初中数学第二十三章 旋转23.3 课题学习 图案设计优秀教案

这是一份初中数学第二十三章 旋转23.3 课题学习 图案设计优秀教案，共17页。教案主要包含了中心对称，轴对称与中心对称的区别，关于中心对称的图形的性质，确定对称中心的方法，利用尺规作关于中心对称的图形，中点对称图形，关于原点对称的点的坐标特征，图案设计等内容，欢迎下载使用。

23.2 中心对称 23.3 课题学习 图案设计





一、中心对称：


把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做__________中心（简称中心）．


二、轴对称与中心对称的区别


轴对称：两个图形关于一条直线对称，沿该直线翻折，两图形重合；关于一条直线对称的两个图形，对应点的连线被对称轴垂直平分．


中心对称：两个图形关于一点对称，沿该点旋转180°，两个图形重合，关于一点对称的两个图形，对应点的连线被对称中心平分．


三、关于中心对称的图形的性质


1．关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分；


2．关于中心对称的两个图形对应线段平行（或在同一条直线上）且相等；


3．关于中心对称的两个图形是全等图形．


四、确定对称中心的方法


1．连接任意一对对称点，取这条线段的中点，则该点是对称中心．


2．连接任意两对对称点，这两条线段的交点即是对称中心．


五、利用尺规作关于中心对称的图形


这类问题应首先明确对称中心的位置，再利用“对应点的连线被对称中心平分”的特性，分别找出原图形中各个关键点的对应点，最后按原图形中各点的次序，将各对应点连接起来．


六、中点对称图形


把一个图形绕着某一点旋转__________，如果旋转后的图形能够与原来的图形__________，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是对称中心．


七、关于原点对称的点的坐标特征


两个点关于原点对称时，它们的坐标符合相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P′（–x，–y）．


八、图案设计


图案的设计与日常生活息息相关，通常是利用基本图形的变换来完成设计工作．图形之间基本变换关系有轴对称、平移、旋转这三种基本形式，也有很多图形的形成是经过n次变换复合而成的，其复合形式灵活多样，我们可以根据各自的审美情趣，创造出各种各样的图案．


九、利用基本图案进行组合设计


几个基本图案组合在一起，可能形成一个复合型图案，我们还可以进行多次变换，设计出较大型美丽图案．








一、对称 六、180°，重合








1．中心对称与中心对称图形


（1）中心对称是指两个图形间的位置关系．


（2）中心对称是特殊的旋转，旋转角为180°．


（3）成中心对称的两个图形，只有一个对称中心，这个对称中心可能在每个图形的外部，也可能在每个图形的内部或图形上，但对称点一定在对称中心的两侧与对称中心重合．


例 1


下列说法中错误的是


A．成中心对称的两个图形全等


B．成中心对称的两个图形中，对称点的连线被对称轴平分


C．中心对称图形的对称中心是对称点连线的中心


D．中心对称图形绕对称中心旋转180°后，都能与自身重合


【答案】B


【解析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称，中心对称图形的对称中心是对称点连线的交点，根据中心对称图形的定义和性质可知A、C、D正确，B错误．故选B．


例 2


如图，分别是上海、南京、深圳、兰州4个城市的地铁标志，其中是中心对称图形的是


A．B．C．D．


【答案】C


【解析】A、不是中心对称图形；


B、不是中心对称图形；


C、是中心对称图形；


D、不是中心对称图形，故选C．


2．关于原点对称的点的坐标


两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P′（–x，–y）．


例 3


平面直角坐标系内一点P（-2，3）关于原点对称的点的坐标是


A．（3，-2）B．（2，3）C．（-2，-3）D．（2，-3）


【答案】D


【解析】点P（-2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，-3）．故选D．


【名师点睛】第一象限内的点关于原点的对称点在第三象限，第二象限内的点关于原点的对称点在第四象限，坐标轴上的点关于原点的对称点仍在坐标轴上．


3．利用轴对称设计图形


利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．


例 4


如图是由16个小正方形组成的正方形网格图，现已将其中的两个涂黑．请你用三种不同的方法分别在下图中再涂黑三个空白的小正方形，使它成为轴对称图形．





【答案】见解析


【解析】如图所示





4．利用平移设计图形


确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案．通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩．


例 5


如图，它是由哪个基本图形经过怎样的变化得到的？





【答案】见解析


【解析】是由基本图形向右平移，再向下平移，再向左平移，然后再由基本图形利用轴对称结合平移，得出．


5．利用旋转设计图形


例 6


（1）请写出是旋转对称图形的两种多边形（正三角形除外）的名称，并分别写出其旋转角α的最小值；


（2）下面的网格图都是由边长为1的正三角形组成的，请以图中给出的图案为基本图形（其顶点均在格点上），在图1、图2中再分别添加若干个基本图形，使添加的图形与原基本图形组成一个新图案，要求：


