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初中人教版第二十一章 一元二次方程21.3 实际问题与一元二次方程精品教学设计及反思
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这是一份初中人教版第二十一章 一元二次方程21.3 实际问题与一元二次方程精品教学设计及反思，共22页。教案主要包含了常见实际问题，常见问题等内容，欢迎下载使用。
21.3 实际问题与一元二次方程
一、列一元二次方程解应用题的一般步骤
（1）审：读懂题目，弄清题意，明确 、 ，以及它们之间的关系．
（2）设：设出 ．
（3）列：找出 ，列出方程．
（4）解：解方程，求出 的值．
（5）验：检验 是否符合实际意义．
（6）答：写出 ．
二、常见实际问题
（1）传播问题：
传染源第一轮被传染的第二轮被传染的第二轮传染后的总数．
（2）平均增长（降低）率问题：
①设基数为，平均增长率为，则第一次增长后的值为，两次增长后的值为，依次类推，次增长后的值为 ．
②设基数为，平均降低率为，则第一次降低后的值为，两次降低后的值为，依次类推，次降低后的值为 ．
（3）几何图形面积问题：
几何图形应用题，关键是将不规则图形分割或组合成 ，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积公式或体积公式列出方程．
（4）数字问题：
若一个两位数十位、个位上的数字分别为、，则这个两位数表示为 ；
若一个三位数百位、十位、个位上的数字分别为、、，则这个三位数表示为 ．
（5）单、双循环问题：
设参加队伍有个队，则单循环问题中总的比赛场数为 场；双循环问题中总的比赛场数为 场．
（6）销售利润问题：
；；
；．
（7）存款利息问题：
；．
一、（1）已知量，未知量（2）未知数（3）相等关系（4）未知数（5）方程的解（6）答案
二、（2），（3）规则图形（4），（5），
一、根据实际问题列出一元二次方程
同一元一次方程、二元一次方程（组）等一样，一元二次方程也可以作为反映某些实际问题中数量关系的数学模型．
将一块长方形桌布铺在长为3 m，宽为2 m的长方形桌面上，各边下垂的长度相同，且桌布的面积是桌面面积的2倍，求桌布下垂的长度，设桌布下垂的长度为x m，则所列的方程是
A．（2x+3）（2x+2）=2×3×2B．2（x+3）（x+2）=3×2
C．（x+3）（x+2）=2×3×2D．2（2x+3）2x+2）=3×2
【答案】A
【解析】设桌布铺到桌面上时各边垂下的长度为x m，则桌布的长为（3+2x）m，宽为（2+2x）m，依题意得（2x+3）（2x+2）=2×3×2，故选A.
【名师点睛】考查了一元二次方程的应用，此题选择未知数非常关键，设桌布铺到桌面上时各边垂下的长度，即可表示桌布的长与宽.
二、列一元二次方程解应用题的一般步骤
1．审：读懂题目，弄清题意，明确已知量、未知量，以及它们之间的关系．
2．设：设出未知数．
3．列：找出相等关系，列出方程．
4．解：解方程，求出未知数的值．
5．验：检验方程的解是否符合实际意义．
6．答：写出答案．
某品牌空调原价4000元，因销售旺季，提价一定的百分率进行销售，一段时间后，因销售淡季又降价相同的百分率进行销售，若淡季空调售价为3960元，求相同的百分率.
【答案】10%
【解析】设相同的百分率是x，依题意，得：，
解得：（舍去）.
答：相同的百分率是10%.
【名师点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.
