人教版九年级上册22.3 实际问题与二次函数优秀教案设计

这是一份人教版九年级上册22.3 实际问题与二次函数优秀教案设计，共17页。教案主要包含了利用二次函数解决利润问题，利用二次函数求图形面积的最值，利用二次函数解决抛物线形问题等内容，欢迎下载使用。

22.3 实际问题与二次函数





1．利用二次函数解决利润问题


利润问题主要涉及两个等量关系：


利润=售价-进价；


总利润=单件商品的利润×销售量．


在日常生活中，经常遇到求最大利润、最高产量等问题，在解答此类问题时，应建立函数模型，把它们转化为求函数的最值问题，然后列出相应的函数解析式，从而解决问题．


建立二次函数模型解决实际问题的一般步骤：


（1）审题；


（2）找出题中的已知量和未知量；


（3）用一个未知量表示题中的其他未知量；


（4）找出等量关系并列出函数解析式；


（5）利用二次函数的图象及性质去分析、解决实际问题．


2．利用二次函数求图形面积的最值


（1）二次函数的最值：一般地，当a>0（a<0）时，抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低（最高）点，也就是说，当x=时，二次函数y=ax2+bx+c有最小（最大）值，最小（最大）值为．


（2）应用二次函数解决实际问题的基本思路：


①理解题意；②分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；③用函数解析式表示它们之间的关系；④用数学方法求解；⑤检验结果的合理性．


3．利用二次函数解决抛物线形问题


在实际生活中，如拱门、桥洞等问题，都可以通过建立二次函数模型来解答．在解答此类问题的过程中，要运用数形结合思想和函数思想，在图形上先建立合适的平面直角坐标系，再根据题意设出适当的函数解析式，然后由已知点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式，最后根据函数解析式来分析解答问题．








一、利用二次函数解决利润问题


二次函数与利润最大问题


（1）调整价格分涨价和降价．


（2）总利润=单件商品的利润×销售量．


（3）商品价格上涨，销售量会随之下降；商品价格下降，销售量会随之增加．两种情况都会导致利润的变化．


例 1


某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的销


售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．


（1）当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为__________件；


（2）当每件的销售价x为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y最大？并求出最大利润．


【解析】（1）由题意得：200-10×（52-50）=200-20=180（件），


故答案为：180．


（2）由题意得：


y=（x-40）[200-10（x-50）]=-10x2+1100x-28000=-10（x-55）2+2250，


∴每件销售价为55元时，获得最大利润，最大利润为2250元．


二、利用二次函数求图形面积的最值


求面积最大（小）值问题，常以三角形、四边形、圆等基本图形为背景，以某条变化的线段的长度为自变量，构建二次函数模型求解．


例 2


如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900 m（篱笆的厚度忽略不计），当AB=_________m时，矩形土地ABCD的面积最大．





【答案】150


【解析】（1）设AB=x m，则BC=（900-3x），由题意可得，S=AB×BC=x×（900-3x）=-（x2-300x）


=-（x-150）2+33750，


∴当x=150时，S取得最大值，此时，S=33750，∴AB=150 m，故答案为：150．


三、利用二次函数解决抛物线形问题


用二次函数解决抛物线形问题


（1）建立恰当的平面直角坐标系；


（2）将已知条件转化为点的坐标，正确写出关键点的坐标；


（3）合理地设出函数解析式；


（4）将点的坐标代入函数解析式求出解析式；


（5）利用解析式求解．


在解题过程中要充分利用抛物线的对称性，同时要注意对数形结合思想的应用．


例 3


如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m，水面下降2 m，水面宽度增加__________m．





【答案】4-4


【解析】建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（-2，0），到抛物线解析式得出：a=-0.5，所以抛物线解析式为y=-0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：


当y=-2时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=-2与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=-2代入抛物线解析式得出：-2=-0.5x2+2，解得：x=±2，所以水面宽度增加到4米，比原先的宽度当然是增加了（4-4）米，故答案为：4-4．











1．某产品进货单价为90元，按100元一件出售时能售出500件．若每件涨价1元，则销售量就减少10件．则该产品能获得的最大利润为


A．5000元B．8000元


C．9000元D．10000元


2．赵州桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系为y＝−x2，当水面宽度AB为20m时，水面与桥拱顶的高度DO等于





A．2mB．4m


C．10mD．16m


3．如图，小明想用长为12米的栅栏（虚线部分），借助围墙围成一个矩形花园ABCD，则矩形ABCD的最大面积是





A．16平方米B．18平方米


C．20平方米D．24平方米


4．如图，已知抛物线y=-x2+3x的对称轴与一次函数y=-2x的图象交于点A，则点A的坐标为__________．





5．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°




A．18°B．36°


C．41°D．58°


6．如图，一座抛物线形拱桥，桥下水面宽度是4 m时，拱高为2 m，一艘木船宽2 m．要能顺利从桥下通过，船顶点与桥拱之间的间隔应不少于0.3 m，那么木船的高不得超过__________m．





7．商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每周可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨2元，则每周就会少卖出10件，但每件售价不能高于50元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每周的销售利润为y元.