①图1中设计的图案既是旋转对称图形又是轴对称图形；


②图2中设计的图案是旋转对称图形，但不是中心对称图形；


③所设计的图案顶点都在格点上，并给图案上阴影（建议用一组平行线段表示阴影）．





【答案】见解析


【解析】（1）正方形是旋转对称图形，最小旋转角为90°，


正六边形是旋转对称图形，最小旋转角为60°；


（2）①如图2所示：


②如图3所示：











1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是


A．B．C．D．


2．在平面直角坐标系中，点P（–3，）关于原点对称的点的坐标是


A．（–，3）B．（3，）C．（3，–）D．（–3，–）


3．如图是一个中心对称图形，则此图形的对称中心为





A．A点B．B点C．C点D．D点


4．下列所示的图案分别是奔驰、奥迪、大众、三菱汽车的车标，其中看作由“基本图案”经过平移得到的是


A．B．


C．D．


5．如图，ABCD的周长为32 cm，点O是ABCD的对称中心，AO=5 cm，点E，F分别是AB，BC的中点，则△OEF的周长为_____cm．





6．在等腰三角形ABC中，∠C=90°，BC=2 cm．如果以AC的中点O为旋转中心，将这个三角形旋转180°，点B落在点B′处，那么点B′与点B的原来位置相距__________cm．





7．画图：（画图痕迹用黑色签字笔加粗加黑）


（1）如图（甲），△ABC中，O是AB中点，画出△A′B′C′，使它与△ABC关于点O成中心对称；


（2）如图（乙），等边三角形的三个顶点都在圆O上，请把这个图形补成一个以圆心O为对称中心的中心对称图形．





8．如图，在平面直角坐标系内，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，3）、B（4，2）、C（3，4）．


（1）将△ABC沿水平方向向左平移4个单位得△A1B1C1，请画出△A1B1C1；


（2）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2；


（3）若△A1B1C1与△A2B2C2关于点P成中心对称，则点P的坐标是__________．











9．△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示，点A的坐标为（–2，3），点B的坐标为（–1，1），点C的坐标为（0，2）．





（1）作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1．


（2）将△A1B1C1向右平移4个单位长度，作出平移后的△A2B2C2．


（3）点P是x轴上的一点，并且使得PA1+PC2的值最小，则点P的坐标为（__________，__________）．














10．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC=90°，AB=AC，直线AB交y轴于点P，若△ABC与△A′B′C′关于点P成中心对称，则点A′的坐标为





A．（–4，–5）B．（–5，–4）


C．（–3，–4）D．（–4，–3）


11．若点P（-1-2a，2a-4）关于原点对称的点在第一象限内，则a的整数解有


A．1个B．2个


C．3个D．4个


12．如图，在平面直角坐标系中，△ABC绕旋转中心顺时针旋转90°后得到△A′B′C′，则其旋转中心的坐标是__________．





13．以等腰直角△ABC的斜边AB所在的直线为对称轴，作这个△ABC的对称图形△，则所得到的四边形ACBC′一定是__________．


14．如图，在方格纸中每个小正方形的边长均为l，线段AB的端点在小正方形的顶点上，（所画图形顶点必须在小正方形的顶点上）．


（1）在如图中画一个以AB为边的四边形ABCD是中心对称图形，且四边形面积是12；


（2）在如图中画一个以AB为边的四边形ABMN是轴对称图形，且只有一个角是直角，面积为15．














15．（2019•乐山）下列四个图形中，可以由图通过平移得到的是





A．B．C．D．


16．（2019•枣庄）下列图形，可以看作中心对称图形的是


A．B．C．D．


17．（2019•黄石）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是


A．B．C．D．


18．（2019•广东）下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是


A．B．C．D．


19．（2019•青岛）下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是


A．B．C．D．


20．（2019•兰州）剪纸是中国特有的民间艺术，在如图所示的四个剪纸图案中，既是轴对称又是中心对称图形的是


A．B．C．D．


21．（2019•安顺）在平面直角坐标系中，点P（-3，m2+1）关于原点对称的点在


A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限


22．（2019•巴中）在平面直角坐标系中，已知点A（-4，3）与点B关于原点对称，则点B的坐标为


A．（-4，-3）B．（4，3）C．（4，-3）D．（-4，3）


23．（2019•滨州）已知点P（a-3，2-a）关于原点对称的点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是


A．B．


C．D．


24．（2019•嘉兴）如图，在直角坐标系中，已知菱形OABC的顶点A（1，2），B（3，3）．作菱形OABC关于y轴的对称图形OA'B'C'，再作图形OA'B'C'关于点O的中心对称图形OA″B″C″，则点C的对应点C″的坐标是





A．（2，-1）B．（1，-2）C．（-2，1）D．（-2，-1）


25．（2019•广安）在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3×3正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分）





请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个3×3的正方形方格画一种，例图除外）

















26．（2019•宁波）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有5个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取一个涂上阴影：