三、常见问题
1．传播问题：
传染源第一轮被传染的第二轮被传染的第二轮传染后的总数．
2．平均增长（降低）率问题：
（1）设基数为，平均增长率为，则第一次增长后的值为，两次增长后的值为，依次类推，次增长后的．
（2）设基数为，平均降低率为，则第一次降低后的值为，两次降低后的值为，依次类推，次降低后的值为．
3．几何图形面积问题：
几何图形应用题，关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程．
4．数字问题：
若一个两位数十位、个位上的数字分别为、，则这个两位数表示为；
若一个三位数百位、十位、个位上的数字分别为、、，则这个三位数表示为．
5．单、双循环问题：
设参加队伍有个队，则单循环问题中总的比赛场数为场；双循环问题中总的比赛场数为场．
6．销售利润问题：
；；
；．
7．存款利息问题：
；．
（2019•广州）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．
（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？
（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率．
【答案】（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是6万座．
（2）2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%．
【解析】（1）1.5×4=6（万座）．
答：计划到2020年底，全省5G基站的数量是6万座．
（2）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，
根据题意，得：6（1+x）2=17.34，
解得：x1=0.7=70%，x2=–2.7（舍去）．
答：2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%．
【名师点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（2019•广西）扬帆中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为
A．（30–x）（20–x）=×20×30B．（30–2x）（20–x）=×20×30
C．30x+2×20x=×20×30D．（30–2x）（20–x）=×20×30
【答案】D
【解析】设花带的宽度为xm，则可列方程为（30–2x）（20–x）=×20×30，故选D．
【名师点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据图形得出面积的相等关系．
1．一件产品原来每件的成本是1000元，由于连续两次降低成本，现在的成本是810元，则平均每次降低成本
A．8.5%B．9%
C．9.5%D．10%
2．为执行“均衡教育”政策，某区2017年投入教育经费2500万元，预计到2019年底三年累计投入1.2亿元，若每年投入教育经费的年平均增长百分率为，则下列方程正确的是
A．
B．
C．
D．
3．用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为
A．x（5+x）=6B．x（5–x）=6
C．x（10–x）=6D．x（10–2x）=6
4．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m，剩余空地的面积为18 m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为x m，则可列方程为
A．=18B．–3x+16=0
C．=18D．+3x+16=0
5．某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x米，则可列方程为
A．x（x–11）=180B．2x+2（x–11）=180
C．x（x+11）=180D．2x+2（x+11）=180
6．如图，在宽为20米、长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪．要使草坪的面积为540平方米，则道路的宽为
A．5米 B．3米
C．2米 D．2米或5米
7．某种服装原售价为200元，由于换季，连续两次降价处理，现按72元的售价销售．已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为__________．
8．某种药品原来售价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是__________．
9．某公司2月份的利润为160万元，4月份的利润250万元，若设平均每月的增长率x，则根据题意可得方程为__________．
10．在国家“一带一路”发展战略等多种因素影响下，某企业的利润逐年提高，据统计，该企业2016年利润为3亿元，2018年利润为4.32亿元，若2019年保持前两年的年平均增长率不变，该企业2019年利润能否超过5亿元？
11．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，
（1）若降价a元，则平均每天销售数量为 件（用含a的代数式表示）：
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
12．如图统计图表示某摩托车厂去年第一、二季度各月产值的数据．请根据统计图回答下列问题：
（1）相邻两个月中，哪两个月的月产值增长最快？为什么？
（2）（1）中产值增长最快的这两个月之间月产值的增长率是多少？(精确到0.1%)
13．我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是
A．8% B．9%
C．10% D．11%
14．某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为
A．2% B．4.4%
C．20% D．44%
15．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2−10x+21=0的根，则三角形的周长为______________.