（1）求x与y的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；


（2）每件商品的售价定为多少元时，每周的利润恰好是2400元？





























8．如图，有一个长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．


（1）求S与x的函数关系式及x的取值范围；


（2）如果要围成面积为45平方米的花圃，那么AB的长为多少米？
































1．平时我们在跳绳时，绳摇到最高点处的形状可近似地看做抛物线，如图所示．正在摇绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为4 m，距地高均为1 m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1 m，2.5 m处．绳子在摇到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1.5 m，则学生丁的身高为





A．1.5 m B．1.625 m


C．1.66 m D．1.67 m


2．如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上，C点在斜边上．设矩形的一边AB=x m，矩形ABCD的面积为y m2，则y的最大值为__________．





3．图1是一款优雅且稳定的抛物线型落地灯，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.86米，最高点C距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱AB及支架的相关数据如图2所示．若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离AE为__________米．





4．如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2m，喷出水流的运动路线是抛物线，如果水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3.6m．


（1）建立适当的平面直角坐标系，确定抛物线解析式；


（2）求水流的落地点C到水枪底部B的距离．























5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴交于点，点B坐标为（5，0）．


（1）求二次函数解析式及顶点坐标；


（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积．














1．（2019•临沂）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：


①小球在空中经过的路程是40m；


②小球抛出3秒后，速度越来越快；


③小球抛出3秒时速度为0；


④小球的高度h=30m时，t=1.5s．


其中正确的是





A．①④B．①②C．②③④D．②③


2．（2019•广安）在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为，由此可知该生此次实心球训练的成绩为__________米．


3．（2019•天水）天水某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．





（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；


（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？



































4．（2019•宿迁）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加x元，每天售出y件．


（1）请写出y与x之间的函数表达式；


（2）当x为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？


（3）设超市每天销售这种玩具可获利w元，当x为多少时w最大，最大值是多少？



































5．（2019•武汉）某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：


注：周销售利润=周销售量×（售价–进价）


（1）①求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；


②该商品进价是__________元/件；当售价是__________元/件时，周销售利润最大，最大利润是__________元．


（2）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m的值．





























1．【答案】C


【解析】设单价定为x，总利润为W，则可得销量为：500-10（x-100），单件利润为：（x-90），由题意得，W=（x-90）[500-10（x-100）]=-10x2+2400x-135000=-10（x-120）2+9000，故可得当x=120时，W取得最大，为9000元，故选C．


2．【答案】B


【解析】根据题意B的横坐标为10，把x=10代入y=–x2，得y=–4，


∴A（–10，–4），B（10，–4），即水面与桥拱顶的高度DO等于4m．故选B．


【名师点睛】此题考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的对称性是解决问题的关键．


3．【答案】B


【解析】设AB=x，则BC=12–2x，


得矩形ABCD的面积：S=x（12–2x）=–2x2+12x=–2（x–3）2+18，


即矩形ABCD的最大面积为18平方米，故选B．


【名师点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大面积的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x=−时取得．


4．【答案】（，-3）


【解析】抛物线y=-x2+3x的对称轴为：，当时，y=．点A的坐标为（，


-3）．故答案为：（，-3）．


5．【答案】C


【解析】由图象可得，该函数的对称轴x＞且x<54，∴36

【名师点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．


6．【答案】1.2


【解析】以水面所在水平线为x轴，过拱桥顶点作水平线的垂线，作为y轴，建立坐标系，设水平面与拱桥的交点为A（-2，0），B（2，0），C（0，2），利用待定系数法设函数的解析式为y=a（x+2）（x-2）代入点C坐标，求得a=-，即抛物线的解析式为y=-（x+2）（x-2），令x=1，解得y=1.5，船顶与桥拱之间的间隔应不少于0.3，则木船的最高高度为1.5-0.3=1.2米．故答案为：1.2．





7．【解析】（1）由题意得：


y=（40+x–30）（180–5x）=–5x2+130x+1800（0≤x≤10）；


（2）由题意得：–5x2+130x+1800=2400，


解得x=6或20（不符合题意，舍去），


∴售价为40+6=46（元）．


答：售价为46元时，每周利润恰好是2400元．


【名师点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是搞清楚利润、售价、销售量之间的关系，学会构建二次函数解决问题．


8．【解析】（1）由题可知，花圃的宽AB为x米，则BC为（24-3x）米．


这时面积S=x（24-3x）=-3x2+24x．


∵0<24-3x≤10，∴≤x<8，


即自变量的取值范围是≤x<8．


（2）由条件-3x2+24x=45化为x2-8x+15=0，


解得x1=5，x2=3，


∵≤x<8，∴x=3不合题意，舍去，


即花圃的宽AB为5米．





1．【答案】B


【解析】设所求的函数的解析式为y=ax2+bx+c，由已知，函数的图象过（-1，1），（0，1.5），（3，1）三点，易求其解析式为y=-x2+x+，∵丁头顶的横坐标为1.5，∴代入其解析式可求得其纵坐标为1.625 m．故选B．


