，


因为点D是线段AB的中点，


所以AB=2×2=4．


故答案为：4．


3．【解析】（1）若以B为原点，则C表示1，A表示–2，


所以p=1+0–2=–1；


若以C为原点，则A表示–3，B表示–1，


所以p=–3–1+0=–4；


（2）若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO=28，则C表示–28，B表示–29，A表示–31，


所以p=–31–29–28=–88．帮—重点
1．直线公理；


2．线段的性质
帮—难点
直线、射线、线段的概念
帮—易错
直线、射线、线段的联系和区别