16．波音公司生产某种型号的飞机，7月份的月产量为50架，由于改进了生产技术，计划9月份生产飞机98架，那么8、9月飞机生产量平均每月的增长率是__________．
17．某校图书馆去年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册，则这两年的年平均增长率为__________．
18．某种植物的主干长出若干数目的支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91．设每个支干长出x个小分支，则可得方程为__________．
19．如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD，求该矩形草坪BC边的长．（用方程解）
20．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
21．如图，某农场有一块长40 m，宽32 m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140 m2，求小路的宽．
22．（2019•黑龙江）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是
A．4B．5
C．6D．7
23．（2019•新疆）在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场．设有x个队参赛，根据题意，可列方程为
A．x（x–1）=36B．x（x+1）=36
C．x（x–1）=36D．x（x+1）=36
24．（2019·衡阳）国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路.某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人.设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得
A． B．
C． D．
25．（2019.达州）某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x.根据题意列方程，则下列方程正确的是
A．2500（1+x）2=9100
B．2500（1+x%）2=9100
C．2500（1+x）+2500（1+x）2=9100
D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2=9100
26．（2019•山西）如图，在一块长12 m，宽8 m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77 m2，设道路的宽为x m，则根据题意，可列方程为__________．
27．（2019·贺州）2016年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2018年，家庭年人均纯收入达到了3600元.
（1）求该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率；
（2）若年平均增长率保持不变，2019年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到4200元？
28．（2019.襄阳）改善小区环境，争创文明家园.如图所示，某社区决定在一块长（AD）16 m，宽（AB）9 m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草.要使草坪部分的总面积为112 m2，则小路的宽应为多少？
1．【答案】D
【解析】设平均每次降低成本的百分率为x，根据题意得：
1000（1﹣x）（1﹣x）＝810，
解得：x＝0.1或1.9（不合题意，舍去）
即：x＝10%
故选：D．
2．【答案】D
【解析】设每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，
由题意得，2500+2500×（1+x）+2500（1+x）2=12000．
故选D．
【名师点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
3．【答案】B
【解析】一边长为x米，则另外一边长为：5–x米，由题意得：x（5–x）=6，故选B．
4．【答案】C
【解析】可设原正方形的边长为x m，则剩余的空地长为（x–1） m，宽为（x–2） m．根据长方形的面积公式列方程可得=18．故选C．
5．【答案】C
【解析】设宽为x米，则长为（x+11）米，根据题意得：x（x+11）=180，故选C．
6．【答案】C
【解析】设道路的宽为x，根据题意得20x+32x-x2=20×32-540，整理得（x-26）2=576，开方得x-26=24或x-26=-24，解得x=50（舍去）或x=2.所以道路宽为2米．故选C．
7．【答案】40%
【解析】设每次降价的百分率为x，由题意，得200（1–x）2=72，所以（1–x）2=0.36，x=1±0.6，解得：x1=0.4=40%，x2=1.6（不符合题意，舍去），故答案是：40%．
8．【答案】10%
【解析】设平均每次降价的百分率为x，由题意，第一次降价后的售价是100（1–x），第二次降价后的售价是100（1–x）2，根据题意列方程解100×（1–x）2=81，解得x1=0.1=10%，x2=1.9（不符合题意，舍去）．所以所求的百分率是10%．
9．【答案】160(1＋x)2=250
【解析】设平均每月的增长率是x，根据题意得，3月份的利润为160（1+x），4月份的利润为160（1+x）2=250，故答案是：160（1+x）2=250．
10．【答案】该企业2019年利润能超过5亿元．
【解析】设该企业2017、2018年的年平均增长率为x，
依题意，得：3（1+x）2＝4.32，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去），
∴4.32×（1+20%）＝5.184（亿元）．
答：该企业2019年利润能超过5亿元．
【名师点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
11．【答案】（1）2a+20，（2）当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．
【解析】（1）根据题意得：
若降价a元，则多售出2a件，
平均每天销售数量为：2a+20，
故答案为：2a+20，
（2）设每件商品降价x元，
根据题意得：
（40﹣x）（20+2x）＝1200，
解得：x1＝10，x2＝20，
40﹣10＝30＞25，（符合题意），