2．【答案】300


【解析】由题意可得：DC∥AF，则△EDC∽△EAF，故，则，解得，故y=AD·AB=，所以当x=20时，即y的最大值为300 m2．故答案为：300 m2．


3．【答案】2.88


【解析】设y=a（x–1.6）2+2.5．


由题得灯柱AB的高度为1.5米，


∴把x=0，y=1.5代入上式得，1.5=a（0–1.6）2+2.5．


解得，a=–．


∴y=–（x–1.6）2+2.5．


又∵DE的高为1.86米，


∴当y=1.86时，则–（x–1.6）2+2.5=1.86，


解得，x=2.88或x=0.32（舍去），


故答案为：2.88．


【名师点睛】本题考查了将二次函数的实际应用转化为二次函数图象的抽象能力以及用待定系数法求函数解析式与点的坐标的能力．


4．【解析】（1）如图，以BC 所在直线为x轴、AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，





由题意知，抛物线的顶点P的坐标为（1，3.6）、点A（0，2），


设抛物线的解析式为y=a（x–1）2+3.6，


将点A（0，2）代入，得：a+3.6=2，


解得：a=–1.6，


则抛物线的解析式为y=–1.6（x–1）2+3.6，


（2）当y=0时，有–1.6（x–1）2+3.6=0，


解得：x=–0.5（舍）或x=2.5，


∴BC=2.5．


答：水流的落地点C到水枪底部B的距离为2.5m．


【名师点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是结合题意建立合适的平面直角坐标系，将实际问题转化为二次函数问题求解．


5．【解析】（1）把点，点B坐标为（5，0）代入抛物线中，


得，解得，


∴抛物线的解析式为：，


∴顶点坐标为（2，9）．


（2）设直线AB的解析式为：，


∵，B（5，0），


，解得，


∴直线AB的解析式为：，


设，则，


∴，


∵点C在抛物线上，且纵坐标为5，∴，


∴，


∴，


∵，∴S有最大值，


∴当时，S有最大值为，


此时．





1．【答案】D


【解析】①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m；故①错误；


②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；


③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③正确；


④设函数解析式为：h=a（t–3）2+40，


把O（0，0）代入得0=a（0–3）2+40，解得a=–，


∴函数解析式为h=–（t–3）2+40，


把h=30代入解析式得，30=–（t–3）2+40，


解得t=4.5或t=1.5，


∴小球的高度h=30m时，t=1.5s或4.5s，故④错误；


故选D．


【名师点睛】本题考查了二次函数的应用，解此题的关键是正确的理解题意，属于中考基础题，常考题型．


2．【答案】10


【解析】当y=0时，=0，解得x=2（舍去），x=10．故答案为：10．


【名师点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．


3．【解析】（1）设y与x的函数解析式为y=kx+b，


将（10，30）、（16，24）代入，得：，解得，


所以y与x的函数解析式为y=–x+40（10≤x≤16）；


（2）根据题意知，W=（x–10）y


=（x–10）（–x+40）


=–x2+50x–400


=–（x–25）2+225，


∵a=–1<0，∴当x<25时，W随x的增大而增大，


∵10≤x≤16，∴当x=16时，W取得最大值，最大值为144．


答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．


【名师点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质．


4．【解析】（1）根据题意得，y=–x+50；


（2）根据题意得，（40+x）（–x+50）=2250，解得x1=50，x2=10，


∵每件利润不能超过60元，∴x=10．


答：当x为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元；


（3）根据题意得，w=（40+x）（–x+50）=–x2+30x+2000=–（x–30）2+2450，


∵a=–<0，∴当x<30时，w随x的增大而增大，∴当x=20时，w增大=2400．


答：当x为20时w最大，最大值是2400元．


【名师点睛】本题考查了一次函数、二次函数的应用，弄清题目中包含的数量关系是解题关键．


5．【解析】（1）①依题意设y=kx+b，


则有，解得，


所以y关于x的函数解析式为y=–2x+200；


②该商品进价是50–1000÷100=40，


设每周获得利润w=ax2+bx+c：


则有，解得，


∴w=–2x2+280x–8000=–2（x–70）2+1800，


∴当售价是70元/件时，周销售利润最大，最大利润是1800元；


故答案为：40，70，1800；


（2）根据题意得，w=（x–40–m）（–2x+200）=–2x2+（280+2m）x–8000–200m，


∴对称轴x=，∵m>0，∴>70，


又∵物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，


由二次函数的性质可得当x=65时，w取得最大值1400，


即–2×652+（280+2m）×65–8000–200m=1400，解得m=5．


【名师点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值．帮—重点
利用二次函数解决利润问题和实际问题
帮—难点
二次函数的综合问题
帮—易错
解二次函数的实际问题时，忽视自变量的取值范围
售价x（元/件）
50
60
80
周销售量y（件）
100
80
40
周销售利润w（元）
1000
1600
1600