（1）使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．


（2）使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．


（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）














1．【答案】C


【解析】A、是不轴对称图形，是中心对称图形；


B、是轴对称图形，不是中心对称图形；


C、是轴对称图形，也是中心对称图形；


D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故选C．


2．【答案】C


【解析】点P（–3，）关于原点对称的点的坐标是（3，–），故选C．


3．【答案】B


【解析】如图所示，





点A与点C是对应点，点D与点E是对应点，线段AC与DE相交于点B，所以点B是对称中心．故选B．


4．【答案】B


【解析】观察图形可知，图案B可以看作由“基本图案”经过平移得到．故选B．


5．【答案】13


【解析】由题意得OE、OF、EF均为△ABC的中位线，


∴OE=，OF=，EF=，


∴△OEF的周长=，故答案为：13．


6．【答案】2


【解析】根据中心对称的性质得，OB=OB′，OC=1，又BC=2，


由勾股定理得BO=，所以BB′=2OB=．


故答案为．


7．【解析】（1）如图甲所示：△A′B′C′即为所求，它与△ABC关于点O成中心对称．





（2）如图乙所示：即为所求．


8．【解析】（1）如图，△A1B1C1即为所求．





（2）如图，△A2B2C2即为所求．


（3）如图，点P的坐标是（-2，0）．故答案为：（-2，0）．


9．【解析】（1）△A1B1C1如图所示；


（2）△A2B2C2如图所示；


（3）作出A1关于x轴的对称点A′，连接A′C2，交x轴于点P，


可得P点坐标为：（，0）．





10．【答案】A


【解析】∵点B，C的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC=90°，AB=AC，


∴△ABC是等腰直角三角形，∴A（4，3），


设直线AB解析式为y=kx+b，


则，解得，


∴直线AB解析式为y=x–1，


令x=0，则y=–1，


∴P（0，–1），


又∵点A与点A'关于点P成中心对称，


∴点P为AA'的中点，


设A'（m，n），则=0，=–1，


∴m=–4，n=–5，


∴A'（–4，–5），


故选A．


11．【答案】B


【解析】∵点P（-1-2a，2a-4）关于原点对称的点在第一象限内，


∴，由①得：a，由②得：a<2，∴

∵a为整数，∴a=1或0．故选B．


12．【答案】（1，-1）


【解析】∵△ABC绕旋转中心顺时针旋转90°后得到△A′B′C′，∴A、B的对应点分别是A′、B′，


又∵线段BB′的垂直平分线为x=1，


线段AA′是一个边长为3的正方形的对角线，其垂直平分线是另一条对角线所在的直线，


由图形可知，线段BB′与AA′的垂直平分线的交点为（1，-1）．故答案为：（1，-1）．


13．【答案】正方形


【解析】∵△ABC是等腰直角三角形，


∴AC=BC，∠CAB=∠CBA=45°，∠C=90°，


∵△ABC和△ABC′是关于AB轴对称，


∴∠C′AB=∠C′BA=45°，∠C′=90°，


∴∠CAC′=∠CBC′=90°，


∴四边形ACBC′是矩形，


又∵AC=BC，


∴四边形ACBC′是正方形．





14．【解析】（1）如图所示，平行四边形ABCD即为所求．





（2）如图2，四边形ABMN即为所求四边形．


15．【答案】D


【解析】∵只有D的图形的形状和大小没有变化，符合平移的性质，属于平移得到，故选D．


16．【答案】B


【解析】A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；


B、是中心对称图形，故本选项符合题意；


C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；


D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选B．


17．【答案】D


【解析】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；


B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；


C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；


D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确．故选D．


18．【答案】C


【解析】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；


B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；


C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；


D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．故选C．


19．【答案】D


【解析】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；


B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；


C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；


D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确．故选D．


20．【答案】C


【解析】A、此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，∴此图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；


B、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．


C、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形是轴对称图形，旋转180°能与原图形重合，是中心对称图形，故此选项正确；


D、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，旋转180°不能与原图形重合，∴此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．故选C．


21．【答案】D


【解析】∵m2+1>0，∴点P（-3，m2+1）在第二象限，∴点P（-3，m2+1）关于原点对称点在第四象限，故选D．


22．【答案】C


【解析】∵点A（-4，3），点A与点B关于原点对称，∴点B（4，-3）．故选C．


23．【答案】C


【解析】∵点P（a-3，2-a）关于原点对称的点在第四象限，∴点P（a-3，2-a）在第二象限，


∴，解得：a<2．则a的取值范围在数轴上表示正确的是：．故选C．


24．【答案】A


【解析】∵点C的坐标为（2，1），∴点C′的坐标为（-2，1），∴点C″的坐标的坐标为（2，-1），


故选A．


25．【解析】如图所示，





26．【解析】（1）如图1所示：6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．


（2）如图2所示：6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．


帮—重点
1．中心对称和中心对称图形的定义


2．关于原点对称的点的坐标特征
帮—难点
中心对称与中心对称图形的区别
帮—易错
区分中心对称与中心对称图形