40﹣20＝20＜25，（舍去），
答：当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．
【名师点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．
12．【答案】（1）3月和5月增长快；（2）20%；
【解析】（1）3月和5月增长快；从折线图中可以看到，3月比2月多15左右，5月比4月多15左右；
（2）设月增长率为x，
根据题意得：
50(1+x)2＝70，
∴x≈20%，
∴3月到5月之间的月增长率是20%；
【名师点睛】本题考查折线统计图；能够从折线统计图中读取信息，列出关系式解题是关键．
13．【答案】C
【解析】设平均每次下调的百分率为x，由题意，得
6000（1−x）2=4860，
解得：x1=0.1，x2=1.9（舍去）．
答：平均每次下调的百分率为10%．
故选C．
【名师点睛】本题考查了一元二次方程的应用，降低率问题的数量关系的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据降低率问题的数量关系建立方程是关键．
14．【答案】C
【解析】设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x，
根据题意得：2（1+x）2=2.88，
解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为20%．
故选C．
【名师点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15．【答案】16
【解析】解方程x2-10x+21=0得x1=3、x2=7，
∵3＜第三边的边长＜9，
∴第三边的边长为7．
∴这个三角形的周长是3+6+7=16．
故答案为：16．
【名师点睛】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系．已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
16．【答案】40%
【解析】设8、9月飞机生产量平均每月的增长率是x，由题意得， ，解得：x=0.4或x=–2.4（不合题意舍去），即8、9月飞机生产量平均每月的增长率是0.4=40%．故答案为：40%．
17．【答案】20%
【解析】设这两年的年平均增长率为x%，根据题意列方程得5（1+x%）2=7.2，即1+x%=±1.2，解得x1=20，x2=–220，经检验，x2=–220不符合题意，舍去，所以x=20．即这两年的年平均增长率为20%．
18．【答案】+x+1=91．
【解析】由题意，设每个支干长出x个小分支，则主干长出x个分支，所以，一共长出x个分支，个小分支，则主干、支干和小分支的总数为：+x+1，即可列方程得：+x+1=91．故答案为：+x+1=91．
19．【答案】12米
【解析】设BC边的长为x米，则AB边的长度为，根据题意得，
，整理，得，
解得：x1=20，x2=12，∵20>16，
x1=20不合题意，舍去，∴x=12．
答：矩形草坪BC边的长为12米．
20．【答案】（1）26；（2）每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元.
【解析】（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3=26件．
（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元．
根据题意，得 （40-x）（20+2x）=1200，
整理，得x2-30x+200=0，
解得：x1=10，x2=20．
∵要求每件盈利不少于25元，
∴x2=20应舍去，
∴x=10．
答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．
【名师点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键．
21．【答案】小路的宽应是2 m．
【解析】设小路的宽为x m，依题意有：
（40–x）（32–x）=1140，整理，得x2–72x+140=0．
解得x1=2，x2=70（不合题意，舍去）．
答：小路的宽应是2 m．
22．【答案】C
【解析】设这种植物每个支干长出x个小分支，根据题意，得：1+x+x2=43，解得：x1=–7（舍去），x2=6．故选C．
23．【答案】A
【解析】设有x个队参赛，根据题意，可列方程为：x（x–1）=36，故选A．
【名师点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．
24．【答案】B
【解析】设这两年全省贫困人口的年平均下降率为x，
根据题意得：，故选B.
【名师点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，得到两年年内变化情况的等量关系是解决本题的关键.
25．【答案】D
【解析】设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x.根据题意列方程得：
2500+2500（1+x）+2500（1+x）2=9100.
故选：D.
【名师点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确理解题意是解题关键.
26．【答案】（12–x）（8–x）=77
【解析】∵道路的宽应为x米，∴由题意得，（12–x）（8–x）=77，
故答案为：（12–x）（8–x）=77．
【名师点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．
27．【答案】（1）20%；（2）4200.
【解析】（1）设该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x，依题意，得：2500（1+x）2=3600，解得：（舍去）.
答：该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为20%.
（2）3600×（1+20%）=4320（元），
4320>4200.
答：2019年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到4200元.
【名师点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.
28．【答案】1 m
【解析】设小路的宽应为x m，根据题意得：，
解得：x1=1，x2=16.
16>9，
x=16不符合题意，舍去，
x=1.
答：小路的宽应为1 m.帮—重点
一元二次方程解应用题
帮—难点
（1）平均增长（降低）率问题（2）单、双循环问题
帮—易错
销售利润问题
21.3 实际问题与一元二次方程
一、列一元二次方程解应用题的一般步骤
（1）审：读懂题目，弄清题意，明确 、 ，以及它们之间的关系．
（2）设：设出 ．
（3）列：找出 ，列出方程．
（4）解：解方程，求出 的值．
（5）验：检验 是否符合实际意义．
（6）答：写出 ．
二、常见实际问题
（1）传播问题：
传染源第一轮被传染的第二轮被传染的第二轮传染后的总数．
（2）平均增长（降低）率问题：
①设基数为，平均增长率为，则第一次增长后的值为，两次增长后的值为，依次类推，次增长后的值为 ．
②设基数为，平均降低率为，则第一次降低后的值为，两次降低后的值为，依次类推，次降低后的值为 ．
（3）几何图形面积问题：
几何图形应用题，关键是将不规则图形分割或组合成 ，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积公式或体积公式列出方程．
（4）数字问题：
若一个两位数十位、个位上的数字分别为、，则这个两位数表示为 ；
若一个三位数百位、十位、个位上的数字分别为、、，则这个三位数表示为 ．
（5）单、双循环问题：
设参加队伍有个队，则单循环问题中总的比赛场数为 场；双循环问题中总的比赛场数为 场．
（6）销售利润问题：
；；
；．
（7）存款利息问题：
；．
一、（1）已知量，未知量（2）未知数（3）相等关系（4）未知数（5）方程的解（6）答案
二、（2），（3）规则图形（4），（5），
一、根据实际问题列出一元二次方程
同一元一次方程、二元一次方程（组）等一样，一元二次方程也可以作为反映某些实际问题中数量关系的数学模型．
将一块长方形桌布铺在长为3 m，宽为2 m的长方形桌面上，各边下垂的长度相同，且桌布的面积是桌面面积的2倍，求桌布下垂的长度，设桌布下垂的长度为x m，则所列的方程是
A．（2x+3）（2x+2）=2×3×2B．2（x+3）（x+2）=3×2
C．（x+3）（x+2）=2×3×2D．2（2x+3）2x+2）=3×2
【答案】A
【解析】设桌布铺到桌面上时各边垂下的长度为x m，则桌布的长为（3+2x）m，宽为（2+2x）m，依题意得（2x+3）（2x+2）=2×3×2，故选A.
【名师点睛】考查了一元二次方程的应用，此题选择未知数非常关键，设桌布铺到桌面上时各边垂下的长度，即可表示桌布的长与宽.
二、列一元二次方程解应用题的一般步骤
1．审：读懂题目，弄清题意，明确已知量、未知量，以及它们之间的关系．
2．设：设出未知数．
3．列：找出相等关系，列出方程．
4．解：解方程，求出未知数的值．
5．验：检验方程的解是否符合实际意义．
6．答：写出答案．
某品牌空调原价4000元，因销售旺季，提价一定的百分率进行销售，一段时间后，因销售淡季又降价相同的百分率进行销售，若淡季空调售价为3960元，求相同的百分率.
【答案】10%
【解析】设相同的百分率是x，依题意，得：，
解得：（舍去）.
答：相同的百分率是10%.
【名师点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.
三、常见问题
1．传播问题：
传染源第一轮被传染的第二轮被传染的第二轮传染后的总数．
2．平均增长（降低）率问题：
（1）设基数为，平均增长率为，则第一次增长后的值为，两次增长后的值为，依次类推，次增长后的．
（2）设基数为，平均降低率为，则第一次降低后的值为，两次降低后的值为，依次类推，次降低后的值为．
3．几何图形面积问题：
几何图形应用题，关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程．
4．数字问题：
若一个两位数十位、个位上的数字分别为、，则这个两位数表示为；
若一个三位数百位、十位、个位上的数字分别为、、，则这个三位数表示为．
5．单、双循环问题：
设参加队伍有个队，则单循环问题中总的比赛场数为场；双循环问题中总的比赛场数为场．
6．销售利润问题：
；；
；．
7．存款利息问题：
；．
（2019•广州）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．
（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？
（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率．
【答案】（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是6万座．
（2）2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%．
【解析】（1）1.5×4=6（万座）．
答：计划到2020年底，全省5G基站的数量是6万座．
（2）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，
根据题意，得：6（1+x）2=17.34，
解得：x1=0.7=70%，x2=–2.7（舍去）．
答：2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%．
【名师点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（2019•广西）扬帆中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为
A．（30–x）（20–x）=×20×30B．（30–2x）（20–x）=×20×30
C．30x+2×20x=×20×30D．（30–2x）（20–x）=×20×30
【答案】D
【解析】设花带的宽度为xm，则可列方程为（30–2x）（20–x）=×20×30，故选D．
【名师点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据图形得出面积的相等关系．
1．一件产品原来每件的成本是1000元，由于连续两次降低成本，现在的成本是810元，则平均每次降低成本
A．8.5%B．9%
C．9.5%D．10%
2．为执行“均衡教育”政策，某区2017年投入教育经费2500万元，预计到2019年底三年累计投入1.2亿元，若每年投入教育经费的年平均增长百分率为，则下列方程正确的是
A．
B．
C．
D．
3．用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为
A．x（5+x）=6B．x（5–x）=6
C．x（10–x）=6D．x（10–2x）=6
4．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m，剩余空地的面积为18 m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为x m，则可列方程为
A．=18B．–3x+16=0
C．=18D．+3x+16=0
5．某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x米，则可列方程为
A．x（x–11）=180B．2x+2（x–11）=180
C．x（x+11）=180D．2x+2（x+11）=180
6．如图，在宽为20米、长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪．要使草坪的面积为540平方米，则道路的宽为
A．5米 B．3米
C．2米 D．2米或5米
7．某种服装原售价为200元，由于换季，连续两次降价处理，现按72元的售价销售．已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为__________．
8．某种药品原来售价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是__________．
9．某公司2月份的利润为160万元，4月份的利润250万元，若设平均每月的增长率x，则根据题意可得方程为__________．
10．在国家“一带一路”发展战略等多种因素影响下，某企业的利润逐年提高，据统计，该企业2016年利润为3亿元，2018年利润为4.32亿元，若2019年保持前两年的年平均增长率不变，该企业2019年利润能否超过5亿元？
11．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，
（1）若降价a元，则平均每天销售数量为 件（用含a的代数式表示）：
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
12．如图统计图表示某摩托车厂去年第一、二季度各月产值的数据．请根据统计图回答下列问题：
（1）相邻两个月中，哪两个月的月产值增长最快？为什么？
（2）（1）中产值增长最快的这两个月之间月产值的增长率是多少？(精确到0.1%)
13．我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是
A．8% B．9%
C．10% D．11%
14．某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为
A．2% B．4.4%
C．20% D．44%
15．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2−10x+21=0的根，则三角形的周长为______________.
16．波音公司生产某种型号的飞机，7月份的月产量为50架，由于改进了生产技术，计划9月份生产飞机98架，那么8、9月飞机生产量平均每月的增长率是__________．
17．某校图书馆去年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册，则这两年的年平均增长率为__________．
18．某种植物的主干长出若干数目的支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91．设每个支干长出x个小分支，则可得方程为__________．
19．如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD，求该矩形草坪BC边的长．（用方程解）
20．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
21．如图，某农场有一块长40 m，宽32 m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140 m2，求小路的宽．
22．（2019•黑龙江）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是
A．4B．5
C．6D．7
23．（2019•新疆）在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场．设有x个队参赛，根据题意，可列方程为
A．x（x–1）=36B．x（x+1）=36
C．x（x–1）=36D．x（x+1）=36
24．（2019·衡阳）国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路.某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人.设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得
A． B．
C． D．
25．（2019.达州）某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x.根据题意列方程，则下列方程正确的是
A．2500（1+x）2=9100
B．2500（1+x%）2=9100
C．2500（1+x）+2500（1+x）2=9100
D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2=9100
26．（2019•山西）如图，在一块长12 m，宽8 m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77 m2，设道路的宽为x m，则根据题意，可列方程为__________．
27．（2019·贺州）2016年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2018年，家庭年人均纯收入达到了3600元.
（1）求该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率；
（2）若年平均增长率保持不变，2019年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到4200元？
28．（2019.襄阳）改善小区环境，争创文明家园.如图所示，某社区决定在一块长（AD）16 m，宽（AB）9 m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草.要使草坪部分的总面积为112 m2，则小路的宽应为多少？
1．【答案】D
【解析】设平均每次降低成本的百分率为x，根据题意得：
1000（1﹣x）（1﹣x）＝810，
解得：x＝0.1或1.9（不合题意，舍去）
即：x＝10%
故选：D．
2．【答案】D
【解析】设每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，
由题意得，2500+2500×（1+x）+2500（1+x）2=12000．
故选D．
【名师点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
3．【答案】B
【解析】一边长为x米，则另外一边长为：5–x米，由题意得：x（5–x）=6，故选B．
4．【答案】C
【解析】可设原正方形的边长为x m，则剩余的空地长为（x–1） m，宽为（x–2） m．根据长方形的面积公式列方程可得=18．故选C．
5．【答案】C
【解析】设宽为x米，则长为（x+11）米，根据题意得：x（x+11）=180，故选C．
6．【答案】C
【解析】设道路的宽为x，根据题意得20x+32x-x2=20×32-540，整理得（x-26）2=576，开方得x-26=24或x-26=-24，解得x=50（舍去）或x=2.所以道路宽为2米．故选C．
7．【答案】40%
【解析】设每次降价的百分率为x，由题意，得200（1–x）2=72，所以（1–x）2=0.36，x=1±0.6，解得：x1=0.4=40%，x2=1.6（不符合题意，舍去），故答案是：40%．
8．【答案】10%
【解析】设平均每次降价的百分率为x，由题意，第一次降价后的售价是100（1–x），第二次降价后的售价是100（1–x）2，根据题意列方程解100×（1–x）2=81，解得x1=0.1=10%，x2=1.9（不符合题意，舍去）．所以所求的百分率是10%．
9．【答案】160(1＋x)2=250
【解析】设平均每月的增长率是x，根据题意得，3月份的利润为160（1+x），4月份的利润为160（1+x）2=250，故答案是：160（1+x）2=250．
10．【答案】该企业2019年利润能超过5亿元．
【解析】设该企业2017、2018年的年平均增长率为x，
依题意，得：3（1+x）2＝4.32，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去），
∴4.32×（1+20%）＝5.184（亿元）．
答：该企业2019年利润能超过5亿元．
【名师点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
11．【答案】（1）2a+20，（2）当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．
【解析】（1）根据题意得：
若降价a元，则多售出2a件，
平均每天销售数量为：2a+20，
故答案为：2a+20，
（2）设每件商品降价x元，
根据题意得：
（40﹣x）（20+2x）＝1200，
解得：x1＝10，x2＝20，
40﹣10＝30＞25，（符合题意），
40﹣20＝20＜25，（舍去），
答：当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．
【名师点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．
12．【答案】（1）3月和5月增长快；（2）20%；
【解析】（1）3月和5月增长快；从折线图中可以看到，3月比2月多15左右，5月比4月多15左右；
（2）设月增长率为x，
根据题意得：
50(1+x)2＝70，
∴x≈20%，
∴3月到5月之间的月增长率是20%；
【名师点睛】本题考查折线统计图；能够从折线统计图中读取信息，列出关系式解题是关键．
13．【答案】C
【解析】设平均每次下调的百分率为x，由题意，得
6000（1−x）2=4860，
解得：x1=0.1，x2=1.9（舍去）．
答：平均每次下调的百分率为10%．
故选C．
【名师点睛】本题考查了一元二次方程的应用，降低率问题的数量关系的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据降低率问题的数量关系建立方程是关键．
14．【答案】C
【解析】设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x，
根据题意得：2（1+x）2=2.88，
解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为20%．
故选C．
【名师点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15．【答案】16
【解析】解方程x2-10x+21=0得x1=3、x2=7，
∵3＜第三边的边长＜9，
∴第三边的边长为7．
∴这个三角形的周长是3+6+7=16．
故答案为：16．
【名师点睛】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系．已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
16．【答案】40%
【解析】设8、9月飞机生产量平均每月的增长率是x，由题意得， ，解得：x=0.4或x=–2.4（不合题意舍去），即8、9月飞机生产量平均每月的增长率是0.4=40%．故答案为：40%．
17．【答案】20%
【解析】设这两年的年平均增长率为x%，根据题意列方程得5（1+x%）2=7.2，即1+x%=±1.2，解得x1=20，x2=–220，经检验，x2=–220不符合题意，舍去，所以x=20．即这两年的年平均增长率为20%．
18．【答案】+x+1=91．
【解析】由题意，设每个支干长出x个小分支，则主干长出x个分支，所以，一共长出x个分支，个小分支，则主干、支干和小分支的总数为：+x+1，即可列方程得：+x+1=91．故答案为：+x+1=91．
19．【答案】12米
【解析】设BC边的长为x米，则AB边的长度为，根据题意得，
，整理，得，
解得：x1=20，x2=12，∵20>16，
x1=20不合题意，舍去，∴x=12．
答：矩形草坪BC边的长为12米．
20．【答案】（1）26；（2）每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元.
【解析】（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3=26件．
（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元．
根据题意，得 （40-x）（20+2x）=1200，
整理，得x2-30x+200=0，
解得：x1=10，x2=20．
∵要求每件盈利不少于25元，
∴x2=20应舍去，
∴x=10．
答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．
【名师点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键．
21．【答案】小路的宽应是2 m．
【解析】设小路的宽为x m，依题意有：
（40–x）（32–x）=1140，整理，得x2–72x+140=0．
解得x1=2，x2=70（不合题意，舍去）．
答：小路的宽应是2 m．
22．【答案】C
【解析】设这种植物每个支干长出x个小分支，根据题意，得：1+x+x2=43，解得：x1=–7（舍去），x2=6．故选C．
23．【答案】A
【解析】设有x个队参赛，根据题意，可列方程为：x（x–1）=36，故选A．
【名师点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．
24．【答案】B
【解析】设这两年全省贫困人口的年平均下降率为x，
根据题意得：，故选B.
【名师点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，得到两年年内变化情况的等量关系是解决本题的关键.
25．【答案】D
【解析】设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x.根据题意列方程得：
2500+2500（1+x）+2500（1+x）2=9100.
故选：D.
【名师点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确理解题意是解题关键.
26．【答案】（12–x）（8–x）=77
【解析】∵道路的宽应为x米，∴由题意得，（12–x）（8–x）=77，
故答案为：（12–x）（8–x）=77．
【名师点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．
27．【答案】（1）20%；（2）4200.
【解析】（1）设该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x，依题意，得：2500（1+x）2=3600，解得：（舍去）.
答：该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为20%.
（2）3600×（1+20%）=4320（元），
4320>4200.
答：2019年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到4200元.
【名师点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.
28．【答案】1 m
【解析】设小路的宽应为x m，根据题意得：，
解得：x1=1，x2=16.
16>9，
x=16不符合题意，舍去，
x=1.
答：小路的宽应为1 m.帮—重点
一元二次方程解应用题
帮—难点
（1）平均增长（降低）率问题（2）单、双循环问题
帮—易错
销售利润问题
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